高中數(shù)學教科書中“應用”問題的認識

李紹軍

一、應用的層次性

1.在數(shù)學學科本身的應用。由于數(shù)學學科本身具有邏輯嚴密的特點,前面知識的學習為學習后面的知識做準備。換句話說,前面的知識要應用到后面知識的學習中。

2.在其他相關(guān)學科的應用,特別是物理及工程技術(shù)中的應用。

3.應用到現(xiàn)實情境中去。由于高中學生學習的知識畢竟還是有限的,他們用數(shù)學知識解決的現(xiàn)實問題,與應用數(shù)學家所面臨的現(xiàn)實問題相比,充其量是個“準數(shù)學問題”,至少是“半數(shù)學化”的問題,是一個經(jīng)過人為加工的“數(shù)學半成品”。

4.發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題這四者之間,能夠發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,這是要求最高的。能夠解決已經(jīng)“數(shù)學化”了的問題,對學生來講,是個技能化的過程。而能夠發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題則是一個能力問題。

二、應用與基礎知識的關(guān)系

對高中學生來講,掌握數(shù)學的基礎知識應該是教學的首要目標,應用是以掌握數(shù)學知識為前提的。應用不僅僅是目的,更重要的是過程,即我們不僅要使學生樹立起數(shù)學應用意識,認識到數(shù)學的廣泛應用性特點和應用價值,具備應用數(shù)學解決實際問題的規(guī)律性認識和操作性能力,而且還要切切實實讓學生在應用數(shù)學中掌握基礎知識和數(shù)學方法,學會使用數(shù)學語言,并受到數(shù)學文化的熏陶。很難想象,沒有扎實的基礎知識,談何應用?

三、應用與計算機(器)

計算機(器)的普及,為數(shù)學的應用提供了先進的計算工具,更便于處理實際數(shù)據(jù),使應用問題更加真實,切合實際;良好的演示平臺,使數(shù)學應用有了廣闊的空間,計算機能夠把靜態(tài)的變成動態(tài)的,把抽象的東西具體化、直觀化,使人們的思維能夠得到一定程度的延伸。

四、從數(shù)學學習和數(shù)學活動看“應用”

數(shù)學不同于其他自然科學,它具有逐級抽象的特點。從客觀實際、現(xiàn)實世界中的抽象只是數(shù)學的低級抽象;脫離具體事和物的數(shù)量關(guān)系和空間形式的數(shù)學研究的對象是數(shù)學的高級抽象。高級抽象是在低級抽象基礎上的進一步抽象,它的研究對象是一種形式化的思想材料,是經(jīng)過人加工了的思想,是人對自然界的概括和認識。數(shù)學的逐級抽象性的特點,說明了學生學習過程中思維發(fā)展的不同階段和水平,因而數(shù)學的學習活動也是分層次的。學習的最低層次是數(shù)學的組織。通過學生自己的猜測、探索,從現(xiàn)實問題情景中提煉數(shù)學問題,發(fā)現(xiàn)問題及其規(guī)律,對問題有整體理解,這是學生數(shù)學地組織經(jīng)驗材料的活動層次;學習的第二個層次是將數(shù)學問題組織成原理,并用數(shù)學語言模式去描繪原理。即通過對脫離具體事和物的數(shù)量關(guān)系和空間形式的數(shù)學研究,構(gòu)筑抽象理論意義的數(shù)學原理。這是學生組織經(jīng)驗領域的活動,是進一步抽象概括數(shù)學材料并提煉數(shù)學原理的過程;第三個層次是數(shù)學原理的驗證、推廣階段。如果說前兩個層次是“發(fā)現(xiàn)”原理的過程,那么這個層次就是驗證推廣的階段。驗證的過程實際是將“發(fā)展”的結(jié)果演繹推理的形式系統(tǒng)化、邏輯化的過程;最后一個層次是反省上述學習過程,將抽象結(jié)果應用于實際,用以指導現(xiàn)實生活。此層次的反省活動,是對前述認識過程的進一步認識,是對前述學習過程的反思,對整個學習過程起到調(diào)節(jié)和監(jiān)控作用。斯托利亞爾認為,數(shù)學活動可分為三個階段:經(jīng)驗材料的數(shù)學組織化、數(shù)學材料的邏輯組織化、數(shù)學理論的應用。這三個階段構(gòu)成了學生學習活動的完整過程,忽視甚至丟棄哪個階段的做法都是不對的。學生親自感受和經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)”數(shù)學的過程,也就是數(shù)學再創(chuàng)造的過程,唯有以再創(chuàng)造的方式進行數(shù)學學習,將知識的發(fā)生發(fā)展過程理清,才能在數(shù)學上向趨向成熟的下一階段邁進。傳統(tǒng)的數(shù)學課程只是按照以形式化了的現(xiàn)成的數(shù)學規(guī)則去操作數(shù)學。現(xiàn)在的數(shù)學課程強調(diào)了經(jīng)驗材料的數(shù)學組織和數(shù)學的應用。“應用”是一個非常大的話題,不但是課程教材改革的問題,而且還涉及教學、學習、評價(考試)等等。還有待我們深入研究。

作者單位:河北省遷安市夏官營高級中學