求一元或多元函數(shù)最值的若干策略

張小雁

摘 要：求一元或多元函數(shù)最值的問題不僅是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，而且是高考、數(shù)學(xué)競賽的熱點之一，本文就如何求一元或多元函數(shù)最值問題歸納出幾種方法，以期達到拋磚引玉的作用.

關(guān)鍵詞：一元、多元函數(shù)；最值；若干策略

求一元或多元函數(shù)最值的問題（有些不等式證明問題也可歸納到求函數(shù)最值的問題）具有如下特點：1. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容；2. 高考、數(shù)學(xué)競賽的熱點之一；3. 解法靈活多樣，無固定模式；4. 涉及知識點較多；5. 可考查學(xué)生應(yīng)用涉及知識點的靈活程度；6. 實際生活中優(yōu)化問題可歸結(jié)為此類問題，因此此類問題近年來在各級各類考試中多有出現(xiàn). 本文就如何求一元或多元函數(shù)最值問題歸納出如下幾種方法，以期達到拋磚引玉的作用.

[?] 利用一元二次方程有解的充要條件或二次函數(shù)的性質(zhì)

例1 （2010浙江高考）設(shè)x、y為實數(shù)，若4x2+y2+xy=1，求2x+y的最大值.

解：設(shè)2x+y=s，則y=s-2x，

所以4x2+（s-2x）2+x（s-2x）-1=0，整理得6x2-3sx+s2-1=0.

因為x∈R，所以Δ=9s2-24（s2-1）≥0，所以-≤s≤，

所以smax=，

即（2x+y）max=.

例2 （美國中學(xué)生第七屆競賽題）已知：實數(shù)a、b、c、d 、e滿足：a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，求e的最大值.

解：設(shè)f（t）=（t-a）2+（t-b）2+（t-c）2+（t-d）2，

則f（t）=4t2-2（a+b+c+d）t+（a2+b2+c2+d2）=4t2-2（8-e）t+（16-e2），

易知f（t）≥0，所以Δ=4（8-e）2-16（16-e2）=20e2-4×16e≤0，所以0≤e≤，所以emax=.

[?] 利用柯西不等式或均值不等式

例3 求函數(shù)y=+

x∈

0，

的最小值.

解：y=+=2x+

-x ·

+≥2·

·

+

·=2

+2=2×=25，

當且僅當=，即x=∈（0，1）時“=”成立，所以當x=時，ymin=25.

例4 （2012全國數(shù)奧甘肅預(yù)賽題）已知實數(shù)x、y、z滿足：x2+y2+z2=1，求xy+yz的最大值.

解：

x2+y2

+

y2+z2

≥2+2=·（xy+yz），

所以（xy+yz）max=.

例5 （數(shù)學(xué)通報問題522）已知x+2y+3z+4u+5v=30，求w=x2+2y2+3z2+4u2+5v2的最小值.

解：[11+（）2+（）2+（）2+（）2]·[x2+（y）2+（z）2+（u）2+（v）2]≥[1·x+·（y）+·（z）+·（u）+·（v）]2，

即15w≥302?w≥60，當且僅當x=y=z=u=v=2時“=”成立，所以wmin=60.

[?] 換元法

例6 例3的另解

解：設(shè)=m，則x=-. 由09，即m>9，所以y=+m=+m=+（m-9）+9=13++m-9≥13+12=25，當且僅當=m-9即m=15，x=時，“=”成立，所以當x=時，ymin=25.

[?] 減元法

例7 （2010重慶高考）已知x，y∈R+且x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值.

解：因為x+2y+2xy=8，所以y=>0，所以0

所以（x+2y）min=4.

[?] 三角代換法

例8 已知x，y∈R+且+=1，求x+y的最小值.

解：設(shè)=cos2θ，=sin2θθ∈0

， ，則x=1+tan2θ，y=4（1+cot2θ），x+y=5+tan2θ+4cot2θ≥5+4=9，當且僅當tanθ=2cotθ，即x=3，y=6時，“=”成立，所以（x+y）min=9.

例9 已知x，y∈R+，x∈（0，1），求函數(shù)y=+的最小值.

解：設(shè)x=cos2α（α為銳角），則y=+=

2+

2. 又設(shè)=cosβ，=sinβ（β為銳角），

所以+=·（cosαcosβ+sinαsinβ）=cos（α-β）.

由α，β均為銳角?α-β∈-

，?cos（α-β）∈（0，1]，

所以=≥+，所以ymin=（+）2.

[?] 構(gòu)造函數(shù)法

例10 設(shè)a，b∈R+，a+b=1，求證；

a+

b+≥.

解：設(shè)a=+x，b=-x，由0

a+

b+=

+x+·

-x+ =

+x+·

-x+=-x2+++=-x2+++=-2+·（1-4x2）+++=-2+·（1-4x2）+.

設(shè)t=1-4x2，由x∈

-

，易知t∈（0，1]，所以

a+

b+=-2+t+= -2+

t+，易知t+在（0，1]內(nèi)遞減，所以

a+

b+=-2+

t+≥ -2+=，

所以

a+

b+≥.

[?] 利用導(dǎo)數(shù)法

例11 設(shè)x，y∈R+且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值.

解：2x+8y-xy=0?y=>0?x>8，所以x+y=x+=.

設(shè)f（x）=（x>8），當x∈（12，+∞）時，f ′（x）>0，當x=12時，f ′（x）=0，所以fmin=f（12）=18，所以（x+y）min=18.

[?] 利用三角不等式法

例12 已知a，b是任意的非零實數(shù)，求的最小值.

解：=

2++

2-≥

2+

+2-=4，當且僅當

2-·

2+≥0時“=”成立，所以=4.

[?] 構(gòu)造復(fù)數(shù)或向量法

例13 設(shè)a，b，c∈[0，+∞），求證：++≥（a+b+c）.

解：設(shè)z1=a+bi，z2=b+ci，z3=c+ai，

則++=z1+z2+z3≥z1+z2+z3=（a+b+c）+（a+b+c）i=（a+b+c）.

[?] 利用輔助角公式

例14 求函數(shù)y=+的最大值和最小值.

解：已知定義域為：x∈1

，.

因為y=+·且（）2+

2=，所以可令=cosθ，=·sinθθ∈0

， ，y=cosθ+sinθ=sin（θ+φ），其中sinφ==，cosφ==，所以φ可視為銳角. 因為<<，所以<φ<，<θ+φ<，所以ymax=，當θ=或0時，y有最小值，當θ=時，y=；當θ=0時，y=，所以ymin=.