謹防導數(shù)應用中的負遷移

摘要學習過程中，合理并正確運用“遷移”可以極大地提高學習的效率，但運用不當就會產(chǎn)生“負遷移”，使學習過程受阻。本文分析了在導數(shù)應用的學習中常會出現(xiàn)的幾種“負遷移”，以期引起學習者的注意。

關鍵詞導數(shù)應用 負遷移 羅必達法則

中圖分類號:O13文獻標識碼:A

教育心理學認為，學習遷移是指一種學習對另一種學習的影響，或者說將習得的經(jīng)驗改變后運用于新情境。遷移有正遷移、負遷移之分，凡是一種學習對另一種學習起促進作用都叫正遷移，凡是一種學習對另一種學習起干擾或抑制作用都稱負遷移。在學習中，合理并正確運用正遷移能夠幫助我們利用已有的知識、技能和思維方法去學習新知識，掌握新技能，從而提高解決新問題的能力。但在學習的過程中，如果對新舊知識之間的聯(lián)系與區(qū)別缺乏深入細致的研究，就會產(chǎn)生“負遷移”，就會導致我們的學習過程受阻。

高等數(shù)學中，導數(shù)的引入為我們提供了一個有力的工具。利用導數(shù)，我們可以解決“求切線、求極限、研究函數(shù)的性態(tài)、求某些冪級數(shù)的和函數(shù)”等很多問題，并且通常會比傳統(tǒng)方法來得更簡捷明快。但若不加研究、思考，一味“求導”，常常會犯錯誤。

1利用導數(shù)求曲線的切線時

例1過點(2，0)，求與曲線y=相切的切線方程

錯解:設所求切線的斜率為k，則k=y'|x-2=|x=2=

∴所求切線方程為y-0=(x-2) 即x+4y+=0

錯因分析:導數(shù)f'(x)的幾何意義是曲線y=f(x)上點(x0，f(x0))處切線的斜率，顯然利用導數(shù)求切線的斜率很方便，但這里點(x0，f(x0))必須是切點，并非切線上任何一點處的導數(shù)都可以作為斜率，這正是錯解的原因。

正解:設切點為(x0，y0)，切線斜率為k

則y0=，k=y'|x=x0= -

∴切線方程為y-=-(x-x0)

又切線過(2，0)，代入上式得0-=-(2-x0)解得x0=1

從而切點為(1，1)，切線斜率為k=-1

∴所求切線方程為y-1=-1(x-1)即x+y-2=0

例2求曲線y=在點(0，0)處的切線

錯解:∵==∞

依導數(shù)的定義y'|x=0不存在

∴曲線y=在點(0，0)處的切線不存在

錯因分析:利用導數(shù)求切線的斜率時，前提是切線的斜率要存在。因為函數(shù)在某點可導只是相應曲線在該點存在切線的充分條件，而非必要條件。當曲線y=f(x)在x0處不可導時，切線的斜率不存在，但切線仍可能存在，這時需用切線的定義等方法確定切線方程。

正解:如圖，易知曲線y=在點(0，0)處的割線OA的極限位置存在，即與Y軸重合的直線

∴依切線的定義所求切線方程為x=0

2利用導數(shù)求未定式的極限時

例3求

錯解:利用羅必達法則

原式====1

錯因分析:羅必達法則是處理未定型極限的重要方法，這也是導數(shù)的一個重要應用，但應引起注意的是，羅必達法則只能直接應用于“”或“”的極限類型，如果所求極限不是這種類型，就不能使用羅必達法則。事實上，本題目利用一次羅必達法則之后的極限不再是“”型，而是“”型，所以，再用羅必達法則就會得出錯誤的結果。

正解:利用羅必達法則

原式=

∵(ex+cosx)=1(xcosx+sinx)=0

∴原式=∞

例4求極限

錯解:這是“”型極限，利用羅必達法則

原極限==

∵cos不存在 ∴原極限不存在

錯因分析:雖然當x→0時，是“”型極限，但利用一次羅必達法則之后得到的極限不存在，這時我們稱羅必達法則失效。由于羅必達法則的條件只是充分的，并非必要的，所以羅必達法則失效時，極限仍可能存在。這也說明求未定型的極限時，我們不能完全依賴羅必達法則，失效時，不妨試試其它的方法。

正解:原極限====0

3利用導數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)時

例5若f'(x0)>0，則在x0的某鄰域內(nèi)，f(x)必為單調(diào)遞增的函數(shù)。對嗎?

錯解:對

錯因分析:我們已經(jīng)體會到，利用導數(shù)符號判定函數(shù)單調(diào)性非常簡捷，但要注意，y=f(x)在(a，b)可導條件下，必須對x∈(a，b)，有f'(x)>0，我們才能推出y=f(x)在(a，b)單調(diào)增加的結論，而不能由一點x0∈(a，b)的導數(shù)的符號，去推斷y=f(x)在(a，b)內(nèi)的單調(diào)性。

正解:不對

如在x0=0處，依導數(shù)的定義有

而當x≠0時，f'(x)=1+4xsin-2cos

在x1=(k∈z)處，f'(x1)=1+>0

在x2=(k∈z)處，f'(x2)=-1<0

又當k→∞時，x1→0x2→0

說明在x0=0的任何鄰域內(nèi)，f(x)的取值有正有負

∴f(x)在x0=0的任何鄰域內(nèi)都不是單調(diào)的。

例6有人認為，如果當x>0時，f'(x)>g'(x)

則x>0時，必有f(x)>g(x)，這種說法正確嗎?

錯解:正確

錯因分析:雖然f'(x)>g'(x)說明在同一點處函數(shù)f(x)的增長率比函數(shù)g(x)的增長率要大，但當我們利用導數(shù)比較兩個函數(shù)的大小時，還必須考慮兩個函數(shù)起始點處函數(shù)值的大小這個因素，如果f(x)在x=0處的起始值比g(x)的起始值小，就不能保證對x>0，都有f(x)>g(x)成立，如下圖。

正解:不正確

4利用導數(shù)求某些冪級數(shù)的和函數(shù)時

例7求冪級數(shù)的和函數(shù)

錯解:先求出冪級數(shù)的收斂域，即和函數(shù)的定義域為[-1，1]

設和函數(shù)

則逐項求導兩次:

對上式再取0到x的積分得:

錯因分析:對一般冪級數(shù)，即使收斂，求其和函數(shù)也非易事，但對某些特殊的冪級數(shù)就可以較容易地利用冪級數(shù)的運算如逐項求導獲得它們的和函數(shù)。只不過逐項求導后的冪級數(shù)與原冪級數(shù)相比，在收斂區(qū)間端點處的斂散性可能發(fā)生變化，一旦有變化，端點處的和就要單獨考慮。錯解的原因就在于只觀察到通過兩次求導后易于求和，而沒有注意到兩次求導后，級數(shù)在端點x=-1處由收斂變發(fā)散，對x=-1處需要代入原冪級數(shù)求和。

正解:先求出冪級數(shù)的收斂域，即和函數(shù)的定義域為[-1，1]

經(jīng)過兩次求導和兩次積分后得:

導數(shù)的應用還有很多方面，我想，不論導數(shù)應用在哪個方面，分析問題時，著眼點都不應該只放在“求導”上，不應該只是把“求導”簡單地“遷移”過去，而不考慮問題本身，致使產(chǎn)生錯誤。學習過程中產(chǎn)生“負遷移”，這是我們不愿意看到的。

參考文獻

[1]蘇建祥.謹防切線概念的負遷移.數(shù)學通報，2005(6).

[2]劉培進.焦萬蕾.高等數(shù)學一點通.山東大學出版社，2002.1.

[3]同濟大學應用數(shù)學系.高等數(shù)學習題選解(下).高等教育出版社，2000.

[4]盛祥耀.高等數(shù)學輔導.高等教育出版社，2002.10.