例談高職數(shù)學(xué)中函數(shù)概念的教學(xué)

摘要： 函數(shù)是高職教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，因此函數(shù)概念的教學(xué)是數(shù)學(xué)的核心，應(yīng)引起教師足夠的重視。本文就數(shù)學(xué)中函數(shù)概念的教學(xué)進(jìn)行闡述和說(shuō)明。

關(guān)鍵詞： 高職數(shù)學(xué) 函數(shù)概念 教學(xué)

函數(shù)是高職數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，函數(shù)思想幾乎貫穿整個(gè)高職數(shù)學(xué)。在教學(xué)中我發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解不夠清晰，導(dǎo)致在學(xué)習(xí)中出現(xiàn)種種問(wèn)題。有的學(xué)生認(rèn)為函數(shù)的概念并不重要，只要會(huì)做題就可以了，這種看法顯然是錯(cuò)誤的。我們必須讓學(xué)生知道函數(shù)概念的重要性，并在教學(xué)中加以重視，精心、合理地設(shè)計(jì)教學(xué)方案，力求讓學(xué)生掌握好函數(shù)的概念。下面我就在教學(xué)中碰到的一個(gè)問(wèn)題來(lái)談一下我們?cè)撛鯓舆M(jìn)行函數(shù)概念的教學(xué)。我在教學(xué)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生對(duì)y=1這個(gè)函數(shù)的理解存在以下問(wèn)題：

（1）不知道y=1是一個(gè)函數(shù)（依據(jù)是只有因變量y，沒有自變量x）。

（2）經(jīng)教師點(diǎn)撥后，知道y=1與f（x）=1是同一回事，但新的問(wèn)題又出現(xiàn)：

①很多學(xué)生將函數(shù)y=1的圖像畫成一個(gè)點(diǎn)（0，1），而非一條直線。

②很多學(xué)生知道f（1）=1，但同時(shí)得出f（2）=2這個(gè)錯(cuò)誤結(jié)論。

為什么會(huì)出現(xiàn)上面的情況呢？關(guān)鍵在于對(duì)函數(shù)概念的學(xué)習(xí)不夠透徹，我們有必要對(duì)函數(shù)的兩種定義及函數(shù)的本質(zhì)作一次深刻的理解。

一

初中時(shí)函數(shù)的定義為：設(shè)在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y，如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù)。

而高職將函數(shù)定義為：如果A、B都是非空數(shù)集，那么A到B的映射f:A→B就叫做A到B的函數(shù)，記作y=f（x）。其中x∈A，y∈B。

比較上述兩種定義發(fā)現(xiàn)，初中函數(shù)的定義是用描述性語(yǔ)言給出的，而高職是從映射的概念出發(fā)來(lái)定義函數(shù)概念的，并給出符號(hào)y=f（x）。那么函數(shù)的概念為什么要重新定義呢？我們知道，初中生學(xué)習(xí)函數(shù)主要是學(xué)習(xí)一些非常簡(jiǎn)單的具體函數(shù)，如正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)等，并了解它們的一些簡(jiǎn)單屬性：公式、圖像、單調(diào)性等，這與初中生的認(rèn)知水平是相適應(yīng)的。但到了高職，雖然學(xué)生也會(huì)繼續(xù)學(xué)習(xí)很多具體的函數(shù)，如二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等，但學(xué)生還要從具體函數(shù)出發(fā)掌握函數(shù)的一般性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、對(duì)稱性、周期性、奇偶性等，那么引出函數(shù)符號(hào)y=f（x）就成了必要。而用映射的思想來(lái)定義函數(shù)的概念，比初中函數(shù)的定義有很多優(yōu)勢(shì)：

（1）利用函數(shù)符號(hào)y=f（x）可明確知道這樣一個(gè)過(guò)程：x通過(guò)法則f作用對(duì)應(yīng)到y(tǒng)，并可從y=f（x）中清楚地看到x和y的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

（2）對(duì)判斷兩個(gè)函數(shù)是不是同一函數(shù)有很大幫助。初中沒有涉及同一函數(shù)，因此我們很難用初中的定義判斷，但（3）有助于學(xué)生對(duì)于復(fù)合函數(shù)的理解。復(fù)合函數(shù)也是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，尤其對(duì)于其性質(zhì)如單調(diào)性等，學(xué)生不容易弄懂，我們通過(guò)映射：x→g（x）→f（g（x））可以很清楚地展示復(fù)合函數(shù)f（g（x））動(dòng)態(tài)的一面。

（4）函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、對(duì)稱性、周期性、奇偶性等只有通過(guò)符號(hào)y=f（x）才能得到充分的展示。具體來(lái)說(shuō)，例如對(duì)于周期性，我們可以很方便地通過(guò)如果對(duì)于函數(shù)y=f（x）的任何一個(gè)x，總有f（x+T）=f（x），來(lái)說(shuō)明其周期為T。

二

從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，這兩個(gè)定義是一樣的，只是對(duì)于學(xué)生的不同學(xué)習(xí)階段給出比較接近學(xué)生知識(shí)水平與認(rèn)知水平的定義。

但是，映射的思想并不是函數(shù)的本質(zhì)。其實(shí)，函數(shù)的本質(zhì)在于變量之間的相依性。函數(shù)是用來(lái)描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型。比方說(shuō)，長(zhǎng)方體體積（v）是由長(zhǎng)（x）、寬（y）、高（z）決定的，即說(shuō)明v與x、y、z之間存在著相依性，但很難聯(lián)系到多個(gè)集合與一個(gè)集合之間的映射。雖然映射的思想不是函數(shù)的本質(zhì)，但卻能最深刻地刻畫函數(shù)的本質(zhì)。由此，我們知道學(xué)生在學(xué)習(xí)中之所以會(huì)出現(xiàn)上述困難關(guān)鍵在于沒有領(lǐng)會(huì)映射思想，沒有建立概念內(nèi)部與概念之間的聯(lián)系，而僅僅記住其表現(xiàn)形式或語(yǔ)言表述，此時(shí)他所掌握的概念是孤立的，實(shí)際上并沒有正確理解概念，不能真正解決具體問(wèn)題，所以學(xué)生會(huì)出現(xiàn)以上的問(wèn)題。

那么面對(duì)這種情況，我們?cè)撛趺唇鉀Q問(wèn)題呢？為了避免這種情況的出現(xiàn)，我們?cè)诰唧w實(shí)施“函數(shù)概念”課堂教學(xué)中，應(yīng)首先讓學(xué)生回憶一下初中所學(xué)的函數(shù)定義，讓學(xué)生憑記憶口頭描述一下，對(duì)于不完整的地方進(jìn)行糾正，然后復(fù)習(xí)一下映射的定義，并用以舊帶新進(jìn)行比照的方法引入函數(shù)的新定義及表示符號(hào)y=f（x），引起認(rèn)知沖突，讓學(xué)生在已有知識(shí)基礎(chǔ)上重新構(gòu)建出新的知識(shí)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生將符號(hào)所代表的新知識(shí)與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的適當(dāng)知識(shí)建立非人為的和實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，對(duì)符號(hào)y=f（x）有更深刻的理解，并能靈活運(yùn)用到具體的情境中去；其次讓學(xué)生比較兩種定義有何不同，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)初中的定義比較直觀，容易理解，而高職的函數(shù)定義就較為抽象，初中學(xué)生所接觸到的都是具體的函數(shù)，如二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)等，而在高職學(xué)生會(huì)碰到一些抽象的函數(shù)，也就是用y=f（x）來(lái)表示的函數(shù)，在后繼的教學(xué)中要讓學(xué)生逐漸習(xí)慣這種表示方法；再次分別介紹函數(shù)的定義域、值域等，并對(duì)應(yīng)到y(tǒng)=f（x）的表達(dá)式中去；最后在教學(xué)中還要消除學(xué)生的思維定勢(shì)對(duì)函數(shù)圖像法、列表法學(xué)習(xí)的影響，學(xué)生在初中的學(xué)習(xí)中可能認(rèn)為用解析式表示函數(shù)是最重要的，而忽略圖像法、列表法，在這里我們必須強(qiáng)調(diào)圖像法、列表法與解析式法處于同等的地位，它們只是法則的給出方法不同而已。在此，我認(rèn)為有4處有必要強(qiáng)調(diào)一下。

（1）函數(shù)表示的解析式法必須給出一個(gè)具體的函數(shù)解析式，認(rèn)為y=f（x）就是函數(shù)解析式表示法是錯(cuò)誤的。

（2）所有連續(xù)圖形都可以由或多或少的復(fù)雜的解析式給出，所以氣象臺(tái)自動(dòng)記錄器所記錄的T與t的關(guān)系可用解析式法表示，只不過(guò)公式比較復(fù)雜而已。采用圖像表示法是為了更直觀形象地描述函數(shù)，以及更清楚地表現(xiàn)其變化規(guī)律。

（3）函數(shù)概念提及變量x、y，著重點(diǎn)不在于變量x、y的變與不變，而在于變量之間的互動(dòng)性、相依性。

（4）教學(xué)中我們?cè)谧骱瘮?shù)y=1的圖像時(shí)常會(huì)要求學(xué)生作x=1的圖像。但必須明確的是x=1不是函數(shù)，這也可以用我們的函數(shù)概念來(lái)加以說(shuō)明，并可以通過(guò)y=1和x=1的比較來(lái)更清楚地認(rèn)識(shí)函數(shù)的定義。

函數(shù)是高職數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。在教學(xué)過(guò)程中我們要使學(xué)生對(duì)函數(shù)概念有正確的認(rèn)識(shí)，必須對(duì)函數(shù)有深刻理解，這樣才能教給學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念的正確認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生認(rèn)清函數(shù)的本質(zhì)，在碰到具體問(wèn)題的時(shí)候認(rèn)真分析，得出正確的結(jié)論。

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