數(shù)學(xué)概念的教學(xué)要重視學(xué)生的理解

1.問題的提出

高中數(shù)學(xué)中概念較多，它是現(xiàn)實(shí)世界中空間形式和數(shù)量關(guān)系的特有屬性在思維中的反映，正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的前提，是學(xué)好數(shù)學(xué)定理、公式和掌握數(shù)學(xué)方法，提高解題能力的基礎(chǔ)。然而，我們在教學(xué)中卻經(jīng)常發(fā)現(xiàn)學(xué)生上課似乎知道了概念，但用于解題時(shí)卻屢屢出錯(cuò)，其根源是教學(xué)中沒能足夠重視對(duì)概念的理解。

認(rèn)知心理學(xué)把數(shù)學(xué)理解描述為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容“成為個(gè)人內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)的一部分”，強(qiáng)調(diào)在心理學(xué)上能組織起適當(dāng)?shù)挠行У恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)。對(duì)于數(shù)學(xué)概念的理解而言，理解的更樸素認(rèn)識(shí)通常是：能夠辨別概念的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性，能夠概括表示為定義，能夠舉出概念的正反例子，如果還能用所接受到的概念去解決其它問題，那么會(huì)理解得更好、更深、更透了。在此我結(jié)合自己教學(xué)實(shí)踐，就怎樣幫助學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)概念談?wù)勛约旱捏w會(huì)。

2.問題的解決

（1）在概念的引入中利用實(shí)際背景幫助學(xué)生直觀地理解概念。

數(shù)學(xué)概念的引入，應(yīng)從實(shí)際出發(fā)（教材的實(shí)際、學(xué)生的知識(shí)水平及年齡實(shí)際、生活和生產(chǎn)實(shí)際等），從問題入手（直觀具體的、本學(xué)科的、跨學(xué)科的），通過與本概念有明顯聯(lián)系、直觀性強(qiáng)的實(shí)際例子，使學(xué)生在對(duì)直觀、具體問題的體驗(yàn)中感知概念，由知覺到感覺，形成感性認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生直觀地理解概念。

例如在引入“棱柱的概念”時(shí)，我請(qǐng)學(xué)生觀察桌面上的鉛筆（豎著）、橡皮擦、課本，以及長方體與五棱柱、六棱柱模型等，然后提問：“是否注意到了它們在形狀上都有什么共同的特點(diǎn)？”學(xué)生觀察時(shí)，我規(guī)范地畫出五棱柱、六棱柱的直觀圖。觀察交流后，讓學(xué)生總結(jié)其共同特征（必要時(shí)可發(fā)問：是否需要修改）：有兩個(gè)面互相平行、其余各面的交線也互相平行，因此，各個(gè)面為平行四邊形。再如“導(dǎo)數(shù)的概念”的教學(xué)，我通過研究增長率、膨脹率、效率、密度、速度等反映導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率的過程，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，通過感受導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)和解決實(shí)際問題中的作用，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及內(nèi)涵。這樣處理的目的是幫助學(xué)生直觀理解導(dǎo)數(shù)的背景、思想和作用，從而幫助學(xué)生直觀地理解導(dǎo)數(shù)的概念。

（2）在概念的形成過程中幫助學(xué)生理解概念。

荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾說過：“真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是‘再創(chuàng)造’。”數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)也指出：“高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)，數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學(xué)生的自主探索活動(dòng)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程，體會(huì)蘊(yùn)涵在其中的思想方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)。”

不少學(xué)生對(duì)新教材中向量和的概念不能理解。在實(shí)際教學(xué)中我是這樣處理的：先提出問題：“河中水流自西向東每小時(shí)20公里，小船自南岸沿正北方向行駛，每小時(shí)40公里，問該小船的實(shí)際行駛方向及速度的大小?！边M(jìn)而舉出如下例子：“如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)A位移到點(diǎn)B，又由點(diǎn)B位移到點(diǎn)C，那么從A點(diǎn)到C的位移就是質(zhì)點(diǎn)從A到B，再從B到C兩次位移的和?！弊詈髮懗鱿蛄康暮偷亩x。這樣處理數(shù)學(xué)概念，就是先給出問題，給出基本事實(shí)，引導(dǎo)學(xué)生從問題出發(fā)，分析、抽象、概括出數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)生自己去經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)再創(chuàng)造的過程，這樣做符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

（3）在概念的系統(tǒng)化中理解和鞏固概念。

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)總是從他原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，即從過去的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，去認(rèn)識(shí)、理解和區(qū)分事物的各種聯(lián)系和性質(zhì)。學(xué)生過去的經(jīng)驗(yàn)既包括日常生活經(jīng)驗(yàn)，又包括在學(xué)校數(shù)學(xué)課中已獲得的知識(shí)、技能，它是保證學(xué)生順利掌握數(shù)學(xué)概念的重要條件和學(xué)生心理活動(dòng)的必要前提。因此，在概念的系統(tǒng)化中學(xué)習(xí)概念有助于學(xué)生理解概念。

如在“異面直線的角”教學(xué)中，我通過創(chuàng)設(shè)問題情境“異面直線怎樣刻劃位置關(guān)系”引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究，讓學(xué)生主體在教師引導(dǎo)下主動(dòng)生成“異面直線的角”的概念，從而使新的概念與學(xué)生的原有概念形成了系統(tǒng)教學(xué)設(shè)計(jì)：

師：平面上兩直線所成角的定義是什么？

生：是指平面上兩直線所成的銳角或直角。

師：這個(gè)定義有何用處呢？

生：可用來刻畫平面內(nèi)兩直線的相互位置關(guān)系。

師：很好，平面內(nèi)的兩條直線所成角度給定則它們的相互位置關(guān)系就可以看出來了，大家還有意見嗎？（學(xué)生不語）

師：如是兩條異面直線那怎樣來刻畫它們的位置關(guān)系呢？

（學(xué)生陷入了思考）

生：也可以用角來刻畫。

師：異面直線不相交，哪里來的角度？

生：可以轉(zhuǎn)化到平面中去。

師：怎樣轉(zhuǎn)化？（讓學(xué)生討論交流）

（若干分鐘后）

生：直線a，b是異面直線，過空間任意一點(diǎn)o，分別引a′∥a，b′∥b，由于a′和b′所成的角的大小與o的選擇無關(guān)，因此可以把a(bǔ)′和b′所成的銳角或直角稱為異面直線a與b所成的角（也可稱為夾角）。

師：這樣我們就可以來刻畫異面直線的位置關(guān)系了。

從這里可以看出，以“異面直線怎樣刻劃位置關(guān)系”作為問題情境，學(xué)生探索的過程中在教師引導(dǎo)下主動(dòng)建構(gòu)出“異面直線的角”，新概念與學(xué)生原有概念形成了系統(tǒng)，完全符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，對(duì)概念的理解也顯得清新、自然，又充滿情趣。

（4）用多種數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化來幫助學(xué)生理解概念。

數(shù)學(xué)概念反映的是客觀事物的空間形式與數(shù)量關(guān)系方面的本質(zhì)屬性，是用數(shù)學(xué)語言揭示事物的共同屬性即本質(zhì)屬性的思維形式。數(shù)學(xué)概念一般包括概念的名稱（符號(hào)）、定義、屬性、例子四個(gè)方面。這些都要用數(shù)學(xué)語言來描述，數(shù)學(xué)語言是來自于自然語言的人工符號(hào)語言，具有高度的抽象性，所以學(xué)生往往是通過相對(duì)具體的語言符號(hào)來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的。例如，學(xué)習(xí)“圓”這一概念，學(xué)生首先必須說“圓”，然后把圓的圖形刺激和語言的“圓”形成聯(lián)結(jié)，明了“這樣的圖形是圓”，最后根據(jù)圓這一概念的本質(zhì)屬性把它與其它概念（如正方形、三角形）區(qū)分開來。教學(xué)實(shí)踐表明，凡是能用自己的語言正確復(fù)述概念的定義和準(zhǔn)確解釋概念所揭示的本質(zhì)屬性的學(xué)生，對(duì)概念的理解就深刻。因此，我們在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)應(yīng)重視概念的語言表達(dá)，尤其要注意引導(dǎo)學(xué)生用多種角度的數(shù)學(xué)語言來描述概念，這能使學(xué)生對(duì)概念理解得更全面、更深刻。例如，講解“線面平行”這一概念的時(shí)候，我引導(dǎo)學(xué)生從圖形語言、文字語言、代數(shù)符號(hào)語言三種角度來理解，學(xué)生很快便正確地理解了這一概念。

（5）揭示概念的本質(zhì)，幫助學(xué)生深化對(duì)概念的理解。

形式化是數(shù)學(xué)的基本特征之一。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)習(xí)形式化的表達(dá)是一項(xiàng)基本要求，但是不能只限于形式化的表達(dá)，要強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，否則會(huì)將生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)淹沒在形式化的海洋里，概念的學(xué)習(xí)也是如此，只有揭示本質(zhì)才能使學(xué)生對(duì)概念理解得更透徹更深刻。例如常州市2009年的高一期中考試試題有一道是：已知M={y|y=x2-2x+1，x∈R}，N={y|y=x+3，x∈R}，求M∩N。（選擇題）許多學(xué)生做錯(cuò)了，而我任教的兩班學(xué)生做得還可以，得分率超過了80%。我想主要原因就是在集合單元教學(xué)時(shí)我注意了引導(dǎo)學(xué)生看集合要看本質(zhì)，即要看清是數(shù)集還是點(diǎn)集，因此學(xué)生對(duì)集合這一概念理解得就比較好。

（6）在應(yīng)用中幫助學(xué)生理解和鞏固概念。

數(shù)學(xué)概念形成后，我們應(yīng)嚴(yán)格地逐字逐句地描述、審核定義，通過具體例子說明概念的內(nèi)涵，認(rèn)識(shí)概念的“原型”，必要時(shí)通過反例、錯(cuò)解等進(jìn)行辨析，來鞏固概念，引導(dǎo)學(xué)生利用概念解決數(shù)學(xué)問題和發(fā)現(xiàn)概念在解決問題中的作用。只有這樣，才能使學(xué)生自覺地把所學(xué)的概念及時(shí)納入到相應(yīng)的概念體系中去，這是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重要環(huán)節(jié)。此環(huán)節(jié)操作的成功與否，將直接影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和鞏固，以及解題能力的形成。

例如，對(duì)于棱柱，①結(jié)合教師所畫直觀圖，請(qǐng)學(xué)生逐一說出相應(yīng)的名稱；②教師展示模型（底面是等腰梯形的四棱柱，但把較大的側(cè)面置于桌面上）并問：這個(gè)幾何體是棱柱嗎？為什么？（變換視角判定：是）

又如，得到直線的斜率公式后，我推出題組：

①直線過原點(diǎn)和點(diǎn)（-1，-1），其斜率和傾斜角是多少？

②設(shè)直線L過點(diǎn)A（2m+3，m），B（m-2，1），當(dāng)m為何值時(shí)，直線L與x軸平行？當(dāng)m為何值時(shí)，直線L與y軸平行？③設(shè)點(diǎn)M（-4，3）、N（2，15），若直線L的傾斜角為直線MN的一半，則L的斜率是多少？

通過這三個(gè)問題的解決，學(xué)生既加深了對(duì)數(shù)學(xué)概念（傾斜角、斜率）的認(rèn)識(shí)，又提高了認(rèn)知水平和實(shí)際操作能力。

參考文獻(xiàn)：

［1］普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）.人民教育出版社.

［2］羅增儒.數(shù)學(xué)理解的幾個(gè)案例.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2002，3.