開發(fā)數(shù)學課本資源應注重的幾個問題

教材是實現(xiàn)課程目標、實施教學的重要資源和主要依據，它以概括、規(guī)范、結論等靜止的形式為我們提供了教學內容、學習素材以及蘊含于其中的豐富的數(shù)學思想。新課程要求我們變“教教材”為“用好教材”，變教結論為教過程，這不僅僅是觀念上的轉變，更是推進素質教育過程中實施有效教學的必由之路。蘇教版高中數(shù)學教材整體設計具有時代性、基礎性、選擇性、層次性的鮮明特點，為教師的教學增添了擴充拓展的空間。

一、 注重對課本中習題的變式與拓展

案例1:蘇教版必修5第96頁第13題:已知正數(shù)x，y滿足x+2y=1，求 + 的最小值.

解: + =( + )(x+2y)=3+( + )≥3+2 .

當且僅當時x= -1，y= 時取等號.

點評:本題通過變換，得出基本不等式形式，最后利用基本不等式求最值。

變式1.已知x，y>0且x+y=1，求f(x，y)=(x+ )(y+ )的最小值。

解: f(x，y)=(x+ )(y+ )=xy+ -2.設t=xy，f(t)=t+ -2.由x+y=1得0≤xy≤ 即0≤t≤ ?！?f(t)在t∈(0， ]上單調遞減， ∴ f(t)min=f( )= 。

點評:此變式主要目的有(1)增加變換出基本不等式形式的難度;(2)利用基本不等式求最值時，如果條件不滿足，應轉為判斷函數(shù)的單調性來完成。

變式2:已知x，y>0且x+y=k求f(x，y)=(x+ )(y+ )的最小值。

解:由x+y=k得xy=t∈(0， ]，f(x，y)=f(t)=t+ -2.

當 ≤ 時，f(t)min=f( ).

當 > 時，f(t)在t∈(0， ]在上單調遞減，∴ f(t)min=f( ).

點評:此變式用字母代替具體的數(shù)字，增加了對分類討論思想的考查.

變式3:已知x，y>0且x+y=k，求f(x，y)=(x- )(y- )的最小值。

解:f(x，y)=f(t)=t+-2.

當1-k2≤0時，f(t)單調遞增，t∈(0， ]上無最小值。

當1-k2>0時，

① ≤時，f(t)min=f( ).

② > 時，f(t)在t∈(0， ]上單調遞減，∴ f(t)min=f( ).

點評:此變式進一步加深學生對基本不等式形式的認識，同時掌握了形如y=x- 的研究方法，鍛煉了學生二級分類討論的能力.

變式4:已知k為正常數(shù)，方程x2-kx+μ=0有兩個正數(shù)解x1，x2。求f(x1，x2)=(x1- )(x2- )的最小值。

提示:由題意得:k>0，μ>0，k≥4μ。以下解法同變式3。點評:把問題放入新情境中，提高了學生綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力。該題的分類討論思想正是2008江蘇高考第20題(壓軸題)所突顯的思想。

二、 注重對課本習題的組合與拓展

案例2:蘇教版必修2第36頁第7題:如圖1，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上任意一點。求證:BC⊥平面PAC。

第37頁第11題:如圖2在四棱錐P-ABCD中，M，N分別是AB，PC的中點，若ABCD是平行四邊形，求證:MN∥平面PAD。

蘇教版必修5第93頁第3題:將一段圓木制成橫截面是矩形的柱子，怎樣加工才能使橫截面的面積最大?

對這三個題進行組合處理得到下面探索性新題:

如圖3:AC是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，B，D是圓周上兩點，已知PA=6，AC=8.(1)若∠BAC=∠DAC=60°，M是AB中點，試在PC上確定N點的位置，使MN∥平面PAD;(2)求四棱錐P-ABCD體積的最大值。

解法略。

三、 注重對課本中習題的繼續(xù)與拓展

案例3:蘇教版必修4第111頁第10題:如圖6，將矩形紙片的右下角折起，使得該角的頂點落在矩形的左邊上，那么l的長度取決于角θ的大小探求l、θ之間的關系式，并導出用θ表示l的函數(shù)表達式。

對該題繼續(xù)探究得下面新題，從而使該題更加完整，體現(xiàn)了數(shù)學的實際應用價值。

如圖7已知矩形紙片ABCD中，AB=6，AD=12cm，將矩形紙片的右下角折起，使該角的頂點B落在矩形的邊AD上，且折痕MN的兩端點，M、N分別位于邊AB、BC上，設∠MNB=θ，MN=l。(1)試將l表示成θ的函數(shù);(2)求l的最小值。

圖6圖7

解:(1)如圖7所示，∠APM=90°-2θ=6，則MB=l#8226;sinθsin(90°-θ).

由題設得:lsinθ+l#8226;sinθsin(90°-2θ)=6從而得l= 即l= ，l= .

(2)設:sinθ=t則u=t(l-t2)=t-t3，即，u=t-t3，0<θ< ，u'=l-3t2令u'=0，得t= 當t< 時，u'>0，當t> 時，u'<0，所以當t= 時，u取到最大值: -= 。l的最小值為 = 。

點評:2008年江蘇高考第17題:某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A，B及CD的中點P處，已知AB=20km，CB=10km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上(含邊界)，且A，B與等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道AO、BO、OP，設排污管道的總長為ykm。

(Ⅰ)按下列要求寫出函數(shù)關系式:

①設∠BAO=θ (rad)，將y表示成θ的函數(shù)關系式;

②設OP=x(km)，將y表示成x的函數(shù)關系式.

(Ⅱ)請你選用(Ⅰ)中的一個函數(shù)關系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短。

解法略。

在新課程背景下教師要充分挖掘教材資源，有效地選取例題和習題，整合、充實和完善教材，創(chuàng)造性地使用教材，緊緊抓住思維這條主線，從不同角度領會概念、理解知識、熟練方法、感悟思想，才能真正地實現(xiàn)用教材去教而不是去教教材的教學理念。

(責任編輯劉永慶)

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