架個(gè)支點(diǎn)“撬”概念

龔立明

古希臘科學(xué)家阿基米得闡述杠桿原理用了這樣一句流傳千古的名言：“給我一個(gè)支點(diǎn)，我就能撬起地球!”

要真想撬起整個(gè)地球，談何容易!科學(xué)家經(jīng)過分析，如果找到讓我們?cè)O(shè)想阿基米得真的找到了另一個(gè)地球做支點(diǎn)，再設(shè)想他也做成了一根夠長的杠桿。哪怕只舉起1cm，至少要30萬億年!

所以我們不撬地球，但不可否認(rèn)的是，如果找到了合適的支點(diǎn)，真可撬起整個(gè)地球。支點(diǎn)的作用可真大!自然界的難事幾乎都通過小小的支點(diǎn)實(shí)現(xiàn)或省時(shí)，或省力。于是我想到了學(xué)生不喜歡上數(shù)學(xué)概念課，因?yàn)楦拍詈艹橄?，不像?jì)算那樣有立竿見影的成功體驗(yàn)，往往聽之全懂，想之半懂，做之不懂；概念很乏味，不像解決問題那樣趣味性強(qiáng)、生活味濃。而對(duì)概念的理解和掌握，關(guān)系到學(xué)生計(jì)算能力和邏輯思維能力的培養(yǎng)，關(guān)系到學(xué)生解決實(shí)際問題的能力和對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。因此，理解概念的本質(zhì)屬性的意義不亞于科學(xué)家“撬”起地球。教師要善于尋找“撬”起概念的支點(diǎn)，省時(shí)省力地掌握概念是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可持續(xù)性發(fā)展的需要。

支點(diǎn)之一：原始思維

原始思維是指未經(jīng)過教授而自然形成的思維形式，對(duì)客觀事物的反映中加入許多感情和愿望的因素，具有自發(fā)性、真實(shí)性、模糊性、不完整性。對(duì)于概念的探究，學(xué)生有自己的思維導(dǎo)向和特點(diǎn)，它們頭腦中的概念并不是嚴(yán)謹(jǐn)抽象的。如何以原始思維為支點(diǎn)，讓學(xué)生理解概念的內(nèi)涵呢?

如四年級(jí)“三角形的分類”一課，教師出示：

請(qǐng)你用自己的理解給上面的三角形分類。從認(rèn)知水平分析，學(xué)生基本上按角分，按邊分不太容易想得到。

分類的目的不僅僅是為了歸類，更重要的是研究這些名稱是如何命名的?大多數(shù)學(xué)生都得出：

一個(gè)角是直角，另外兩個(gè)角是銳角的三角形是直角三角形：

一個(gè)角是鈍角，另外兩個(gè)角是銳角的三角形是鈍角三角形；

三個(gè)角都是銳角的三角形是銳角三角形。

學(xué)生在最初表述概念時(shí)往往不抓個(gè)性，而是共性和個(gè)性一起抓，這些觀點(diǎn)都是對(duì)三角形的原始思維，往往就是抽象的前序。為了“撬”起特征鮮明的概念，教師拋出一個(gè)很具思維含量的問題：同學(xué)們，直角三角形、鈍角三角形要不要說得這樣詳細(xì)呢?

于是在討論中學(xué)生發(fā)現(xiàn)：一個(gè)三角形中只能有一個(gè)直角或鈍角，所以有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形，有一個(gè)角是鈍角的三角形是鈍角三角形。

教師繼續(xù)問：有一個(gè)角是銳角的三角形就是銳角三角形，你們覺得對(duì)嗎?

生：不行，銳角三角形有三個(gè)銳角，所以必須說清三個(gè)角是銳角。

學(xué)生領(lǐng)悟到，每個(gè)三角形中至少有兩個(gè)銳角，而銳角三角形必須是三個(gè)銳角。

這樣從原始到抽象的進(jìn)程，也是學(xué)生自己對(duì)自己想法的多次辯證；利用原始思維去理解概念，與學(xué)生原有思維程序的銜接更加緊密，也符合從最近發(fā)展區(qū)教學(xué)的原理。

支點(diǎn)之二：分步遞進(jìn)

數(shù)學(xué)概念是從客觀現(xiàn)實(shí)中抽象出來的，本質(zhì)屬性是構(gòu)成這一事物、區(qū)別于其他事物的根本特征。三角形的三邊關(guān)系是小學(xué)階段新加的內(nèi)容，目的是使學(xué)生對(duì)三角形的理解更加深刻，我分了幾個(gè)層次進(jìn)行教學(xué)：

第一層次，小組合作，動(dòng)手操作。

以四人小組為單位，給每個(gè)小組發(fā)一套三角形小棒，讓學(xué)生動(dòng)手?jǐn)[一擺，看看那些能拼成三角形。小棒的長度(厘米)為：(1)6、7、8(2)4、5、9o)3、6、10(4)2、8、9

這時(shí)學(xué)生的操作都是盲目的，因?yàn)榻處煹闹噶顩]有指向性。但在結(jié)果中困惑：有的能拼成三角形。有的拼不成三角形。這是為什么呢?

第二層次，教師把學(xué)生的情況填寫在表格里。

學(xué)生會(huì)出現(xiàn)兩種情況：6、7、8和2、8、9拼成，4、5、9和3、6、9拼不成。

先討論能拼成的情況。讓學(xué)生觀察表格，教師問：“什么能拼成?學(xué)生邊說，教師寫清分析過程：因?yàn)?+7>8，6+8>7，8+7>6，所以6、7、8一組能拼成。2、8、9也能拼成，因?yàn)?+9>8，9+8>2，8+2>9。學(xué)生初步感知三角形的其中兩條邊都大干第三條邊。

再討論不能拼成的情況，為了更清晰地形成概念，我再次通過媒體展示，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：兩邊之和小于第三邊的不能連接??；兩邊之和等于第三邊不會(huì)產(chǎn)生三個(gè)角。

第三層次，總結(jié)規(guī)律。

教師問“怎么樣的三角形的邊才能拼成三角形?你能用一句話總結(jié)出規(guī)律嗎?”

學(xué)生在自己整理數(shù)據(jù)中，通過觀察發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。通過總結(jié)，使學(xué)生在頭腦中有一個(gè)清晰的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。為了充分說明概念，第四個(gè)層次時(shí)安排驗(yàn)證三角形邊的關(guān)系在三角形中的普遍陸，教師舉例4、4、6和5、5、5，讓學(xué)生們討論特殊性，覆蓋知識(shí)的整體；再引導(dǎo)學(xué)生通過量一量、算一算、比一比課前自定邊長做的三角形如在釘子板圍的、紙上畫的、用小棒搭的或用紙折的等進(jìn)行驗(yàn)證。通過這樣把支點(diǎn)架在有遞進(jìn)關(guān)系的幾個(gè)層次上，使學(xué)生對(duì)于“任意三角形兩條邊大于第三邊”概念有了本質(zhì)的理解。

支點(diǎn)之三：溝通新舊

數(shù)學(xué)中的一些概念是相互聯(lián)系的，既有相同點(diǎn)，又有不同之處。有比較才有鑒別，對(duì)比是建立概念的一種好方法。有些學(xué)生雖然能背出概念，但碰到具體問題，就不會(huì)區(qū)分或作出錯(cuò)誤的判斷。如質(zhì)數(shù)和互質(zhì)數(shù)，質(zhì)數(shù)是根據(jù)一個(gè)數(shù)本身因數(shù)的個(gè)數(shù)來確定的，而互質(zhì)數(shù)是根據(jù)兩個(gè)數(shù)是否有公因數(shù)1來確定的。對(duì)一些相鄰、相近和容易混淆的概念，出一些習(xí)題讓學(xué)生進(jìn)行判斷、選擇，這樣既鞏固了概念，也發(fā)展了學(xué)生的判斷能力。為了說明“0”占位的問題，在“1000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”一課教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比0在個(gè)位上和十位上的讀法，學(xué)生漸漸明白：數(shù)位上沒有數(shù)，都用0占位，但意義不同。為了發(fā)展學(xué)生的綜合能力，在課的最后，教師利用小蝸牛背數(shù)字的游戲：_____、_____700_____ ，啟發(fā)學(xué)生在多種填法的對(duì)比中加強(qiáng)對(duì)一個(gè)一個(gè)數(shù)和幾個(gè)幾個(gè)數(shù)的靈活運(yùn)用能力。

為了溝通新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，概念教學(xué)中經(jīng)常采用回旋的教學(xué)手法保持課堂的“鮮味”。如上例的“三角形三邊關(guān)系”的練習(xí)中，我在第一個(gè)基本練習(xí)中出示：

判斷下面各組小棒(單位：厘米)能不能拼成三角形。

1.3、4、52.3、2、23.3、3、54.2、6、2

有的學(xué)生很快能得出答案。

我問：“為什么你能這么快得出答案?”

學(xué)生：“我只要算較短的兩條邊3+4>5就能判斷出?！?/p>

師：“真的只要判斷較短兩條邊大干第三邊就能判斷了，請(qǐng)你驗(yàn)證一下其他三題?”

學(xué)生通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)都可以。

這時(shí)教師開始回旋：“那么剛才表格中的這些方法是不是也符合你的意見呢?”

在這里引導(dǎo)出判斷三條邊能不能組成三角形的一種更好的方法：只要較短的兩邊大于第三邊。學(xué)數(shù)學(xué)就是要巧學(xué)妙用，教師又結(jié)合剛才學(xué)習(xí)過程中任意三邊關(guān)系的方法中不斷地進(jìn)行提升，這是對(duì)原有概念的大力充實(shí)，體現(xiàn)了他們的創(chuàng)新思維。

支點(diǎn)之四：創(chuàng)建模型

“數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué)。”因此學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程可以這樣去理解：先把現(xiàn)實(shí)情境充分抽象化、形式化、符號(hào)化，構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)模型回應(yīng)生活解決問題，同時(shí)也修改完善數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的憑借物，用“物”做支點(diǎn)，概念就變得觸手可摸，動(dòng)手可做，就會(huì)變得更加具體化，把傳統(tǒng)的說概念變?yōu)樽龈拍睢?/p>

求兩個(gè)數(shù)如12、18的最大公因數(shù)，教師往往通過羅列法先各自求出因數(shù)，然后尋找公因數(shù)，再找公因數(shù)中最大的一個(gè)。然后教師總會(huì)抽象成一個(gè)右邊的數(shù)學(xué)模型：

從文字到圖1是一個(gè)數(shù)學(xué)簡(jiǎn)約化的過程，而從圖1到圖2則是引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的過程。圖2正是在圖1的基礎(chǔ)上把兩個(gè)集合合并成一個(gè)集合，讓學(xué)生理解重疊部分就是公因數(shù)，最大一個(gè)就是最大公因數(shù)。其實(shí)這樣的學(xué)習(xí)不僅僅是為了公因數(shù)，而是在滲透交集思想，讓學(xué)生明白公共一塊既屬于12，也屬于18。而對(duì)于這一部分學(xué)生也不陌生，在三年級(jí)時(shí)已經(jīng)學(xué)過這樣的內(nèi)容，現(xiàn)在正是應(yīng)用了這一思想方法解決公因數(shù)的問題，對(duì)于建立公因數(shù)的概念非常形象和具說服力。因此，數(shù)學(xué)模型的建立要符合學(xué)生的思維方式和現(xiàn)有水平，韋恩圖確實(shí)是一種好方法。但事實(shí)上，我們完全在此基礎(chǔ)上深化到使用短除法，可以省時(shí)省力，學(xué)生樂于接受。

如何去“撬”概念就需要教師在教學(xué)中尋找到恰到好處的支點(diǎn)。俗話說：四兩撥千斤。如何利用最小點(diǎn)去支起概念的局部結(jié)構(gòu)，進(jìn)而形成數(shù)學(xué)的整座大廈，教師要增強(qiáng)架支點(diǎn)的本領(lǐng)，掌握架支點(diǎn)的藝術(shù)，探索支的方式，“撬”起概念教學(xué)的新思路!