高中數(shù)學(xué)教材必修五若干問題的實(shí)踐與研究

摘 要：數(shù)學(xué)必修五是高中數(shù)學(xué)課程新課標(biāo)必修模塊的最后一個(gè)模塊，包含解三角形、數(shù)列和不等式. 在過去的教學(xué)實(shí)踐中，本人秉承著不拘一格、積極創(chuàng)新的精神理念對(duì)教學(xué)方法進(jìn)行了認(rèn)真的探索和細(xì)致的研究，并取得了一些好的效果.

關(guān)鍵詞：必修五；研究；實(shí)踐

[?] 操作實(shí)驗(yàn)下的知識(shí)生成

在正弦定理的引入教學(xué)中，教材的處理方式是先研究一類特殊的三角形——直角三角形的邊、角關(guān)系，得到關(guān)系式==，然后提出問題：這個(gè)關(guān)系式對(duì)一般的三角形是否也成立？從而引發(fā)對(duì)正弦定理的研究和探討. 這種處理方式遵循了從特殊到一般、從具體到抽象、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的認(rèn)知規(guī)律，一直被舊教材使用，也在新教材中得到了繼承.

現(xiàn)在是新教材的試驗(yàn)階段，教學(xué)者應(yīng)該勇于探索、敢于創(chuàng)新，而不能因循守舊、墨守成規(guī). 在教學(xué)之前，本人曾經(jīng)慎重的思考過，這樣的引入方式是否是必需的，能否做一些與時(shí)俱進(jìn)的改進(jìn)？最后本人認(rèn)為這樣的引入方式并不是必需的. 其理由是：

（1）直角三角形是一類非常特殊的三角形，它的邊角關(guān)系式如此的簡(jiǎn)單、如此的顯然，以至于它不需要正弦定理. 正弦定理在處理一般三角形的時(shí)候能夠成為反映邊角關(guān)系的重要工具，但對(duì)于直角三角形來說，這個(gè)工具意義不大. 因?yàn)樗鼘?duì)于直角三角形的邊角關(guān)系并沒有起到從本質(zhì)上進(jìn)行簡(jiǎn)化的作用.

（2）課堂時(shí)間是寶貴的，我們應(yīng)該在課堂時(shí)間有限的情況下盡可能地提高課堂教學(xué)的效率. 先研究直角三角形的正弦定理，再研究一般三角形的正弦定理，這是否是一種重復(fù)？是否是對(duì)時(shí)間的浪費(fèi)？?jī)烧呤欠衲軌蚝隙橐唬咳绻軌虬阎苯侨切蔚恼叶ɡ響?yīng)用到一般三角形的正弦定理的證明之中，也就是說，把對(duì)一般三角形的正弦定理的證明建立在直角三角形的正弦定理的基礎(chǔ)之上，那么以上的過程就不算是重復(fù). 但是，無論是從教材的寫法還是從課堂教學(xué)的實(shí)踐我們都看到這樣一種處理方式是很難實(shí)現(xiàn)的.

為了體現(xiàn)新課程標(biāo)準(zhǔn)中運(yùn)用信息技術(shù)的理念，本人在教材的基礎(chǔ)之上做了一些小小的嘗試. 本人利用幾何畫板軟件畫出了一個(gè)三角形和它的外接圓，然后做了兩點(diǎn)演示：

（1）保持外接圓不變，改變?nèi)切蔚男螤睿?/p>

（2）保持三角形的形狀不變，改變外接圓的大小.

在演示的過程中，本人讓幾何畫板同步顯示∠A，∠B，∠C，a，b，c，sinA，sinB，sinC，，，等這些與三角形有關(guān)的數(shù)據(jù)，然后提請(qǐng)學(xué)生觀察這些數(shù)據(jù)有哪些在變化，哪些沒有變化.

例如，在演示（1）中，當(dāng)保持頂點(diǎn)A、B固定，而改變頂點(diǎn)C的位置時(shí)，學(xué)生會(huì)注意到∠C 和邊長(zhǎng)c 是不變的，當(dāng)然也會(huì)注意到，，都沒有變，而且保持==. 而在演示（2）中，學(xué)生會(huì)注意到∠A，∠B，∠C是始終不變的，而邊長(zhǎng)a，b，c和，，都在變化，但也保持==.

[C][A][B][a][b][c][A=59.61°

B=68.69°

C=51.70°

a=4.48厘米

b=4.84厘米

c=4.07厘米

=5.19厘米

=5.19厘米

=5.19厘米][圖1]

我們看到學(xué)生對(duì)這樣的演示很感興趣，并且能夠積極地說出哪些量沒有變化，特別是能夠說出==，因此，本人認(rèn)為已經(jīng)初步達(dá)到了讓學(xué)生接受正弦定理的目的.

本人認(rèn)為這樣的引入是直觀的、感性的、自然的，結(jié)合了信息技術(shù)的應(yīng)用，體現(xiàn)了新課標(biāo)的理念. 當(dāng)然，這種處理方式純粹是為了引出正弦定理這個(gè)課題，而不能夠代替它的證明. 正弦定理的證明是本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)，它的難度并沒有因?yàn)樯鲜龅奶幚矶腥魏蔚慕档?

[?] 在解題過程中的模型化教學(xué)

作為解三角形和解一元二次不等式的一個(gè)知識(shí)交匯處的綜合題，在教材的81頁有這樣一道習(xí)題：據(jù)氣象部門預(yù)報(bào)，在距離某碼頭南偏東45°方向600 km處的熱帶風(fēng)暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移動(dòng)，距風(fēng)暴450 km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響，從現(xiàn)在起多長(zhǎng)時(shí)間后，該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴的影響，影響時(shí)間大約為多長(zhǎng)（精確到0.1h）？

我們廈門市作為一個(gè)沿海城市，經(jīng)常遭受臺(tái)風(fēng)的威脅. 這道題是一道很好的應(yīng)用題，把數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題相結(jié)合，充分地展示了正弦定理、余弦定理的作用，恰到好處地體現(xiàn)了新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力與數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的理念. 本人仔細(xì)地閱讀了該題和教參提供的解答之后，迅速地意識(shí)到這道題目蘊(yùn)涵著豐富的思想，有很大的空間可以發(fā)掘. 進(jìn)一步地，本人思考了這樣一個(gè)問題：這道題的幾何模型是怎樣的？解決這個(gè)題目是不是一定要用余弦定理？

本人認(rèn)為，臺(tái)風(fēng)問題的幾何模型可以抽象為：平面上一個(gè)圓心在固定直線l上，半徑為定長(zhǎng)r的動(dòng)圓與一個(gè)固定點(diǎn)A的位置關(guān)系問題. 而這個(gè)模型的本質(zhì)可以做進(jìn)一步的簡(jiǎn)化，即以固定點(diǎn)A為圓心，以定長(zhǎng)r為半徑的圓與定直線l的位置關(guān)系問題. 一旦有了這樣的認(rèn)識(shí)，把臺(tái)風(fēng)問題的本質(zhì)提煉到這一步，這道題的思路就水落石出了. 因此，即使不用正余弦定理一樣可以利用平面幾何的方法求解這個(gè)問題.

[?] 在教學(xué)過程中，注意知識(shí)的螺旋式上升

簡(jiǎn)單線性規(guī)劃是不等式理論的深入和拓展，也是優(yōu)化理論最簡(jiǎn)單的情形. 進(jìn)行簡(jiǎn)單線性規(guī)劃不外乎包括這幾個(gè)步驟：建立數(shù)學(xué)模型、寫出不等式組、繪制可行域、求最優(yōu)解. 在這一過程中，根據(jù)不等式組繪制可行域是最困難也是最關(guān)鍵的步驟. 因此，本人認(rèn)為，教會(huì)學(xué)生掌握繪制平面區(qū)域的技巧具有極為重要的意義.

教材是這樣處理的：

我們不妨先研究一個(gè)具體的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的圖形.

[x][O][y][A（x，y2）][P（x，y1）][l：x-y=6]

圖4

如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，x-y=6表示一條直線. 平面內(nèi)所有的點(diǎn)被直線x-y=6分成三類：在直線x-y=6上的點(diǎn)；在直線x-y=6左上方區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)；在直線x-y=6右下方區(qū)域內(nèi)的點(diǎn).

設(shè)點(diǎn)P（x，y1）是直線l上的點(diǎn)，選取點(diǎn)A（x，y2），使它的坐標(biāo)滿足不等式x-y<6，填表，并在圖中標(biāo)出點(diǎn)P和點(diǎn)A.

[橫坐標(biāo)x＼&-3＼&-2＼&-1＼&0＼&1＼&2＼&3＼&點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y1＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y2＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&]

本人認(rèn)為，教材的這種寫法是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，因?yàn)樗巡坏仁絰-y<6和平面區(qū)域{（x，y）

x-y>6}之間的關(guān)系講得十分透徹；同時(shí)它也是必要的，也確實(shí)是這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)證明. 但本人認(rèn)為，這一過程比較嚴(yán)格、比較抽象，學(xué)生不容易一下子接受，因此本人認(rèn)為把這一論證過程放到若干課時(shí)之后，即學(xué)生對(duì)平面區(qū)域的畫法有了一定的基礎(chǔ)之后再講授，也許更合適一些. 而作為簡(jiǎn)單線性規(guī)劃課的第一節(jié)課，我們完全可以采用形象一點(diǎn)、直觀一點(diǎn)的傳授方式.

本人在教學(xué)時(shí)是這樣實(shí)施的：

提出問題1：設(shè)函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，能否畫出由{（x，y）

y>f（x）}表示的區(qū)域？

[（1） （2）][x][O][y][x][y][O][y=f（x）][y=f（x）]

幾乎全班同學(xué)都告訴本人所求的區(qū)域就是該函數(shù)上方的那部分區(qū)域，如果畫出來的話，就是下圖的陰影部分.

[x][O][y][x][y][O][y=f（x）][y=f（x）][（3） （4）]

本人只是展示了這兩個(gè)函數(shù)的圖象，而并未告訴學(xué)生f（x）的具體解析式，其理由有兩個(gè)：（1）對(duì)于這兩個(gè)函數(shù)來說，區(qū)域{（x，y）

y>f（x）}的畫法是一目了然，不告訴他們f（x）的解析式并沒有增加這個(gè)問題的難度；（2）本質(zhì)上而言，平面區(qū)域{（x，y）

y>f（x）}的畫法與f（x）的解析式無關(guān). 換句話說，不管什么樣f（x）的，平面區(qū)域{（x，y）

y>f（x）}的畫法都大同小異. 既然如此，又何必一定要強(qiáng)調(diào)題目中的f（x）的解析式呢？事實(shí)上，學(xué)生也確實(shí)能夠說出該區(qū)域的圖象，這正說明他們對(duì)于不等式與平面區(qū)域有著非常直觀和準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí).

本人首先指出學(xué)生的回答是正確的. 的確上述問題中的函數(shù)f（x）的圖象把整個(gè)平面分成了三部分，f（x）的圖象自身一部分，圖象上方一部分和圖象下方一部分. 區(qū)域{（x，y）

y>f（x）}就對(duì)應(yīng)著圖象的上方那一部分.

本人又問，對(duì)于上圖中的f（x），{（x，y）

y≥f（x）}表示的區(qū)域和{（x，y）

y>f（x）}表示的區(qū)域有何區(qū)別？幾乎所有的學(xué)生都回答前者是帶邊界的，而后者不帶邊界. 這就說明學(xué)生對(duì)于不等式y(tǒng)≥f（x）和不等式y(tǒng)>f（x）所分別對(duì)應(yīng)的圖象也有著清晰的認(rèn)識(shí).

在學(xué)生具有這樣較高的幾何直觀的前提下，本人認(rèn)為應(yīng)該趁熱打鐵，指導(dǎo)他們繪制一些稍微復(fù)雜的平面區(qū)域. 在這一過程中，本人采用了先易后難、循序漸進(jìn)的方式來誘導(dǎo)他們掌握畫圖的方法.

本人提出問題2：

（1）設(shè)f（x）=x，試畫出{（x，y）

y>f（x）}表示的區(qū)域.

（2）設(shè)f（x）=1-2x，試畫出{（x，y）

y>f（x）}表示的區(qū)域.

這兩個(gè)問題不難，學(xué)生很快就解決了.

然后本人馬上提出問題3：試確定由集合{（x，y）

x+2y-3>0}表示的區(qū)域.

此時(shí)的不等式比起上面的不等式來說就復(fù)雜了一些，學(xué)生畫起來可能會(huì)遇到一些困難. 但本人認(rèn)為，剛剛進(jìn)行的畫區(qū)域的工作已經(jīng)為解決這道問題提供了足夠的準(zhǔn)備. 畫出區(qū)域{（x，y）

x+2y-3>0}所需要的方法已經(jīng)是呼之欲出的. 事實(shí)上，在經(jīng)歷了剛才的畫圖之后，學(xué)生全都不約而同地把x+2y-3>0化成了y>-+的形式，然后繪制y=-+的圖象，并取圖象上方的區(qū)域作為{（x，y）

x+2y-3>0}所表示的集合. 他們絲毫沒有意識(shí)到這樣做正是教師所期待的.

至此，本人認(rèn)為不等式（組）與平面區(qū)域這一節(jié)中最關(guān)鍵的教學(xué)目的已經(jīng)初步達(dá)到了，學(xué)生已經(jīng)在不知不覺中掌握住了畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的方法.

小結(jié)一下，這個(gè)方法就是把形如ax+by+c>0或ax+by+c<0（b≠0）的二元一次不等式化成形如y>kx+b或ykx+b或y

也許有人會(huì)有疑問，為何要把形如ax+by+c>0或ax+by+c<0（b≠0）的二元一次不等式化成形如y>kx+b或ykx+b或y

新課標(biāo)已經(jīng)實(shí)施好幾年了，本人對(duì)新課標(biāo)的研究和探索一直在進(jìn)行，在這一過程中有成功也有失敗，但只要注意積累、加強(qiáng)鉆研，就一定會(huì)有收獲.