復變函數(shù)求極限的方法

摘 要 本文對復變函數(shù)求極限問題作了較系統(tǒng)的歸納和總結(jié)，并通過例題解析了這些方法。

關(guān)鍵詞 復變函數(shù) 極限 方法

中圖分類號O174.5文獻標識碼A文章編號1673-9671-(2009)111-0097-01

在一般的教科書中，沒有對復變函數(shù)極限的求法作詳細的討論，而主要把復變函數(shù)的極限問題轉(zhuǎn)化為它的實部和虛部，即兩個二元實變函數(shù)的極限問題來討論。但對許多復變函數(shù)而言，寫出它的實部和虛部都比較麻煩，從而增加了求極限的復雜性。針對此問題，本文給出了幾種求復變函數(shù)極限的常規(guī)方法，并通過例題解析了這些方法。

1 轉(zhuǎn)化為兩個二元實變函數(shù)求極限

設 ， ， ，

則

。

2 利用復變函數(shù)的連續(xù)性

利用復變初等函數(shù)的連續(xù)性(如: 、(正整)、、、、 在整個復平面均連續(xù); 、(不是正整數(shù)) 在除去原點和負實軸上的點外處處連續(xù)等等)，以及復變函數(shù)的連續(xù)性滿足四則運算、復合運算，可知如果一個復變函數(shù)是由復變初等函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過四則運算和初等運算構(gòu)造的，我們可先判別它在極限點的連續(xù)性，如果連續(xù)，則極限等于函數(shù)在極限點的函數(shù)值。

例1 求 。

解 由于在z和cosz 均在點 z=0連續(xù)，且僅當(k為任意整數(shù))時，cosz=0 ，所以 在點 z=0連續(xù)，從而 。

3 利用等價無窮小求極限

利用一些復變函數(shù)的泰勒展開式，我們可以證明有些實函數(shù)的等價無窮小在復變函數(shù)中也成立。如:當 z→0時，

(1);

(2) ;

(3) ;

其中(3)式中的只取主值分支。

這里我們給出和的證明:根據(jù)sinz 的泰勒展開式知 ，所以 ， 。

例2 求 。

解。

注:和實函數(shù)一樣，和或差中的項不能用等價無窮小代替。

4 利用洛必達法則求未定式的極限

復變函數(shù)也有洛必達法則，但與實函數(shù)相比稍稍有點差別

例3 求 。

解 顯然當z→0 時，是未定式。所以

例4 求

解

我們知道:若z0 是 的可去奇點、極點和本性奇點，則 分別為 、 和既不存在也不為 。

例5 求 。

解 因為在z=0的某去心領(lǐng)域內(nèi)，有洛朗展開式

，從而z=0是的本性奇點，所以 既不存在也不為。

參考文獻:

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[4]李成章，黃玉民.數(shù)學分析[M]，北京:科學出版社，1999.