高等數(shù)學(xué)實用教學(xué)典故解析

張云霞 齊冠宏 鄒良華

[摘要] 數(shù)學(xué)是打開科學(xué)大門的金鑰匙,是科學(xué)的語言,是思維的體操,是理性的精神,是一門高超的藝術(shù)。但高等數(shù)學(xué)越來越成為現(xiàn)代大學(xué)生學(xué)習(xí)生涯上的障礙,為改變現(xiàn)狀,我們要從課堂教學(xué)入手,通過教學(xué)典故與教學(xué)內(nèi)容的高效結(jié)合,提高教學(xué)效果,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

[關(guān)鍵詞] 高等數(shù)學(xué) 解析 教學(xué)典故

“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之謎、日月之繁等各個方面,無處不有數(shù)學(xué)的重要貢獻。”這是我國偉大的數(shù)學(xué)家華羅庚對數(shù)學(xué)進行的形象描繪。高等數(shù)學(xué)作為高等院校學(xué)生的一門重要基礎(chǔ)課程,直接影響著學(xué)生許多專業(yè)課程的學(xué)習(xí),是構(gòu)成大學(xué)生智能結(jié)構(gòu)的重要組成部分。但由于內(nèi)容的抽象性和邏輯性,高等數(shù)學(xué)課堂氣氛總是嚴肅而沉悶,思維難以活躍,知識學(xué)習(xí)難以深入,久而久之,學(xué)生產(chǎn)生厭煩情緒,要扭轉(zhuǎn)這種局面,需要教師在教學(xué)方法、形式上下一番功夫。在教學(xué)過程中將知識與典故高效結(jié)合,不失為一種有效地方法。

一、關(guān)于微積分

微積分到底是誰發(fā)明的,這在世界科學(xué)史上曾經(jīng)是一樁公案。歐洲大陸的學(xué)者歸功于德國的萊布尼茲(1646~1716),英倫三島的學(xué)術(shù)界授譽于牛頓。激烈的爭執(zhí)甚至傷害了民族感情。最后判決:微積分是萊布尼茲和牛頓共同發(fā)明的,爭執(zhí)才得到公正的解決。通過上述介紹,可以激發(fā)學(xué)生的求知欲與好奇心,在此基礎(chǔ)上為了滿足學(xué)生的好奇心,可以繼續(xù)介紹萊布尼茲和牛頓的簡單情況。萊布尼茲是17、18世紀之交德國最重要的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家,一個舉世罕見的科學(xué)天才。他博覽群書,涉獵百科,對豐富人類的科學(xué)知識寶庫做出了不可磨滅的貢獻。由于學(xué)生對牛頓已非常熟悉,就可簡單介紹下牛頓是英國著名的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家,是十七世紀最偉大的科學(xué)巨匠。

二、關(guān)于極限

極限是分析數(shù)學(xué)最基本概念之一,特別是極限思想貫穿整個微積分的始終,在講極限的時候可以舉兩個例子說明一下:(1)0.999999……=1?誰都知道1/3=0.333333……而兩邊同時乘以3就得到1=0.999999……可就是看著別扭,因為左邊是一個“有限”的數(shù),右邊是“無限”的數(shù)。(2)“無理數(shù)”算是什么數(shù)?我們知道,形如根號2這樣的數(shù)是不可能表示為兩個整數(shù)比值的樣子的,它的每一位都只有在不停計算之后才能確定,且無窮無盡,這種沒完沒了的數(shù),大大違背人們的思維習(xí)慣。結(jié)合上面的一些困難,人們迫切需要一種思想方法,來界定和研究這種“沒完沒了”的數(shù),這就產(chǎn)生了數(shù)列極限的思想。另外,也可以講述芝諾“阿基里斯和烏龜賽跑”的故事:烏龜和阿基里斯賽跑,烏龜提前跑了一段,不妨設(shè)為100米,而阿基里斯的速度比烏龜快得多,假設(shè)他的速度為烏龜?shù)?0倍,這樣當(dāng)阿基里斯跑了100米到烏龜?shù)某霭l(fā)點時,烏龜向前跑了10米;當(dāng)阿基里斯再追了這10米時,烏龜又向前跑了1米……如此繼續(xù)下去,因為追趕者必須首先到達被追趕者的原來位置,所以被追趕者總是在追趕者的前面,由此得出阿基里斯永遠追不上烏龜。這顯然與生活中的實際情況不相符合。古希臘人之所以被這個問題困惑了兩千多年,主要是他們將運動中的“無限過程”與“無限時間”混為一談。因為一個無限過程固然需要無限個時間段,但這無限個時間段的總和卻可以是一個“有限值”。這個問題說明了古希臘人已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了“無窮小量”與“很小的量”這兩概念間的矛盾。這個矛盾只有在人們掌握了極限知識之后,才能真正地了解。通過講述極限理論建立過程的故事,使學(xué)生對極限定義的產(chǎn)生過程有清楚的了解,同時也認識到極限理論對于微積分的重要性,從而加深了對極限概念的理解。

三、關(guān)于解析幾何與笛卡爾

文藝復(fù)興使歐洲學(xué)者繼承了古希臘的幾何學(xué),也接受了東方傳入的代數(shù)學(xué)?？茖W(xué)技術(shù)的發(fā)展,使得用數(shù)學(xué)方法描述運動成為人們關(guān)心的中心問題。笛卡兒分析了幾何學(xué)與代數(shù)學(xué)的優(yōu)缺點,表示要去“尋求另外一種包含這兩門科學(xué)的好處,而沒有它們的缺點的方法”。1637年,笛卡爾的《幾何學(xué)》一書提出了解析幾何學(xué)的主要思想和方法,標志著解析幾何學(xué)的誕生。此后,人類進入變量數(shù)學(xué)階段。解析幾何的出現(xiàn),改變了自古希臘以來代數(shù)和幾何分離的趨向,把相互對立著的“數(shù)”與“形”統(tǒng)一了起來,使幾何曲線與代數(shù)方程相結(jié)合。為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ),開拓了變量數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域。正如恩格斯所說:“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù),運動進入了數(shù)學(xué),有了變數(shù),辯證法進入了數(shù)學(xué),有了變數(shù),微分和積分也就立刻成為必要了?！蓖ㄟ^對解析幾何誕生的介紹,使學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科之間的結(jié)構(gòu)有了更加深刻的認識。

四、關(guān)于無窮級數(shù)和傅里葉

講述無窮級數(shù)之前,先介紹蠕蟲與橡皮繩的故事:一條蠕蟲在長為1公里的橡皮繩的一端點上。蠕蟲以每秒1厘米的速度沿橡皮繩勻速向另一端爬行,而橡皮繩以每秒1公里的速度均勻伸長,如此下去,蠕蟲能否到達橡皮繩的另一端點?憑直覺,幾乎所有的學(xué)生都認為蠕蟲的爬行速度與橡皮繩拉長的速度差距太大,蠕蟲絕不能爬到另一端。此時,教師給予適當(dāng)?shù)奶崾?由于橡皮繩是均勻伸長的,所以蠕蟲隨著拉伸也向前位移。1公里等于100,000厘米,所以在第一秒末,爬行了整個橡皮繩的1/100000,在第二秒內(nèi),蠕蟲在2公里長的橡皮繩上爬行了它的1/200000,在第三秒內(nèi),它又爬行了3公里長的橡皮繩的1/300000……所以,在第n秒末,蠕蟲的爬行長度為1100000(1+12+13+…+1n)。當(dāng)n充分大時,這個數(shù)能否大于1?也就是括號里的和式能否大于100000呢?此時學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情已經(jīng)調(diào)動起來,適機告訴學(xué)生,我們可以找到這個正整數(shù)N,使上述結(jié)果成立。也就是說蠕蟲在第N秒時已經(jīng)爬到了橡皮繩的另一端點。這個結(jié)論肯定令學(xué)生出乎意料,學(xué)習(xí)熱情進一步高漲。繼續(xù)引導(dǎo)為什么會這樣引入正題:這是因為無窮數(shù)列是一個發(fā)散數(shù)列,它可以大于任意一個有限的數(shù)值。從而使學(xué)生迫不及待地想了解無窮級數(shù)究竟是怎么一回事?借此引出正題,定會收到顯著的效果。

五、結(jié)束語

數(shù)學(xué)是一種情感,一種力量。正是有了這種情感和力量,笛卡兒為解析幾何的創(chuàng)立思索了19年,哈密頓為四元數(shù)的誕生冥思苦想了15個春秋;陳景潤為“1+1”探索了30年,數(shù)學(xué)家們?yōu)槲⒎e分理論的完善奮斗了200多年,為解決費馬大定理拼搏了300多年。這種情感和力量也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動力源泉。我們通過介紹數(shù)學(xué)典故,旨在使學(xué)生產(chǎn)生這種情感和力量。

大數(shù)學(xué)家克萊因認為:“數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成績,也是人類心靈最獨特的創(chuàng)作。音樂能激發(fā)或撫慰情懷,繪畫使人賞心悅目,詩歌能動人心弦,哲學(xué)使人獲得智慧,科學(xué)可改善物質(zhì)生活,但數(shù)學(xué)能給予以上的一切?！痹诮虒W(xué)過程中教師要結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容,有目的地講述一些有趣的數(shù)學(xué)典故,變枯燥的數(shù)學(xué)課堂為活潑生動的科學(xué)殿堂,讓學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣,刻苦鉆研數(shù)學(xué)知識,為將來學(xué)習(xí)各類科學(xué)知識打下堅實的基礎(chǔ)。

參考文獻:

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