三重積分積分限的確定的探討

摘要 本文對球面坐標(biāo)系下三重積分積分限的確定給出了詳細講解， 并提供了三種思路。另外，本文還給出了在不用畫圖的情況下，確定三重積分的積分限的所謂“求圍定頂”方法。

關(guān)鍵詞 三重積分;積分限;球面坐標(biāo);投影;頂面

中圖分類號O172文獻標(biāo)識碼A文章編號1673-9671-(2009)111-0093-01

三重積分積分限的確定一直是教學(xué)的難點。很多教科書中對直角坐標(biāo)系下和柱面坐標(biāo)系下積分限的確定都給出了比較詳細的講解，而對球面坐標(biāo)系下積分限的確定沒有給出詳細講解，而是直接給出積分限，不少學(xué)生由于不知緣由，往往感到很困惑。另外，我們都知道大多數(shù)高等數(shù)學(xué)教科書上三重積分的計算需先畫出積分區(qū)域的立體圖形，才能確定積分限，這會讓不少畫不出圖形的同學(xué)望而卻步，特別地，有一些積分空間區(qū)域還不易畫出。其實，對于有些三重積分來說，可以不用畫圖，照樣可以確定積分限，這種方法我們稱之為“求圍定頂”方法。

1 球面坐標(biāo)系下積分限的確定

下面我們將給出球面坐標(biāo)系下積分限是如何確定的。我們都知道三重積分積分限的確定關(guān)鍵是如何用坐標(biāo)變量的不等式組來表示積分區(qū)域。根據(jù)坐標(biāo)變量的先后確定順序，可以提供三種思路。下面我們通過范例來說明。

例1 計算 ，其中積分區(qū)域

解法一 步1:先確定的范圍。由于內(nèi)的點的值從0到之間都可取到，故 ;

步2:對任意固定的值，確定的范圍。對任意固定的 用 這個半平面去截，得一扇形截面 。在扇形截面 內(nèi)，的范圍均為: 。

步3:對任意固定的值和值，確定 的范圍。對任意固定的 和，即在扇形截面內(nèi)，當(dāng) 固定為時，均從0變化到1 ，所以 。

從而

，

所以

。

解法二 步1:先確定 的范圍。由于內(nèi)的點的 值從0到 之間都可取到，故 ;

步2:對任意固定的值，確定的范圍。對任意固定的 ，用 這個圓錐面去截 ，得一錐形截面 。在錐形截面 內(nèi)， 的范圍均為: 。

步3:對任意固定的值和值，確定的范圍。對任意固定的和 ，即在錐形截面 內(nèi)，當(dāng)固定為 時， 均從0變化到 1，所以 。

從而

，

所以

。

解法三 步1:先確定 的范圍。由于 內(nèi)的點的 值從0到 1之間都可取到，故 ;

步2:對任意固定的值，確定的范圍。對任意固定的 ，用 這個球面去截 ，得一球面截面 。在球面截面 內(nèi)， 的范圍均為: 。

步3:對任意固定的值和值，確定 的范圍。對任意固定的和 ，即在球面截面 內(nèi)，當(dāng)固定為 時， 均從0變化到 ，所以 。

從而

，

所以

。

2 用“求圍定頂”法確定積分限

我們都知道三重積分可以化為“先一后二”的累次積分來計算。如果我們能夠確定三重積分的積分區(qū)域在坐標(biāo)面(如: 坐標(biāo)面)上的投影區(qū)域 ，以及積分區(qū)域內(nèi)當(dāng)和固定后的變化范圍 (即:積分區(qū)域的下頂面 和上頂面 )，則我們可將三重積分化為“先一后二”的累次積分:

。

所謂“求圍定頂”法是在不用畫圖的情況下確定投影區(qū)域 (即“求圍”)和下頂面 與上頂面 (即“定頂”)。下面我們通過范例來說明:

例2 化三重積分 為三次積分，其中積分區(qū)域 是由曲面 及 所圍成的閉區(qū)域。

解 步一:先求投影區(qū)域 (求圍)。根據(jù)空間解析幾何的知識，我們可聯(lián)合兩個曲面方程 和 消掉來得到在 坐標(biāo)面上的投影區(qū)域 的邊界曲線: 。從而得投影區(qū)域 : 。

步二:再確定下頂面 和上頂面(定頂)。 根據(jù)二元函數(shù)的定義可知:對于投影區(qū)域 的任意一點 ，二元函數(shù) 所表示的曲面上只有唯一一個點 與之對應(yīng)，通俗地來講，我們說曲面 是呈上下張開的。所以這里曲面和 均是呈上下張開的。再由 的投影區(qū)域 : 可知這兩個曲面在投影區(qū)域內(nèi)部沒有交點，故兩張曲面 和 中其中一張是上頂面，而另一張則是下頂面。我們可在內(nèi)任意取一點，比較兩個曲面在這一點的函數(shù)值大小即可得知上下頂面。如這里取點 ，便可知 是下頂面，而 是上頂面。

從而化三重積分為如下三次積分:

注:如果積分區(qū)域是由曲面 和 所圍成的閉區(qū)域，則我們應(yīng)求投影區(qū)域 和左頂面與右頂面，依次類推。

參考文獻

[1]同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(第五版下冊)[M].北京:高等教育出版社，2002.

[2]復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第二版第二冊)[M].北京:高等教育出版社，1989.

[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第二版下冊)[M]. 北京:高等教育出版社，1991.