深化概念教學(xué)　提高教學(xué)質(zhì)量

賴中能

[摘 要]概念是數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)思想與方法的載體。搞好概念教學(xué)是實現(xiàn)知識傳授和能力培養(yǎng)的重要環(huán)節(jié)，是提高教學(xué)質(zhì)量的一個重要方面。本文結(jié)合教學(xué)實踐，探討了深化概念教學(xué)，提高概念教學(xué)的有效性，進而提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的問題。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)概念 有效性 方法

數(shù)學(xué)是由概念與命題等內(nèi)容組成的知識體系，它是一門以抽象思維為主的學(xué)科，而概念又是這種思維的語言，因此，概念教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)中至關(guān)重要的一項內(nèi)容，是基礎(chǔ)知識和基本技能教學(xué)的核心。正確理解概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，學(xué)好概念是學(xué)好數(shù)學(xué)最重要的一環(huán)。教學(xué)過程中如果能夠充分考慮到這一因素，并抓住有限的概念教學(xué)的契機，完全可以做到提高大多數(shù)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。從平常數(shù)學(xué)概念的教學(xué)實際來看，學(xué)生往往會出現(xiàn)兩種傾向：一是有的學(xué)生認(rèn)為基本概念單調(diào)乏味，不去重視它，不求甚解，導(dǎo)致概念認(rèn)識和理解模糊：二是有的學(xué)生對基本概念雖然重視，但只是死記硬背，沒有真正理解透徹，只有機械的、零碎的認(rèn)識。久而久之，就嚴(yán)重地影響了對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握、運用。比如，有同學(xué)認(rèn)為(x∈[0，2 ])是偶函數(shù)，有的同學(xué)認(rèn)為函數(shù) 與Y軸可以有多個交點，這些錯誤都是由于學(xué)生對概念認(rèn)識模糊造成的。只有真正掌握了數(shù)學(xué)中的基本概念，才能把握數(shù)學(xué)的知識系統(tǒng)，才能正確、合理、迅速地進行運算、論證和空間想象。從一定意義上說，數(shù)學(xué)水平的高低取決于對數(shù)學(xué)概念掌握的程度。那么，作為教師應(yīng)如何進行數(shù)學(xué)概念的教學(xué)呢？

一、在體驗數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的過程中認(rèn)識概念

數(shù)學(xué)概念的引入應(yīng)從實際出發(fā)。通過與概念有明顯聯(lián)系、直觀性強的例子，使學(xué)生在對具體問題的體驗中感知概念，并形成感性認(rèn)識。通過對一定數(shù)量的感性材料的觀察、分析，還可以提煉出感性材料的本質(zhì)屬性。學(xué)生如能在教師創(chuàng)設(shè)的情景中去探索、去發(fā)現(xiàn)，那么，他們在獲得概念的同時，還能培養(yǎng)自身的創(chuàng)造精神。概念引入時，教師要鼓勵學(xué)生大膽猜想，即讓他們依據(jù)已有的材料和知識進行符合一定經(jīng)驗與事實的推測性想象，以經(jīng)歷數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)新概念的最初階段。在概念引入時培養(yǎng)學(xué)生敢于猜想的習(xí)慣，是形成數(shù)學(xué)直覺、發(fā)展數(shù)學(xué)思維、獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本素質(zhì)，也是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的重要因素。

例如，在立體幾何中，教學(xué)異面直線距離的概念時，傳統(tǒng)的方法是給出異面直線公垂線的概念，然后指出兩垂足間的線段長就叫做兩條異面直線的距離。但這種教學(xué)方法的效果不是很好。因此，在教學(xué)時，可以先讓學(xué)生回顧一下過去學(xué)過的有關(guān)距離的概念，如兩點之間的距離、點到直線的距離、兩平行線之間的距離等，并引導(dǎo)他們思考這些距離有什么特點。經(jīng)過思考后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)共同的特點是最短與垂直。然后，再啟發(fā)他們思考在兩條異面直線上是否也存在這樣的兩點，它們間的距離是最短的嗎？如果存在，應(yīng)當(dāng)有哪些特征？于是經(jīng)過共同探索，學(xué)生得出如果這兩點的連線段和兩條異面直線都垂直，則其長是最短的，并通過實物模型演示確認(rèn)了這樣的線段的存在，在此基礎(chǔ)上自然就給出了異面直線距離的概念。這樣做，不僅使學(xué)生訓(xùn)練了概括能力，還嘗到了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的快樂。

二、加強新舊數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系

1.在挖掘新概念的內(nèi)涵與外延的基礎(chǔ)上理解概念。新概念的引入，是對已有概念的繼承、發(fā)展和完善。有些概念由于其內(nèi)涵豐富、外延廣泛等原因，很難一步到位，這就需要分成若干個層次，并逐步加深提高。如三角函數(shù)的定義就經(jīng)歷了以下三個循序漸進、不斷深化的過程：用直角三角形邊長的比刻畫的銳角三角函數(shù)的定義；用點的坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù)的定義；任意角的三角函數(shù)的定義。由此概念就衍生出：①三角函數(shù)的值在各個象限的符號；②三角函數(shù)線；③同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；④三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；⑤三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式等?？梢?，三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)的教學(xué)中可謂是重中之重，是整個三角部分的奠基石，它貫穿于與三角有關(guān)的各部分內(nèi)容，并起著關(guān)鍵作用。重視概念教學(xué)，挖掘概念的內(nèi)涵與外延等都有利于學(xué)生對概念進行透徹理解。

2.在尋找新舊概念之間的聯(lián)系的基礎(chǔ)上掌握概念。數(shù)學(xué)中有許多概念都有著密切的聯(lián)系，如平行線段與平行向量，平面角與空間角，方程與不等式，映射與函數(shù)，等等。在教學(xué)中應(yīng)善于尋找，并分析其聯(lián)系與區(qū)別。再如，函數(shù)概念有兩種定義，一種是初中給出的定義，是從運動變化的觀點出發(fā)，其中的對應(yīng)關(guān)系是將自變量的每一個取值與唯一確定的函數(shù)值對應(yīng)起來；另一種是高中給出的定義，是從集合、對應(yīng)的觀點出發(fā)，將原象集合中的每一個元素與象集合中唯一確定的元素對應(yīng)起來。從歷史上看，初中給出的定義來源于物理公式，而函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，可用圖象、表格、公式等表示。所以高中用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，才真正抓住了函數(shù)的本質(zhì)屬性，且更具有一般性。認(rèn)真分析兩種函數(shù)定義，其定義域與值域的含義完全相同，對應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)也一樣，只是敘述的出發(fā)點不同，所以兩種函數(shù)的定義、本質(zhì)是一致的。

三、數(shù)學(xué)概念教學(xué)要注重對學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)

如何設(shè)計數(shù)學(xué)概念教學(xué)，如何在概念教學(xué)中有效地培養(yǎng)和開發(fā)學(xué)生的思維品質(zhì)，是我們在教學(xué)中經(jīng)常遇到，并必須解決的問題?，F(xiàn)以教學(xué)“兩條異面直線所成的角”為例，談?wù)勗诟鱾€階段概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維能力、優(yōu)化思維品質(zhì)的做法。

1.呈現(xiàn)概念背景，培養(yǎng)思維的主動性。學(xué)生思維的主動性表現(xiàn)為對數(shù)學(xué)充滿熱情，以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)為樂趣，并在獲得知識的過程中產(chǎn)生一種愜意的滿足感。以正方體為例，讓學(xué)生觀察異面直線（呈現(xiàn)背景），使他們沉浸于對新知識的期盼、探求的情境之中，從而觸發(fā)積極的思維活動。

2.創(chuàng)設(shè)求知情境，培養(yǎng)思維的敏捷性。思維的敏捷性表現(xiàn)在思考問題時，敏銳地感知，迅速地提取有效信息，并進行“由此思彼”的聯(lián)想，從而果斷、簡捷地解決問題。

3.精確表述概念，培養(yǎng)思維的準(zhǔn)確性。思維的準(zhǔn)確性是指思維符合邏輯，判斷準(zhǔn)確，概念清晰。新概念的引進解決了提出的問題，學(xué)生自己參與形成和表述概念的過程，并培養(yǎng)了抽象概括能力。如用相交直線的夾角刻劃異面直線的夾角等。

4.解剖新概念，培養(yǎng)思維的縝密性。思維的縝密性表現(xiàn)為抓住概念的本質(zhì)特征，對概念的內(nèi)涵與外延的關(guān)系全面、深刻地理解，對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的嚴(yán)密性和科學(xué)性能夠充分認(rèn)識（兩異面直線所成角的概念完全建立）。在這個過程中，還滲透了把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題這一化歸的數(shù)學(xué)思想方法。

5.運用新概念，培養(yǎng)思維的深刻性。思維的深刻性主要表現(xiàn)為理解能力強，能抓住概念、定理的核心及知識的內(nèi)在聯(lián)系，并準(zhǔn)確地掌握概念的內(nèi)涵及使用的條件和范圍。在用概念判別命題的真?zhèn)螘r，能抓住問題的實質(zhì)；在用概念解題時，能抓住問題的關(guān)鍵。鞏固深化階段：當(dāng)學(xué)生深刻理解了數(shù)學(xué)概念之后，應(yīng)立即引導(dǎo)他們運用所學(xué)概念來解決“引入概念”時提出的問題（或其他問題），使學(xué)生在運用中鞏固概念，并認(rèn)識到數(shù)學(xué)概念既是進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，又是進行再認(rèn)識的工具。如此往復(fù)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為實踐——認(rèn)識——再實踐——再認(rèn)識的過程，從而達(dá)到培養(yǎng)思維的深刻性的目的。

6.分析錯解成因，培養(yǎng)思維的批判性。思維的批判是指思維嚴(yán)謹(jǐn)而不疏漏，能準(zhǔn)確地辨別和判斷，并善于覓錯、糾錯，以批判的眼光觀察事物和審視思維的活動。深化階段：對數(shù)學(xué)概念的理解要防止片面性，在運用概念時，除了要用典型的例子從正面加深學(xué)生對概念的理解，以鞏固概念之外，還應(yīng)針對某些概念的定義，指出一些容易被忽視的關(guān)鍵性字眼。如某些概念的條件比較多，學(xué)生常常顧此失彼，不易全面掌握；某些概念與它的鄰近概念相似，從而不易區(qū)別，等等。利用反例，可以加深學(xué)生對概念的內(nèi)涵與外延的理解，培養(yǎng)思維的批判性。

四、針對數(shù)學(xué)概念的特點采用靈活的教學(xué)方法

針對不同概念的教學(xué)，要在采用不同的教學(xué)方法和模式上下功夫。概念教學(xué)主要是要完成概念的形成和概念的同化這兩個環(huán)節(jié)。新知識的概念是學(xué)生初次接觸或較難理解的，所以在教學(xué)時應(yīng)先列舉大量具體的例子，從被學(xué)生的實際經(jīng)驗所肯定的例證中，歸納出這一類事物的特征，并與已有的概念加以區(qū)別和聯(lián)系，從而形成對這一特性的一種陳述性定義，這就是形成一種概念的過程。在這一過程中，還要與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的原有概念相互聯(lián)系、作用，以領(lǐng)會新概念的本質(zhì)屬性，并獲得新概念，這就是概念的同化。在進行數(shù)學(xué)概念教學(xué)時，最能有效促進學(xué)生創(chuàng)新能力的主要是對實例的歸納及辨析。通過對實例的歸納和辨析，對新問題的特性形成陳述性的理解，繼而與原有的知識結(jié)構(gòu)相互聯(lián)系，從而完成概念形成的兩個步驟。

依據(jù)數(shù)學(xué)概念的形成，筆者設(shè)計概念教學(xué)的第一種模式如下：問題情景（抽象）—新概念分析[內(nèi)涵、外延、正（反）例]—應(yīng)用—反饋，具體實施步驟是：①構(gòu)建問題情景，創(chuàng)設(shè)心理環(huán)境。針對新概念構(gòu)建相應(yīng)的問題情景，隱含新概念所描述的事物的本質(zhì)，并觀察、認(rèn)識到提出新概念的必需性和合理性，從而積極、大膽地進行思維。②考察本質(zhì)屬性，抽象形成概念。分析問題情景，概括出它所反映事物的共同屬性，由此逐步抽象，并提出新概念。③設(shè)計多向分析，深化概念理解。對新概念可從揭示內(nèi)涵、外延、定義方式、合理性（和諧性）、正反例證等方面分析。④及時測試、反饋（應(yīng)用），并評價思維訓(xùn)練。

數(shù)學(xué)概念是從一些具有相同屬性的事物或現(xiàn)象中抽象出來的，這些本質(zhì)屬性就是這一概念的內(nèi)涵，滿足這些內(nèi)涵的全部對象就是這個概念的外延。根據(jù)概念的內(nèi)涵和外延，筆者設(shè)計概念教學(xué)的第二種模式如下：已有概念（類比、遷移）新概念—比較（共性、異性）—創(chuàng)造（形成新概念體系）—應(yīng)用—反饋。其實施步驟如下：①精選已有概念，設(shè)置問題情景。數(shù)學(xué)概念體系的形成過程具有一定的層次性，如坐標(biāo)法經(jīng)歷了直線—平面—空間。教學(xué)中應(yīng)選擇最近的原概念，通過升維、加權(quán)、反向思考等進行設(shè)置。②擬定類比方案，再遷移形成概念?？疾旄拍钋榫暗淖兓?，擬定提出新概念的類比方案（概念誘發(fā)、類比途徑、類比可能的結(jié)果、驗證），并加以完善。③重比較，促創(chuàng)造，強化概念的理解。對類比、遷移提出的新概念，需要與問題情景中的已知概念進行比較，弄清與原概念的共性，與已知概念的異性。④及時測試反饋，評價思維訓(xùn)練。以上兩種針對數(shù)學(xué)概念的教學(xué)方法與模式需要教師對概念進行全面理解與合理把握，使學(xué)生透徹、牢固地掌握數(shù)學(xué)概念是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵所在。作為一個數(shù)學(xué)教師，首先應(yīng)該認(rèn)識到數(shù)學(xué)概念教學(xué)同加強了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識教學(xué)，并培養(yǎng)了學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，此外，還發(fā)展了學(xué)生的邏輯思維和空間想象能力的關(guān)系。因此，要在思想上重視它，這樣，教學(xué)時的目的就會更加明確，且只要方法對頭，就不會造成為概念而教學(xué)，也就不會扼殺學(xué)生的主動性。

五、在運用數(shù)學(xué)概念解決問題的過程中鞏固概念

當(dāng)數(shù)學(xué)概念形成之后，就可以通過具體例子說明概念的內(nèi)涵，認(rèn)識概念的“原型”，并引導(dǎo)學(xué)生利用概念解決數(shù)學(xué)問題，使他們認(rèn)識到概念在解決問題中的作用。例如，當(dāng)我們學(xué)習(xí)完“向量的坐標(biāo)”這一概念之后，就可以進行向量的坐標(biāo)運算，并提出問題：已知平行四邊形的三個頂點的坐標(biāo)，試求另一個頂點的坐標(biāo)。問題提出后，學(xué)生展開了充分的討論，不少學(xué)生還運用平面解析幾何中學(xué)過的知識（如兩點間的距離公式、斜率、直線方程、中點坐標(biāo)公式等），結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，提出了各種不同的解法，有的學(xué)生用共線向量的概念給出了解法，還有一些學(xué)生運用所學(xué)的向量坐標(biāo)的概念，把點的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)聯(lián)系起來，從而巧妙地解答了這一問題。

學(xué)生通過對問題的思考，盡快投入到新概念的探索中去，從而激發(fā)了他們的好奇以及探索和創(chuàng)造的欲望，使之在參與的過程中產(chǎn)生內(nèi)心的體驗和創(chuàng)造。除此之外，教師通過反例、錯解等進行辨析，也有利于學(xué)生鞏固概念。

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