數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透研究

溫富豪

【摘要】初中階段是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的承上啟下階段，在這一階段的教學(xué)中，教師教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想、打好學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)尤為重要.本文中筆者將以初中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)為例，淺談在實(shí)際教學(xué)中利用以數(shù)化形、以形變數(shù)及數(shù)形互變這三種數(shù)形結(jié)合方法幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的具體策略.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合思想;初中數(shù)學(xué);教學(xué)策略

引言：數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)乃至學(xué)生的整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯中最基本的一種數(shù)學(xué)思想方法.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，教師幫助學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法，不僅能讓學(xué)生更好地從數(shù)學(xué)的角度看待數(shù)、形的知識(shí)，而且有利于學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力的培養(yǎng).但是，在初中數(shù)學(xué)的實(shí)際教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生對(duì)這一方法的認(rèn)識(shí)及熟練程度并不高.基于此，為更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)換能力，作為教師的我們就必須積極探索用數(shù)形結(jié)合思想組織教學(xué)活動(dòng)的可行手段，并合理根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí).

一、數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義

（一）發(fā)展學(xué)生思維的敏捷性與靈活性

數(shù)形結(jié)合教學(xué)方法具有其獨(dú)特的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)，教師可以借助數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上的靈活思維，使學(xué)生能夠厘清煩瑣的數(shù)量關(guān)系，在認(rèn)知數(shù)學(xué)問題的過(guò)程中結(jié)合圖形理解各類數(shù)學(xué)知識(shí).教師也可以通過(guò)給定某些題目條件，讓學(xué)生判別某些題目中一些難懂的知識(shí)，將題目?jī)?nèi)容以一種簡(jiǎn)單化的模式呈現(xiàn)出來(lái)，將一些煩瑣的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為學(xué)生能夠看懂的圖形.在解決問題的過(guò)程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生尋找其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系.學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)大多會(huì)通過(guò)自我思考認(rèn)真思索題目的解答方法，這種教育發(fā)展模式能夠鍛煉學(xué)生的思維能力，也進(jìn)一步開拓了學(xué)生的想象空間.特別是對(duì)于一些困難的題目，數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法更是具有很高的應(yīng)用價(jià)值，它能夠真正鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維的敏捷性.

（二）促使知識(shí)直觀化

除了推動(dòng)學(xué)生的思維敏捷發(fā)展之外，數(shù)形結(jié)合教學(xué)方法的應(yīng)用過(guò)程還能夠讓學(xué)生的空間想象能力變得更加完善.學(xué)生在解決某些代數(shù)問題時(shí)，會(huì)不自覺地聯(lián)想起自己曾經(jīng)遇到過(guò)的類似題目，這時(shí)學(xué)生的思維也會(huì)變得更加開闊了.對(duì)于他們而言，他們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)應(yīng)用自己所尋找到的方法進(jìn)行推算處理，這也避免了學(xué)生對(duì)于煩瑣公式的學(xué)習(xí)和運(yùn)算過(guò)程，使他們能夠真正提升自我解題能力.同時(shí)，這種方法還會(huì)增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的信心，在根本上幫助學(xué)生完成對(duì)于學(xué)習(xí)事物的興趣的激發(fā).它還能夠變學(xué)生的被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，這時(shí)大多數(shù)學(xué)生會(huì)運(yùn)用一種更具靈活性的方法去探尋多邊形、不等式、方程、函數(shù)等知識(shí)的轉(zhuǎn)化要點(diǎn)，完成知識(shí)理解的直觀化，探索數(shù)學(xué)知識(shí)的奧妙.

（三）幫助學(xué)生全方位思考問題

數(shù)形結(jié)合教學(xué)方法能夠幫助學(xué)生用全面的思維去認(rèn)知問題，在不同解題方法的探尋過(guò)程中理解解決問題步驟的實(shí)施過(guò)程.學(xué)生大多都會(huì)從自我思維出發(fā)，去對(duì)問題的解決過(guò)程進(jìn)行探索.這需要學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)具備完善的探索創(chuàng)新思維，在學(xué)習(xí)過(guò)程中教師可以借助數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法為學(xué)生的想象力的激發(fā)提供一定的幫助.特別是對(duì)于某些初始教材的教學(xué)過(guò)程，大部分的章節(jié)內(nèi)容都在教材中有所體現(xiàn)，這時(shí)更需要學(xué)生去做的就是理解章節(jié)內(nèi)容，利用數(shù)形結(jié)合的方法了解問題的解決步驟，努力激活自我思維.

二、數(shù)形結(jié)合方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透研究

（一）以數(shù)化形

數(shù)學(xué)是初中生培養(yǎng)核心素養(yǎng)的主要學(xué)科[1].在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，教師教學(xué)的重點(diǎn)就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，其中數(shù)形結(jié)合作為學(xué)生最常用的數(shù)學(xué)思想之一，對(duì)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維有著極其重要的作用.所謂數(shù)形結(jié)合，其最大的特點(diǎn)就是形象與直觀.在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生會(huì)接觸到許多不好理解的代數(shù)公式和代數(shù)題目，對(duì)此類知識(shí)的教學(xué)，教師就可以借助數(shù)形結(jié)合的方法，將困難、抽象的數(shù)學(xué)代數(shù)式轉(zhuǎn)化為直觀、形象的幾何圖形，以此幫助學(xué)生更好地理解公式的含義，尋找題目的解答策略，從而實(shí)現(xiàn)教學(xué)的最佳效果.

如，在“求二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)”的題目的教學(xué)中，教師就可以使用這種以數(shù)化形的方法：首先為學(xué)生展示題目“已知二次函數(shù)y=2（x-1）2-4，求其與一次函數(shù)y=2x-1的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)”，然后讓學(xué)生根據(jù)自己已有的數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)這道題目進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)學(xué)計(jì)算.在實(shí)際計(jì)算中大多數(shù)同學(xué)都會(huì)采用“先將一次函數(shù)式代入二次函數(shù)中求出一元二次方程，再根據(jù)一元二次方程的求根方法求出x的值，最后將x的值代入原一次函數(shù)式求y的值”的方法，這種方法本身并沒有什么錯(cuò)誤，但是若是在考試等限時(shí)訓(xùn)練中使用的話，這種方法就會(huì)太過(guò)浪費(fèi)時(shí)間.此時(shí)，教師就可以采用以數(shù)化形的方法，先建立平面直角坐標(biāo)系，然后將題目中的兩個(gè)函數(shù)式以圖像的方法展示在坐標(biāo)系中，并根據(jù)圖像的交點(diǎn)得出問題的答案.在這樣的教學(xué)方式中，教師將復(fù)雜的題目轉(zhuǎn)換為了簡(jiǎn)單的圖形，這不僅能讓學(xué)生一目了然地明確問題的答案，還能培養(yǎng)學(xué)生的思維，讓學(xué)生以更科學(xué)的態(tài)度對(duì)題目進(jìn)行更準(zhǔn)確的解答.同時(shí)，這種較新穎的教學(xué)方法還能更好地挖掘出數(shù)學(xué)的潛在魅力，從而喚起學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)欲望.

（二）以形變數(shù)

數(shù)學(xué)學(xué)科在學(xué)習(xí)方式和思維能力等方面具有獨(dú)特的特點(diǎn)[2].在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，把代數(shù)式轉(zhuǎn)化為幾何圖形的難度并不是特別大，但是要想讓學(xué)生從幾何圖形中尋找出代數(shù)式就不容易了.基于此，在初中數(shù)學(xué)的實(shí)際教學(xué)中，教師就應(yīng)該根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科的獨(dú)特特點(diǎn)，利用小組合作的方法，讓學(xué)生在集體思考中尋找到以形變數(shù)的策略，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)自學(xué)能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題技能.

如，題目“已知互相重疊的平行四邊形A和B的面積分別是18，12，這兩個(gè)平行四邊形中除重疊以外的部分各有陰影，且陰影部分的面積分別為a，b，若a大于b，求a-b的值”.這道題目是一道標(biāo)準(zhǔn)的幾何題目，它看起來(lái)并不難，但是在實(shí)際解題中仍有很多學(xué)生不知道應(yīng)該從何處入手，究其原因就是很多學(xué)生在看到這個(gè)題目時(shí)，第一反應(yīng)就是求陰影部分的值.但是題中沒有告訴和陰影部分有關(guān)的幾何量，因而想用幾何的方式解這個(gè)題目的思路并不正確.此時(shí)教師就可以引導(dǎo)學(xué)生采用以形變數(shù)的方法，讓學(xué)生通過(guò)小組討論的方式，在小組內(nèi)根據(jù)題目要求、已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)以及題目中涉及的幾何圖形思考其解決辦法.學(xué)生經(jīng)過(guò)思考就會(huì)發(fā)現(xiàn)：此題完全可以用代數(shù)的方法求解.假設(shè)題目圖形中重疊部分的面積為x，繼而結(jié)合相關(guān)代數(shù)知識(shí)與題目中的已知條件，我們就可以將原題中條件轉(zhuǎn)化為a=18-x，b=12-x，那么a-b就應(yīng)該等于（18-x）-（12-x）=6.在上面的例子中，教師把以形化數(shù)的理念與實(shí)際的練習(xí)聯(lián)系了起來(lái)，能夠讓學(xué)生在實(shí)踐中有效地掌握以形化數(shù)的數(shù)形結(jié)合方法.另外，案例中小組合作的方法也能讓學(xué)生在集思廣益中通過(guò)自主學(xué)習(xí)的方式尋找到解題策略，從而提升學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心，喚起學(xué)生自主解決數(shù)學(xué)問題的意識(shí).

（三）數(shù)形互變

在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，為了更好地將數(shù)形結(jié)合思想滲入進(jìn)課堂教學(xué)活動(dòng)里，教師應(yīng)該主動(dòng)挖掘并開發(fā)教學(xué)資源，借助學(xué)生的日常生活情境，通過(guò)數(shù)形互變的教學(xué)方法，讓學(xué)生在掌握數(shù)形結(jié)合思想方法的同時(shí)，得到數(shù)學(xué)實(shí)踐能力和數(shù)學(xué)科學(xué)意識(shí)的培養(yǎng).

如，在“平面直角坐標(biāo)系及其函數(shù)關(guān)系”這部分知識(shí)的教學(xué)中，教師就可以采用這種方法，讓學(xué)生將數(shù)轉(zhuǎn)換為圖形，利用代數(shù)知識(shí)對(duì)圖形進(jìn)行分析和解答.在實(shí)際教學(xué)中，教師可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際生活建立如下情境：姐姐和妹妹相約周末去湖邊游玩.周末那天，她們一起從家中出發(fā)，20分鐘后她們來(lái)到了距離家900米的小湖邊，這時(shí)姐姐忽然想起自己還有東西忘記帶，于是以原速返回家中，妹妹玩了10分鐘以后，因?yàn)榭诳识昧?5分鐘回到了家里.然后教師讓學(xué)生根據(jù)這一情境借助直角坐標(biāo)系的相關(guān)知識(shí)畫出姐姐妹妹離家時(shí)間與距離之間的關(guān)系圖，根據(jù)關(guān)系圖結(jié)合自己已有的知識(shí)將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，并對(duì)其進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算.上述教學(xué)模式借助了學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，這不僅能更好地將學(xué)生的生活與數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)聯(lián)系起來(lái)，以此增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的認(rèn)識(shí)，喚起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的重視，還有利于開闊學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí).

（三）鞏固知識(shí)

學(xué)生對(duì)于初中階段數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，除了應(yīng)掌握一些必須理解的內(nèi)容之外，還包括對(duì)一些基本的概念知識(shí)的理解.教師在對(duì)概念知識(shí)進(jìn)行教學(xué)時(shí)，要盡量避免死記硬背的教學(xué)策略，要讓學(xué)生對(duì)概念內(nèi)容進(jìn)行深層次的理解，加強(qiáng)學(xué)生在基礎(chǔ)知識(shí)方面的掌握，讓學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合方法對(duì)于自身理解數(shù)學(xué)知識(shí)的重要性.

例如，在教學(xué)“平行、旋轉(zhuǎn)”這部分知識(shí)時(shí)，教師要想幫助學(xué)生更好地理解本節(jié)課的基本內(nèi)容，就應(yīng)該有效地應(yīng)用好數(shù)形結(jié)合的方法.首先，教師可以在課堂上借助圖形讓學(xué)生理解圖形旋轉(zhuǎn)與圖形平移的變化過(guò)程.這種教學(xué)方法能夠?qū)⒔處煹慕虒W(xué)活動(dòng)變得生動(dòng)有趣，擺脫傳統(tǒng)的抽象性教學(xué)對(duì)于學(xué)生的一些干擾.然后，教師可以借助電子白板的直接展示功能，將圖形旋轉(zhuǎn)以及圖形平移的變化過(guò)程應(yīng)用動(dòng)畫軟件展示出來(lái)，讓學(xué)生對(duì)圖形變化過(guò)程進(jìn)行區(qū)別，知曉本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點(diǎn).為檢測(cè)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，教師可以展示生活中一些圖形平移、旋轉(zhuǎn)的實(shí)例，讓學(xué)生說(shuō)出這些實(shí)例的演變過(guò)程.這樣一種知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程擺脫了概念內(nèi)容的枯燥教學(xué)，而且完成了數(shù)學(xué)高效課堂的構(gòu)建.

（四）提升能力

數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的過(guò)程離不開學(xué)生對(duì)于重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)的理解，只有掌握了數(shù)學(xué)課堂上的重點(diǎn)內(nèi)容，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)才會(huì)變得更加積極、主動(dòng).教師應(yīng)自覺地利用好數(shù)形結(jié)合教學(xué)方法，讓學(xué)生將自己所學(xué)習(xí)的知識(shí)靈活運(yùn)用于實(shí)際生活之中.教師在教學(xué)時(shí)必須加強(qiáng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)的理解，利用各類有效方法提高學(xué)生的核心素養(yǎng).

例如，在學(xué)習(xí)“勾股定理”這部分知識(shí)時(shí)，對(duì)于勾股定理的理解難度較大，不少學(xué)生在學(xué)習(xí)該知識(shí)點(diǎn)時(shí)存在著很多的問題，他們無(wú)法將勾股定理的知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)到位.對(duì)此，教師在教學(xué)過(guò)程中就應(yīng)該運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法去教學(xué).首先，教師可以利用多媒體展示一個(gè)直角三角形，給出直角三角形的三邊，讓學(xué)生探尋這三邊的關(guān)系.學(xué)生在探索的過(guò)程中很快就能了解到直角三角形的三邊滿足一定的關(guān)系，那就是兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.然后，為鞏固學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，教師可順勢(shì)引入一道例題：已知直角三角形ABC中，∠C=90°，如果a=6，c=10，那么b等于多少？如果a=40，b=9，∠C等于多少？在例題變換的過(guò)程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生先畫出圖形，再結(jié)合自我的思維將該道題目求解出來(lái).大多數(shù)學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)都體會(huì)到了數(shù)形結(jié)合思想的滲透作用，這也加強(qiáng)了高效課堂的構(gòu)建效果.

（五）提高效率

在初中數(shù)學(xué)課堂上，為了順應(yīng)新的課程改革目標(biāo)，教師在教學(xué)時(shí)還應(yīng)積極做好理論教學(xué)與實(shí)踐教學(xué)的相結(jié)合.因此，在完成相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容之后，教師應(yīng)提出一些課后作業(yè)，讓學(xué)生結(jié)合課后作業(yè)進(jìn)行自我鞏固.但是教師在布置課后作業(yè)時(shí)應(yīng)強(qiáng)調(diào)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法，讓學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)閷?shí)際能夠理解的簡(jiǎn)單知識(shí)，提升其作業(yè)完成質(zhì)量.

例如，在教學(xué)“三角形”這部分知識(shí)時(shí)，教師就可以結(jié)合三角形面積的求法以及三角形的基本性質(zhì)，讓學(xué)生在課后完成作業(yè).教師應(yīng)要求學(xué)生在求解每一道三角形題目時(shí)都將該道題目的簡(jiǎn)圖畫出來(lái)，將必要的計(jì)算過(guò)程書寫于旁邊.學(xué)生在完成作業(yè)的過(guò)程中大多會(huì)積極地進(jìn)行思考，教師也可以借此方法保證學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.一些學(xué)生在解決三角形題目時(shí)往往會(huì)遇到一些問題，因?yàn)樗麄儧]有考慮三角形三邊的構(gòu)成關(guān)系.此時(shí)，教師可以通過(guò)圖形講解三角形三條邊的構(gòu)成條件，使學(xué)生理解三角形兩邊之和必然是大于第三邊的.課后，教師再有針對(duì)性地布置一些作業(yè).教師通過(guò)學(xué)生的作業(yè)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，以便以后調(diào)整教學(xué)方案.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法求解數(shù)學(xué)問題能夠讓學(xué)生提高作業(yè)完成效率，以此構(gòu)建高效數(shù)學(xué)課堂.

三、總?結(jié)

以上就是筆者在初中數(shù)學(xué)中關(guān)于教授學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的幾點(diǎn)做法，現(xiàn)分享出來(lái)以供各位同仁商榷.

【參考文獻(xiàn)】

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[2]王效宗.談數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用[J].學(xué)周刊，2019（08）：101.