歸納

王志偉

摘 要：如何減輕學生學習數學的負擔，如何提高我們高中數學學習的實效性. 本文通過對一類代數綜合題的歸納，讓學生體會如何突破思維障礙，解決數學問題.進而讓學生了解歸納意識對數學思維的重要作用，并有意識地進行訓練.

關鍵詞：思維能力；歸納；代數題型

思維是人腦對客觀現實的概括和間接的反映，反映的是事物本質和內部的規(guī)律. 而高中學生數學思維，是指高中學生在對數學感性認識的基礎上，運用分析、比較、歸納、演繹、綜合等思維的基本方法，理解并掌握數學內容，而且能對具體的數學問題進行簡單的推論和判斷，從而認識高中數學知識本質以及規(guī)律. 高中學生如何提高數學思維能力呢？我們認為，雖然數學思維能力并非總等同于解題，但可以這樣說，高中學生的數學思維的形成是建立在對高中數學基本概念、基本定理和公式理解的基礎上的；數學思維能力的提高與數學解題的過程是緊密相關、無法分割的. 發(fā)展學生數學思維最有效、最直接的方法是通過解決問題來實現的. “問題是數學的心臟”. 然而，在學習高中數學過程中，我們經?？梢月牭綄W生反映，上課聽老師講課都聽得懂，但輪到自己解題時，總感到一頭霧水，困難重重，無從入手；有時在課堂上，當我們把某一問題分析完，經?？吹綄W生拍拍自己的腦袋：“唉，我怎么會沒有想到這樣做呢？”事實上，有不少問題的解答，學生感到困難，并不是因為這些問題的解答都非常難，以致學生沒有辦法解決，而是因為其思維形式與具體問題的解決存在著一些差異，也就是說，此時學生的數學思維存在障礙. 這種思維障礙，有的來自于我們教學過程中的疏漏，而更多的則來自學生自身，他們的腦海中存在著一些錯誤的或不科學的知識結構和思維模式. 如何突破這種思維障礙呢？筆者覺得及時對知識進行歸納總結是一種非常有效的方法.

所謂的歸納，就是通過觀察和比較，發(fā)現不同對象之間的區(qū)別和聯系，然后總結他們的共同特點，得出一般性結論. 這是一種從特殊到一般的推理方法. 有計劃地對知識進行梳理、歸納和總結，一方面可以鞏固舊知識，而且還可以實現預覽新知識的目的；另一方面可以通過歸納總結增強記憶力，加深理解，幫助學生把知識轉化為能力，為以后的學習奠定基礎. 歸納有很多的形式，可以歸納知識體系，可以歸納解題方法，可以歸納解題步驟，可以歸納錯誤原因等.歸納無處不在，本文主要是對一類代數綜合題的轉化方法進行歸納，目的為了讓學生掌握這類題型的轉化方法，提高他們的思維能力.

我們在教學過程中，常常遇到一些有關恒成立和存在性問題的代數綜合問題. 這些問題往往涉及常見函數的性質、圖象，滲透著換元、化歸、數形結合、函數與方程等思想方法. 學生面對這些問題往往一籌莫展，無從下手，或者張冠李戴，轉化錯誤. 其實這類問題的解題的基本思路是：根據已知條件將問題向基本類型轉化，通過分離參數或構造函數，轉化為最值問題進行求解. 歸納一下，主要有以下幾種類型.

類型一 “?x∈D，f（x）>g（x）”

對于形如?x∈D，f（x）>g（x）的問題，一般先構造函數y=f（x）-g（x），然后轉化為?x∈D，y>0，即ymin>0.

例1 二次函數f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1.

（1）求f（x）的解析式；

（2）在區(qū)間[-1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+m的圖象上方，試確定實數m的取值范圍.

解：（1）f（x）=x2-x+1.

（2）因為y=f（x）的圖象恒在y=2x+m的圖象上方，故f（x）>2x+m在[-1，1]上恒成立，即x2-x+1>2x+m恒成立，令g（x）=x2-x+1-2x=x2-3x+1，g（x）min>m，而g（x）min= -，所以m<-.

點評：本題中，y=f（x）的圖象恒在y=2x+m的圖象上方可轉化為f（x）>2x+m在[-1，1]上恒成立，然后構造函數求解. 注意不能轉化為f（x）min>（2x+m）max，因為在本題中左式和右式必須取相同的x.

同類型的還有：?x∈D，f（x）>g（x），構造函數y=f（x）-g（x），轉化為ymax>0.

類型二 ?x1∈D，?x2∈D，f（x1）>g（x2）

對于形如?x1∈D，?x2∈D，f（x1）>g（x2）的問題，式中有兩個變量x1，x2，我們采取的方法是逐個轉化，先把其中一個作為變元，另一個作為常量，如x1為變元，?x1∈D，f（x1）>g（x2），轉化為f（x）min>g（x2），再將x2作為變元，?x2∈D，f（x）min>g（x2），轉化為f（x）min>g（x）min，進行處理.

例2 已知函數f（x）=2|x-m|和函數g（x）=x

x-m

+2m-8. 若對任意x1∈（-∞，4]，均存在x2∈[4，+∞），使得f（x1）>g（x2）成立，求實數m的取值范圍.

解： f（x）=2x-m，x≥m，

2m-x，xg（x2）min.

①當4≤m≤8時，f（x）在（-∞，4]上單調遞減，故f（x）≥f（4）=2m-4. g（x）在[4，m]上單調遞減，[m，+∞）上單調遞增，故g（x）≥g（m）=2m-8. 所以2m-4>2m-8，解得46.

所以4

②當m>8時，f（x）在（-∞，4]上單調遞減，故f（x）≥f（4）=2m-4. g（x）在

4，

單調遞增，

，m

上單調遞減，[m，+∞）上單調遞增，

g（4）=6m-24>g（m）=2m-8，

故g（x）≥g（m）=2m-8. 所以2m-4>2m-8，

解得46，所以m>8.

③0

故f（x）≥f（m）=1，g（x）在[4，+∞）上單調遞增，

故g（x）≥g（4）=8-2m，所以8-2m<1，即

④m≤0時，f（x）在（-∞，m]上單調遞減，[m，4]上單調遞增，

故f（x）≥f（m）=1. g（x）在[4，+∞）上單調遞增，

故g（x）≥g（4）=8-2m. 所以8-2m<1，即m>（舍去）.

綜上，m的取值范圍是

，5

∪（6，+∞）.

點評：注意與例1的區(qū)別，這里左、右兩邊的變量可以取不同的值.

同類型的還有：（1）?x1∈D，?x2∈D，f（x1）>g（x2），轉化為f（x）min>g（x）max；

（2）?x1∈D，?x2∈D，f（x1）>g（x2），轉化為f（x）max>g（x）max；

（3）?x1∈D，?x2∈D，f（x1）>g（x2），轉化為f（x）max>g（x）min.

類型三 ?x1∈D，?x2∈D，f（x1）=g（x2）

對于形如?x1∈D，?x2∈D，f（x1）=g（x2）的問題，可將f（x）的值域記為A，函數g（x）的值域記為B，該問題等價為A?B.

例3 函數f（x）=x2-2x，g（x）=mx+2，對任意x1∈[-1，2]，存在x2∈[-1，2]，使g（x1）=f（x2），則實數m的取值范圍是________.

解：x1∈[-1，2]，g（x）=mx+2的值域記為A，x2∈[-1，2]，f（x）=x2-2x的值域記為B，易知B=[-1，3]. 因為對任意x1∈[-1，2]，存在x2∈[-1，2]，使g（x1）=f（x2），故A?B.

（1）當m>0，A=[-m+2，2m+2]，所以2m+2≤3且-m+2≥-1，即0

（2）當m<0，A=[2m+2，-m+2]，所以 -m+2≤3且2m+2≥-1，即-1≤m<0.

（3）當m=0，A={2}，滿足A?B.

綜上所述，m∈

-1，

.

點評：根據函數的定義，任一個自變量x，都存在唯一的應變量y與之對應，所以?x∈D，f（x）=m要成立，m的取值集合就是函數f（x）的值域，?x∈D，m=g（x），m應該屬于g（x）的取值集合，故函數f（x）的值域為g（x）的值域的子集.

類型四 ?x1，x2∈D，

f（x1）-f（x2）

≤C

對于形如?x1，x2∈D，

f（x1）-f（x2）

≤C的問題，因為

f（x1）-f（x2）

≤f（x）max-f（x）min，所以原命題等價為f（x）max-f（x）min≤C.

例4 已知函數f（x）=x2-2ax+5（a>1）.

（1）若f（x）的定義域和值域均是[1，a]，求實數a的值；

（2）若f（x）在區(qū)間（-∞，2]上是減函數，且對任意的x1，x2∈[1，a+1]，總有

f（x1）-f（x2）

≤4，求實數a的取值范圍.

解：（1）因為f（x）=（x-a）2+5-a2（a>1），所以f（x）在[1，a]上是減函數，

又定義域和值域均為[1，a]，

所以f（1）=a，

f（a）=1，即1-2a+5=a，

a2-2a2+5=1，解得a=2.

（2）因為f（x）在區(qū)間（-∞，2]上是減函數，所以a≥2.

又x=a∈[1，a+1]且（a+1）-a≤a-1，

所以f（x）max=f（1）=6-2a，f（x）min=f（a）=5-a2.

因為對任意的x1，x2∈[1，a+1]，總有

f（x1）-f（x2）

≤4，

所以f（x）max-f（x）min≤4，所以2≤a≤3.

點評：c≥f（x）恒成立，即c≥f（x）max，因為x1，x2是兩個不相關的變量，所以可以等價為函數f（x）在區(qū)間D上的函數差的最大值小于c. 如果x1，x2是兩個相關變量，則需要代入x1，x2之間的關系式轉化為一元問題進行處理.

類型五 ?x1，x2∈D，

f（x1）-f（x2）

≤a

x1-x2

對于形如?x1，x2∈D，

f（x1）-f（x2）

≤a

x1-x2

這樣的問題，首先根據函數f（x）的單調性去掉

f（x1）-f（x2）

≤a

x1-x2

中的絕對值符號，再構造函數g（x）=f（x）-ax，從而將問題轉化為新函數g（x）的單調性.

例5 在區(qū)間D上，如果函數f（x）為增函數，而函數f（x）為減函數，則稱函數f（x）為“弱增函數”. 已知函數f（x）=1-.

（1）判斷函數f（x）在區(qū)間（0，1]上是否為“弱增函數”；

（2）設x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，證明：

f（x1）-f（x2）

<

x1-x2

；

解：（1）顯然f（x）在區(qū)間（0，1]上為增函數，因為f（x）=（1-）=·=·=·=，所以f（x）在區(qū)間（0，1]上為減函數.

所以f（x）在區(qū)間（0，1]上為“弱增函數”.

（2）要證

f（x1）-f（x2）

<

x1-x2

，不妨設0≤x1f（x1），那么只要證f（x2）-f（x1）<（x2-x1），即證f（x2）-x2

點評：?x1，x2∈D，

f（x1）-f（x2）

x1-x2

等價為

k

=≤a，再進一步等價為

f ′（x）

≤a，這種做法雖可以解出正確答案，但由于缺乏理論支持，解題時不可直接使用.

所以我們在解決這一類問題時，應該首先分辨所屬問題的類型，如果只有一個變量問題，那么首先考慮參數分離；如果不能參數分離或者參數分離后所形成函數不能夠處理，那么可以選擇構造函數來處理；如果有兩個變量，那么只需要按照上面歸納方法來處理即可.

總之，數學能力的提高在于解題的質量而非解題的數量，所以我們要重視研究解題的方向和策略. 這就需要我們時刻擁有歸納意識. 如果我們在解題過程中，經常歸納總結題型、方法和注意點，并儲存在記憶中. 這樣拿到一道題目時，就可以很快地從題目的條件和求解（或求證）的過程中提取有用的信息，聯系記憶系統中的數學認知結構，提取相關的知識，推動題目信息的延伸，歸結到某個確定的數學關系，從而形成一個解題方向. 當我們在解題過程中不斷進行這樣的思考和操作時，數學思維能力將得到有效的提高.