細(xì)解中考數(shù)學(xué)題的熱點(diǎn)難點(diǎn)

周碧龍

【摘要】本文以2019年廣東省中考數(shù)學(xué)試卷中的第25題（二次函數(shù)問(wèn)題）為例，簡(jiǎn)要分析了中考中對(duì)二次函數(shù)相關(guān)內(nèi)容的考查方向，并針對(duì)求點(diǎn)的坐標(biāo)、數(shù)形結(jié)合、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題等提出自己獲得的對(duì)教學(xué)的啟示：在教學(xué)過(guò)程中要注重模型的轉(zhuǎn)化，發(fā)展學(xué)生的推理能力.

【關(guān)鍵詞】中考;二次函數(shù);典型錯(cuò)誤;解題分析

一、問(wèn)題的提出

（一）研究背景

二次函數(shù)問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中非常重要的內(nèi)容，有關(guān)二次函數(shù)的考題多作為壓軸題出現(xiàn)，它占分比例高，難度較大，區(qū)分度較高，主要考查學(xué)生的綜合能力.因此，這類題目已成為初中廣大師生重點(diǎn)鉆研的對(duì)象.在多年的教學(xué)實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解決二次函數(shù)問(wèn)題時(shí)多有抵觸情緒.究其原因，是題目總是以結(jié)合其他知識(shí)的形式出現(xiàn)，變化多端，以致學(xué)生無(wú)法抓住題目的本質(zhì)，從而丟分.

（二）研究意義

1.理論意義

二次函數(shù)是函數(shù)的重要分支，也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容.二次函數(shù)的學(xué)習(xí)在函數(shù)學(xué)習(xí)的過(guò)程中具有承上啟下的作用，它承接了正比例函數(shù)、一次函數(shù)和反比例函數(shù)，對(duì)函數(shù)及其應(yīng)用進(jìn)行了進(jìn)一步提升和深化，同時(shí)為高中學(xué)習(xí)三角函數(shù)等知識(shí)做了鋪墊，并打下一定的基礎(chǔ).二次函數(shù)是反映現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律的一個(gè)模型，可以應(yīng)用到投籃、跳水等自由落體運(yùn)動(dòng)和求最大利潤(rùn)、最大面積以及拋物線形隧道、拱橋問(wèn)題等很多方面.

2.實(shí)踐意義

分析二次函數(shù)問(wèn)題的解題過(guò)程，研究典型錯(cuò)誤，對(duì)二次函數(shù)的學(xué)習(xí)具有十分重要的實(shí)踐意義.對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，可以完善其對(duì)二次函數(shù)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，優(yōu)化做題技巧和方法，提高其函數(shù)思維能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，從而提升其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和興趣.對(duì)教師來(lái)說(shuō)，通過(guò)分析二次函數(shù)問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn)，可以總結(jié)歸納錯(cuò)誤的類型和原因，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，從而有的放矢地進(jìn)行教學(xué)和指導(dǎo)，進(jìn)而提升二次函數(shù)的教學(xué)效果.

二、中考中二次函數(shù)問(wèn)題的典型錯(cuò)誤與解題分析

[2019年廣東省中考數(shù)學(xué)試卷第25題]如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=38x2+334x - 738與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè)），點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，CD交x軸于點(diǎn)F，△CAD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△CFE，點(diǎn)A恰好旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)F，連接BE.

（1）求點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo).

（2）求證：四邊形BFCE是平行四邊形.

（3）如圖2，過(guò)頂點(diǎn)D作DD1⊥x軸于點(diǎn)D1.點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，點(diǎn)M為垂足，使得△PAM與△DD1A相似（不含全等）.

①求出一個(gè)滿足以上條件的點(diǎn)P的橫坐標(biāo);

②直接回答這樣的點(diǎn)P共有幾個(gè).

（一）典型錯(cuò)誤

1.對(duì)二次函數(shù)的定義理解不清

在解題時(shí)，很多學(xué)生由于對(duì)二次函數(shù)沒有一個(gè)清晰的概念，以至于不會(huì)將拋物線的關(guān)系式y(tǒng)=38x2+334x-738與圖形及題目中的已知信息有機(jī)地結(jié)合起來(lái)去求點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo).因此，教師在教學(xué)過(guò)程中要引導(dǎo)學(xué)生將二次函數(shù)相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)加以總結(jié)，在此基礎(chǔ)上清晰地建立解題思路，并且督促學(xué)生對(duì)相關(guān)的題目進(jìn)行練習(xí)，訓(xùn)練學(xué)生舉一反三的能力.

2.忽略隱含條件

在解題時(shí)最容易丟分的一個(gè)原因還包括審題不仔細(xì)，忽略題目中的隱含條件.為了提高學(xué)生的審題能力和深度挖掘題目信息的能力，教師在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中需要幫助學(xué)生養(yǎng)成在解題時(shí)提取題目信息的能力，可以在平時(shí)學(xué)習(xí)任務(wù)輕松時(shí)，讓學(xué)生將題目信息提取在草稿本上，并堅(jiān)持長(zhǎng)期訓(xùn)練.

3.忽略數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用

初中數(shù)學(xué)知識(shí)大體可以分為三類：數(shù)與代數(shù)、幾何以及概率.很多同學(xué)在學(xué)習(xí)的過(guò)程中沒有發(fā)現(xiàn)它們的內(nèi)在聯(lián)系.實(shí)際上，在解答綜合性題目時(shí)，多數(shù)時(shí)候都需要將代數(shù)與幾何結(jié)合起來(lái)，如本題中的二次函數(shù)與平面直角坐標(biāo)系.只有將相關(guān)知識(shí)有效結(jié)合起來(lái)，才能找到解決問(wèn)題的好方法.

4.忽略題目的多種可能性

此題中的第三問(wèn)，由于沒有確定點(diǎn)P所在的位置，因此我們需要對(duì)點(diǎn)P所在的位置進(jìn)行分類討論，在分析完點(diǎn)P的三種位置以后，還要根據(jù)這三種位置繼續(xù)分類討論，這樣下來(lái)就會(huì)產(chǎn)生六種情況.學(xué)生在分類討論的過(guò)程中最容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.教師在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中要多訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維，幫助學(xué)生養(yǎng)成對(duì)題目進(jìn)行分類討論的習(xí)慣.

5.計(jì)算功底不扎實(shí)

在整個(gè)解題過(guò)程中一直支撐著我們的思維前進(jìn)的是扎實(shí)的計(jì)算功底.面對(duì)復(fù)雜的計(jì)算，如果學(xué)生計(jì)算功底薄弱，那么會(huì)導(dǎo)致失掉大量分值.因此，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師需要抓住學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)——計(jì)算能力進(jìn)行重點(diǎn)訓(xùn)練.

三、教學(xué)反思

（一）分析錯(cuò)因，避開誤區(qū)

通過(guò)對(duì)該試題進(jìn)行解題分析，總結(jié)如下：提高學(xué)生的運(yùn)算水平，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)等式的性質(zhì)、代數(shù)式簡(jiǎn)化、整式運(yùn)算以及計(jì)算法則等算理的理解能力;增加練習(xí)量，使學(xué)生加深對(duì)函數(shù)、不等式以及方程中相關(guān)意義的理解，注重區(qū)分參數(shù)與未知數(shù);借助對(duì)比訓(xùn)練，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)平方差公式與完全平方公式之間的區(qū)別的掌握，能熟練進(jìn)行函數(shù)、方程之間的轉(zhuǎn)化;適當(dāng)強(qiáng)化配方法訓(xùn)練，促使學(xué)生進(jìn)一步掌握相關(guān)方法;進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生提取有用信息、發(fā)現(xiàn)隱含條件的能力.

（二）總結(jié)解法，獲得啟迪

不等式、方程與函數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究的重要模型，解題過(guò)程中可以將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成方程問(wèn)題進(jìn)行解答.因此，教師要強(qiáng)化對(duì)學(xué)生模型轉(zhuǎn)化能力的培養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生提高習(xí)題解答水平，開拓?cái)?shù)學(xué)思維，提高邏輯推理素養(yǎng).

（三）縱觀中考，教學(xué)啟示

回顧廣東省近幾年中考中的二次函數(shù)試題，我們可以發(fā)現(xiàn)帶有參數(shù)的試題占有較大比重.學(xué)校教育不僅要讓學(xué)生掌握所學(xué)知識(shí)與技能，同時(shí)要讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想進(jìn)行感悟，不斷豐富自身實(shí)踐經(jīng)驗(yàn).若能夠?qū)鹘y(tǒng)的基礎(chǔ)知識(shí)與技能與現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想相結(jié)合，不斷積累實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)思維，則能夠有效促進(jìn)數(shù)學(xué)教育的發(fā)展.

【參考文獻(xiàn)】

[1]董婷婷.變里尋定，化中覓徑：例談一道中考二次函數(shù)題的典型錯(cuò)誤與解題分析[J].數(shù)學(xué)之友，2019（01）：77-80.

[2]孟莉.淺談如何做好初中數(shù)學(xué)“二次函數(shù)”的教學(xué)[C].中華教育理論與實(shí)踐科研論文成果選編（第十二卷），2016：238-239.