實施數(shù)學思維教學的時機

培養(yǎng)學生的思維能力是數(shù)學教學的重要任務。但是，教學過程中如何及時捕捉思維教學的時機，切實進行思維訓練，卻沒有引起廣大教者的足夠重視，因而錯失思維教學良機，影響思維能力培養(yǎng)。

一、 在認知沖突中實施思維教學

創(chuàng)設情境激發(fā)認知沖突，引發(fā)學生積極的思維活動心向，是實施思維教學的有效時機。

比如，給出命題(1):已知y=f(x)是定義在R上的函數(shù)，且對任意實數(shù)x都有f (x-1)=f(1-x)成立，試確定函數(shù)y=f (x)的圖像的對稱性。學生容易判斷函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)，因而得出圖像關于y軸(即直線x=0)對稱。為了防止混淆，我們給出命題(2):已知y=f(x)是定義在R上的函數(shù)，試確定函數(shù)y=f (x-1)與y=f (1-x)的圖像的對稱性。這就促使學生思考命題(1)和(2)究竟是一碼事，還是兩碼事?(如何化歸)如果存在區(qū)別，其對稱軸(直線x=1)又該怎樣確定?這種認知沖突下的思維活動，能有效促進理解，改變似是而非的毛病。

二、 在探究思路中實施思維教學

解答數(shù)學問題的關鍵是思路。縱觀當前的例題教學，“告訴式”的教法較為普遍，錯失思維訓練時機，學生碰到具體問題仍是束手無策。而創(chuàng)設問題情境讓學生自主探究，學生就會在自身思維活動中學會思考，做到得心應手。

例如:已知直線l:y-1=k(x-1)，若拋物線y2=x上存在兩點關于直線l對稱，求斜率k的取值范圍。教學時，我們不將思路直接告訴學生，而是設置問題，放手讓學生探究。求的范圍的本質是什么?(解關于k的不等式)根據(jù)什么特征來建立關于k的不等式?這樣，教師導而不代，消除了學生的依賴心理，主動挖掘思維潛能去探究解題思路。

思路1利用判別式

設p1、p2是拋物線上關于直線l對稱的兩點，將直線p1p2的方程:y=- x+b代入拋物線方程y2=x得:y2+ky-bk=0(1)

二次方程(1)有兩個不相等的實根，等價于判別式Δ=k2+4bk>0 (2)

根據(jù)p1p2的中點N(x0，y0)既在直線p1p2上又在直線l上，可得bk=- - + ，代入(2)式即可解得-2

教學中發(fā)現(xiàn)多數(shù)學生采用判別式求解，但也有其他思路，應及時進行交流展示。

思路2利用直線的參數(shù)方程

將過p1p2中點N的直線參數(shù)方程代入拋物線方程，得到關于參變量t的二次方程。p1、p2兩點對稱分布在N點兩側，只需t1+t2=0且t1t2<0，由此可得關于k的不等式。

思路3利用基本不等式

因為p1(x1，y1)，p2(x2，y2)是拋物線上不同的兩點，y1≠y2，必有基本不等式y(tǒng)12+y22> 成立，運用已知條件即可得關于k的不等式。事實上，這些思路都是可行的。學生在充分的思維活動中感悟到，每一種建立關于k的途徑都是一種解法。思路想透了，解題就能左右逢源。

三、 在優(yōu)化思路中，實施思維教學

例題教學中把技巧強加給學生，這種技巧往往被束之高閣。引導學生優(yōu)化思路獲得的簡潔方法，才能真正運用自如。

例如:已知圓c1:x2+y2-4x-4y+7=0和圓c2:x2+y2-2x-2y=0交與A、B兩點，求過A、B兩點的直線方程。這道題思路直觀，學生自主練習時普遍來用聯(lián)立方程組:

由 x2+y2-4x-4y+7=0 (1)x2+y2-2x-2y=0(2)

將(3)代入(2)求交點坐標。巡視時發(fā)現(xiàn)，部分同學難以求出交點坐標(數(shù)字復雜)。一方面我們要求同學加強運算能力訓練，另一方面啟示同學思考:求過交點的直線方程，是否一定要求出交點坐標呢?解題理念的突破，為學生提供了更優(yōu)美的思維動機。隨即有思維敏捷者給出了如下解答:設交點坐標為(x，y)，則交點坐標滿足方程(1)和(2)，也滿足(1)-(2)所得方程(3)。而方程(3)是含x，y的一次方程，這說明方程(3)即為過交點A，B的直線方程。這里避免了求交點的繁雜運算，直接求得交點坐標所滿足的直線方程。這種 “設而不求”的方法，思路清晰，過程簡潔，在解析幾何中有著廣泛應用。

四、 在排除障礙中，實施思維教學

思維受阻是解題中的常見現(xiàn)象，排除思維障礙是值得珍視的思維教學資源。

例如:已知函數(shù)f(x)=4x+αx2- x3(x∈R)在區(qū)間〔-1，1〕上單調遞增。

(1)求實數(shù)a的集合A;

(2)設關于x的方程的兩個非零實根為x1，x2，問是否存在實數(shù)m，使不等式m2+tm+1≥| x1-x2 | 對任意 a∈A以及t∈[-1，1]恒成立。若存在，試求出m的范圍;若不存在，試說明理由。這是學生提問的一道題。筆者沒有直接給予解答，而是設置學生熟悉的背景題，讓學生思考、領悟，自己尋找解決問題的途徑。

背景1如果0≤x≤1，不等式2+ax-x2≥0恒成立，求實數(shù)a的范圍。

背景2如果對于任意t∈[-1，1]，不等式 <1∈≥0恒成立，求m的范圍。

由背景題做鋪墊，再引導學生運用類比聯(lián)想的正向思維遷移，問題就迎刃而解了。

五、 在自糾錯誤中，實施思維教學

學生在解題中犯錯是難免的。創(chuàng)設情境引導學生反思錯因，自糾錯誤，有助于完善認知結構，有效避免錯誤。

例如:已知二次方程mx2+(2m-1)x-m+2=0的兩個根都小于1，求m的取值范圍。

學生作業(yè)中經(jīng)常出現(xiàn)這樣的錯誤:設方程的兩個實根為x1，x2， ∵ x1<1，x2<1

∴m≠0△≥0x1+x2<2x1x2<1?圯m≠0(2m-1)2+4m(m-2)≥0 >0 <1

解之得m<0或m≥

此處錯誤較隱蔽。我們不直接指出錯因，而是要求學生思考:這個解法是否有錯誤?如有錯誤，錯在何處?如何糾正?這就引導學生在尋找歸因的思維活動中，完善認知結構，自糾錯誤。

發(fā)生錯誤的原因是推理過程中發(fā)生邏輯混淆。事實上，x1<1?圮x1-1<0，x2<1?圮x2-1<0，x1<1且x2<1等價于:

∴m≠0△≥0(x1-1)+(x2-1)<0(x1-1)+(x2-1)>0?圯m≠08m2-12m+1≥0 >0 >0

解得m的范圍是:m<- 或m≥ 。這樣的思維活動，能有效避免重蹈復轍。

六、 在反思教材中，實施思維教學

教學中有時會感到教材有銜接脫節(jié)或不當之處，反思這些內容，能促進學生對教材內涵的理解。

比如，橢圓第二定義，教材是設置軌跡方程提供認知背景的，即已知點p(x，y)到定點F(c，0)的距離與它到定直線l:x= 的距離之比是常數(shù) (a>c>0)，求點p的軌跡。

經(jīng)過運算，求得的軌跡恰為橢圓 + =1.

學生不禁要問，這樣的結果是偶然還是必然?倘若是必然，這種構思又出之何處?這就促使學生反思第一定義，尋找兩者的聯(lián)系。

七、 在數(shù)學猜想中，實施思維教學

華羅庚教授曾經(jīng)講過:“千古教學一大猜”?？梢?，猜想在推動數(shù)學發(fā)展中的作用。教學中創(chuàng)設情境引導學生在歸納、類比思維中進行數(shù)學猜想，有益于培養(yǎng)學生的歸納概括能力和數(shù)學發(fā)現(xiàn)能力。

例如:平面內有n條直線，且任何兩條直線都相交，任何三條直線不共點，試求這n條直線所得交點的個數(shù)。本題設有現(xiàn)成結論，需要進行實驗探索。

記n條直線的交點個數(shù)為f(n)(n≥2，nN*)

那么，f(2)=1;第三條直線與已有的兩條直線都相交，增加2個交點，∴f(3)=f(2)+2=1+2;同樣地，第幾條直線與已有的n-1條直線都相交，增加n-1個交點，∴f(n)=f(n-1)+(n-1)。由此猜想

f(n)=1+2+……+(n-1)= .

盡管，這個猜想的正確性還需要證明，但是歸納過程中的思維活動，已經(jīng)給演繹論證提供了線索。(f(n)=f(n-1)+n-1)

八、 利用隨機資源，實施思維教學

發(fā)揮教師的教育睿智，利用身邊的隨機教育資源進行思維導引，往往會產生好的效果。

有一次課余時間，兩位同學為一道題的解法各抒己見，爭執(zhí)不下，要求老師評判。

例如:已知函數(shù)y=lg(x2+ax+a)的值域為R，求實數(shù)a的取值范圍。

S1說: 欲使y∈R，只要函數(shù)的真數(shù)x2+ax+a恒正，即由Δ=a2-4a<0，得0

S2說:欲使y∈R，只要x2+ax+a的圖像與x軸有交點，

即由Δ=a2-4a≥0，得a≤0或a≥4.

他們的結果剛好相反，個人都有自己的道理，究竟誰對誰錯呢?我們不急于評判，而是引導學生從研究基本初等函數(shù)y=lgx入手，尋找答案。

在函數(shù)y=lgx中，y∈R，此時x>0;若x>1則有y>0。類似地，如果x2+ax+a恒正，若a=2，則x2+ax+a=(x+1)2+1≥1，此時y≥0;如果x2+ax+a的圖像與x軸有交點，就能使真數(shù)x2+ax+a>0，從而使y∈R。

至此，正確答案已躍然紙上。利用隨機資源引領學生在比較思維中感悟正確思路，使在場其他同學都積極投入思考，經(jīng)受了一次思維磨礪。數(shù)學思維教學的時機是隨機存在于教學過程中的。教師要做思維教學的有心人，善于捕捉思維教學素材，及時設置思維教學情境，引領學生在獨立思考或合作探究中學習數(shù)學、感悟數(shù)學，才能切實培養(yǎng)思維能力，提高數(shù)學素養(yǎng)。

(責任編輯劉永慶)

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