等差數(shù)列法在化學(xué)試題解析中的妙用

數(shù)學(xué)是“思維的體操”，化學(xué)解題很強(qiáng)調(diào)思維的靈活性與獨(dú)創(chuàng)性，因而運(yùn)用數(shù)學(xué)方法來解決某些化學(xué)問題可簡化思維過程，鍛煉思維能力，加快解題速度。等差數(shù)列法是一種重要的數(shù)學(xué)思想和分析方法。運(yùn)用此法可使分析過程大為簡化，解題速度和準(zhǔn)確率也會進(jìn)一步提高。本文試用幾例闡述等差數(shù)列法在解答較復(fù)雜的化學(xué)問題中的妙用。

對于等差數(shù)列有a=a+（n-1）d，其中a為通項(xiàng)，a為首項(xiàng)，d是公差。類似的有機(jī)同系物可分為母體和主體，通式對應(yīng)通項(xiàng)，母體對應(yīng)首項(xiàng)，主體對應(yīng)（n-1）d。分析的步驟是：

（1）把母體除開，分析主體中的C、H遞變規(guī)律，找出公差；

（2）把母體變形，使其與公差形式相似；

（3）寫出通式和n的變化范圍。

例題1：在瀝青蒸氣里含有多種稠環(huán)芳香烴，其中一些可視為同系物，如下圖中A、B、C等所示。它們都含有偶數(shù)個苯環(huán)結(jié)構(gòu)。

（1）該系列化合物中，相鄰兩化合物間遞增的CnHm中的m和n的數(shù)值分別是m=，n=；

（2）從萘開始，這一系列化合物中的第25個的分子式是。

解析：觀察A、B、C的結(jié)構(gòu)簡式，可以發(fā)現(xiàn)它們的分子式分別為CH、CH、CH，發(fā)現(xiàn)每增加2個苯環(huán)，碳原子數(shù)增加6，H原子數(shù)增加2，從而不難從碳原子個數(shù)和氫原子個數(shù)遞變的規(guī)律發(fā)現(xiàn)二者均成等差數(shù)列，數(shù)列的首項(xiàng)為CH，公差為CH。因此根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式，我們就可以順利地計(jì)算出這類物質(zhì)的通式為：CH（n≥1）。

（1）m=2，n=6；

（2）第25個物質(zhì)的分子式為CH。

通過上例分析可知，應(yīng)用等差數(shù)列法可以解決一些常規(guī)方法難以解決的問題。此題考查了學(xué)生對有機(jī)化合物同系物分子式的推斷能力，著重考查學(xué)生嚴(yán)密的思維能力和自學(xué)能力。

下面再列舉幾例來探究等差數(shù)列法在解題中的應(yīng)用。

例題2：X、Y、Z三種一元堿，它們的相對分子質(zhì)量之比為3∶5∶7，現(xiàn)將7molX、5molY和3molZ均勻混合，取此混合物5.36g，恰能中和0.15molHCl。試求X、Y、Z的摩爾質(zhì)量分別為多少？

解析：解此題的常規(guī)方法是設(shè)未知數(shù)解方程組，相當(dāng)麻煩。如果我們借助等差數(shù)列就可以比較簡單地推導(dǎo)出答案。我們假設(shè)這三種一元堿的化學(xué)式分別為AOH、BOH、COH，則它們的相對分子質(zhì)量分別為A+17、B+17、C+17。由于它們的相對分子質(zhì)量比為3∶5∶7，通過觀察，我們會發(fā)現(xiàn)它們的相對分子質(zhì)量成等差數(shù)列，所以A、B、C也肯定呈等差數(shù)列。

又因?yàn)閄、Y、Z均為一元堿，所以A、B、C均為堿金屬。由元素周期表中查到堿金屬的相對原子質(zhì)量后，不難發(fā)現(xiàn)：只有Li、Na、K三種元素的的相對原子質(zhì)量成等差數(shù)列。因此，根據(jù)題意可知：A是Li，B是Na，C是K。所以X、Y、Z分別是LiOH、NaOH、KOH，其摩爾質(zhì)量依次為：24g/mol、40g/mol、56g/mol。

例題3：（2001—2002年度全國高中化學(xué)競賽河北賽區(qū)初賽試題第38題）在有機(jī)化學(xué)中，將結(jié)構(gòu)相似，組成上相差相同基團(tuán)的一系列物質(zhì)稱為同系列。例如，以金剛烷為基本模塊，作若干次堆積，就得到了如下同系列第①是金剛烷。

試通過觀察和分析回答第②種物質(zhì)的化學(xué)式為，第n種物質(zhì)的化學(xué)式的通式可用表示。

解析：通過觀察，第①至④種物質(zhì)的化學(xué)式分別為：CH、CH、CH、CH。從這個碳原子個數(shù)和氫原子個數(shù)遞變的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，二者均成等差數(shù)列，其中首項(xiàng)a為CH，公差d為CH，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式，我們就可以順利地計(jì)算出第②種物質(zhì)和第n種物質(zhì)的化學(xué)式的通式分別為CH，CH