淺談設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索的學(xué)習(xí)方式

匡唐松

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)該只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)。高中數(shù)學(xué)課程倡導(dǎo)學(xué)生開展自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式。新的高中數(shù)學(xué)課程的最大的特點(diǎn):提出了很多思考、探究性的問題,沒有例題示范的探究性練習(xí)。希望學(xué)生通過自學(xué)課本,上網(wǎng)查找資料和互相討論,依靠自己的努力去嘗試解決問題。這樣從小培養(yǎng)他們試一試的精神,長此以往,逐步形成一種勇于探索的精神。他們長大以后,對(duì)于不懂的事物,不會(huì)做的工作都能有“讓我試一試”的精神,這種積極主動(dòng)、勇于嘗試的探索精神是極其可貴的,是新時(shí)代人才必須具備的重要素質(zhì)。有人把世界上320名諾貝爾獎(jiǎng)獲得者所具有共同的內(nèi)在素質(zhì)歸納為6個(gè)方面:(1)高瞻遠(yuǎn)矚,善于把握時(shí)機(jī);(2)選準(zhǔn)目標(biāo),堅(jiān)持不懈;(3)勤奮努力,注重實(shí)踐;(4)富于幻想,大膽探索;(5)排除干擾,勇往直前;(6)積極主動(dòng),興趣濃厚。從這6個(gè)方面看,積極主動(dòng),大膽探索,勇往直前是極為重要的。

學(xué)習(xí)、掌握并能靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)的途徑有千萬條,每個(gè)人都可以有與眾不同的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法,做習(xí)題,用數(shù)學(xué)解決各種問題是必需的;理解概念,學(xué)會(huì)證明,領(lǐng)會(huì)思想,掌握方法也是必需的。還要充分發(fā)揮問題的作用,問題使我們的學(xué)習(xí)更主動(dòng),更生動(dòng),更富探索性。要學(xué)會(huì)提問,善于提問,“凡事問個(gè)為什么”,用自己的問題和別人的問題帶動(dòng)自己的學(xué)習(xí)。俗話說:“看過問題三百個(gè),不會(huì)解題也會(huì)問”。教學(xué)要促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展,就應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí),使學(xué)生產(chǎn)生問題意識(shí)并能自主解決問題的教學(xué)才是成功的教學(xué)。因此,教師精心設(shè)計(jì)問題,使設(shè)計(jì)出的問題具有挑戰(zhàn)性,思考量大,創(chuàng)造性空間廣闊?？梢源蟠蠹ぐl(fā)學(xué)生的創(chuàng)造欲望,提高學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力。下面就結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐談?wù)剢栴}的設(shè)計(jì)。

一、問題的可行性

在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題時(shí),教師必須研究學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律和知識(shí)水平,因?yàn)閷W(xué)生的認(rèn)識(shí)系統(tǒng)是不完全相同的,因此教師在進(jìn)行問題設(shè)計(jì)時(shí),必須根據(jù)每個(gè)學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”進(jìn)行設(shè)計(jì)。所謂最近發(fā)展區(qū)就是在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上最易被同化和順應(yīng)的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu),也就是我們常說的“跳一跳,摘桃子”。問題太難,學(xué)生沒法入手,只會(huì)使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)產(chǎn)生厭倦和畏難情緒。因此,教師要根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)、學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)及學(xué)生的生活實(shí)際,提出既有一定難度又是學(xué)生力所能及的問題,而且這些問題既能有效的激發(fā)學(xué)生的求知欲望,又能使學(xué)生積極主動(dòng)地尋求解決問題的策略,并通過一定的努力或小組討論、研究、最后達(dá)到問題解決。例如:我在講完例題“在正方形中隨機(jī)撒一大把豆子,計(jì)算落在正方形內(nèi)切圓中的豆子數(shù)與落在正方形的豆子數(shù)之比并以此估計(jì)圓周率的值”。接著提出問題:我國數(shù)學(xué)家劉徽采用了以直代曲,無限趨近,“內(nèi)外夾逼”的思想,創(chuàng)立了“割圓術(shù)”,得出圓周率的近似值π=3.14;南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖沖之用“割圓術(shù)”求得π的范圍在3.1415926到3.1415927之間。今天的分組實(shí)踐作業(yè)是用豆子和用計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)的方法估算圓周率的值,若精確度達(dá)不到小數(shù)點(diǎn)后兩位的,要找出失敗的原因,并想想如何改進(jìn)試驗(yàn),找出提高精確度的方法。試驗(yàn)結(jié)果:大多數(shù)組的同學(xué)用豆子很難得出π=3.14。只通過實(shí)驗(yàn)得出的結(jié)論是:將正方形邊長適當(dāng)增長,撒的豆子適當(dāng)增多,得出π的值由2.4上升到3.0。有一組同學(xué),把豆子換成玻璃珠,又把玻璃珠由大顆換成小顆,最后換成小鋼珠,發(fā)現(xiàn)π的近似值精確度不斷提高,有一組同學(xué)不是隨機(jī)撒,而是把小鋼珠均勻布滿整個(gè)方框,適當(dāng)增加邊長,π的近似值精確度達(dá)到小數(shù)點(diǎn)后三位。有的組利用計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加,得到的π的近似值的精確度會(huì)越來越高,很容易精確到小數(shù)點(diǎn)后七位。我充分肯定了同學(xué)們在實(shí)驗(yàn)中體現(xiàn)的主動(dòng)性、探究性的精神。接著提問:為什么后兩位同學(xué)的精確度如此之高,兩者之間有必然的聯(lián)系嗎?為什么?請(qǐng)大家分組再討論。有的同學(xué)回答說:因?yàn)槊款w小鋼珠投影的面積為s,圓的面積就可以近似地看作ns,同樣正方形的面積近似地看作ms。這樣,若正方形的邊長為2a,則“圓的面積:正方形面積=π·a2:4a2=π:4≈ns:ms=n:m”。當(dāng)ns無限趨于圓的面積,ms無限趨于正方形的面積,精確度就越高。面積之比轉(zhuǎn)換成點(diǎn)數(shù)之比,點(diǎn)數(shù)越多,面積就越接近,精確度就越高。這極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性,他們通過動(dòng)腦、動(dòng)手,在自主探究與合作交流的過程中,掌握了數(shù)學(xué)知識(shí),領(lǐng)會(huì)了數(shù)學(xué)方

法,獲得了數(shù)學(xué)活動(dòng)的體驗(yàn),這是傳統(tǒng)的練習(xí)作業(yè)所達(dá)不到的效果。

二、問題的層次性

所謂層次性指的是問題里面各種各樣的小問題,有難、中、易,適合不同層面的學(xué)生需要。人們對(duì)于數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識(shí),是一個(gè)由淺入深、由易到難的漸進(jìn)過程。因此,在數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)中,就要遵循這種原則,問題的設(shè)置應(yīng)由小到大,由簡到繁,由已知到未知,層層推進(jìn),步步深入,使學(xué)生在問題的探究中不斷獲得成功,逐步樹立起學(xué)數(shù)學(xué)的自信心,培養(yǎng)其勇于探索、勇于攀登的精神。例:高中書本有一道習(xí)題:“從1、2、3……n這n個(gè)數(shù)中任取兩個(gè),求兩數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望?！蔽野堰@道題設(shè)計(jì)為:1.從1、2、3中任取兩個(gè)數(shù),求這兩數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望;2.拋擲兩顆均勻的骰子,出現(xiàn)正面朝上的點(diǎn)數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望;3.從a、b、c中任取兩個(gè),求兩數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望;4.推出書本習(xí)題。當(dāng)學(xué)生通過探索發(fā)現(xiàn)歸納由1、2、3到1、2、3、4、5、6、推廣到1、2、3……n遇到麻煩,轉(zhuǎn)而由ab+bc+ac=1/2[(a+b+c)2-(a2+b2+c2)]方向上思考,探索出x1x2+x1x3+…+xixj+…+xn-1xn=1/2[(x1+x2+…+xn)2-(x12+x22+…+xn2)]這樣由淺入深,由易到難,不僅可以把學(xué)生的探究活動(dòng)步步引向深入,而且還可以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

三、問題的應(yīng)用性

20世紀(jì)下半葉以來,數(shù)學(xué)應(yīng)用的巨大發(fā)展是數(shù)學(xué)顯著特征之一。當(dāng)今知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代,數(shù)學(xué)正從幕后走向臺(tái)前,數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的結(jié)合使得數(shù)學(xué)能夠在許多方面直接為社會(huì)創(chuàng)造價(jià)值。高中數(shù)學(xué)課程力求使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用,數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系。例如:三國時(shí)期,諸葛亮運(yùn)用氣象觀測經(jīng)驗(yàn),演出了一場“草船借箭”的好戲,令世人驚嘆。統(tǒng)計(jì)預(yù)報(bào)以概率論為基礎(chǔ),應(yīng)用于天氣預(yù)報(bào)。利用恩格爾系數(shù)了解周圍人生活質(zhì)量的高低,我市城鎮(zhèn)居民生活質(zhì)量的變化。利用函數(shù)圖象統(tǒng)計(jì)考試的班平均分與自己成績的變化情況,了解自己在班級(jí)中的位置。投資方案的選擇,在自然條件下,細(xì)胞分裂,人口增長,生物體內(nèi)碳14的衰減等變化規(guī)律,借助計(jì)算機(jī)求方程的近似解。引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題。

經(jīng)歷探索解決問題的過程,體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值,幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)涵著大量的數(shù)學(xué)信息,面對(duì)實(shí)際問題,能主動(dòng)嘗試著從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法尋求解決問題的策略。

作者單位:中山市楊仙逸中學(xué)