例示不等式的證明研究

摘要： 數(shù)學(xué)歸納法在不等式證明中，直接應(yīng)用可能會(huì)導(dǎo)致對(duì)命題的錯(cuò)誤判斷。本文以實(shí)例的形式進(jìn)行說明，并且找到了適合的論證方法。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)歸納法 不等式證明 間接證明法

數(shù)學(xué)歸納法是證明命題與公理的一種重要的論證方法，它的原理在文獻(xiàn)［１］和［２］中有詳細(xì)的闡述。當(dāng)遇到與正整數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，通常我們慣用數(shù)學(xué)歸納法來給以證明。但是在有些不等式證明的問題中，若直接運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法會(huì)導(dǎo)致結(jié)論矛盾。我們以例題的形式分析了導(dǎo)致矛盾的原因，并給出了合理的間接證明法。

以上例題如果直接使用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行論證，會(huì)發(fā)現(xiàn)在n成立的條件下推n+1成立時(shí)，例題結(jié)論矛盾。數(shù)學(xué)歸納法的成立可以由正整數(shù)的完備性與可刻劃性給予解釋，但是以上的幾個(gè)例題和一些其它類型的證明題，如果直接使用數(shù)學(xué)歸納法會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。因?yàn)樵诓坏仁降姆趴s過程中，數(shù)學(xué)歸納法就像多米諾骨牌，缺少一張就無法正常玩牌。

以下我們用其它適合的方法給予證明。

通過以上分析，在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式有困難時(shí)，我們可以考慮是否出現(xiàn)了如文章所說的問題，當(dāng)遇見此類問題時(shí)，靈活地采用其它做法，才能達(dá)到證明的目的。

參考文獻(xiàn)：

［1］華羅庚.數(shù)學(xué)歸納法［M］.上海：上海教育出版社，1963.

［2］蔣文蔚，楊延齡.數(shù)學(xué)歸納法［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，1985.