挖掘解題過程中的數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的升華，是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，它蘊(yùn)藏于數(shù)學(xué)教材的每一個內(nèi)容，也蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的每一個環(huán)節(jié).本文中，筆者結(jié)合“求圓的切線方程”這樣一個問題解決的教學(xué)案例，挖掘其中的數(shù)學(xué)思想方法.

【例題】求過一點(diǎn)P0(2，)且與圓(x-1)2+y2=4相切的直線方程.

1. 數(shù)形結(jié)合

“過一點(diǎn)P0(2，)且與圓(x-1)2+y2=4相切的直線”是一種抽象的語言，若賦予幾何意義，就變得非常直觀形象，也使已知條件中的點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、所求的直線的特征明朗化和簡單化.“……畫出圖形看看.”這就是由數(shù)量關(guān)系到圖形的轉(zhuǎn)化，以此來尋找解題的突破口.另一方面，對圖形的性質(zhì)，又可以賦予數(shù)量意義，尋找恰當(dāng)表達(dá)問題的數(shù)量關(guān)系式，用代數(shù)的方法使問題得到解決.“如何求k?能否找出關(guān)于k的等量關(guān)系?結(jié)合圖形試一試.”這是由圖形到數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化，“直線與圓相切”的性質(zhì)是圓心到直線的距離等于圓的半徑，于是列出相應(yīng)的代數(shù)式-k+=2;又如“直線與圓相切只有一個公共點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為“由y-=k(x-2)與(x-1)2+y2=4組成的方程組有唯一解，則Δ=0”.數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)是抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形相結(jié)合，是抽象思維與形象思維相結(jié)合，發(fā)揮數(shù)與形的優(yōu)勢的互補(bǔ)與整合，是數(shù)學(xué)上常用的方法.

2. 聯(lián)想、類比

“以前見過求直線方程的題目嗎?是怎樣的題目?”這是激起學(xué)生的聯(lián)想.在嘗試解決一個新問題時，教師引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，回憶已有的相關(guān)知識和解題經(jīng)驗(yàn)，尋找新問題和熟知問題之間的關(guān)聯(lián).要回憶起某些和目前的題目有聯(lián)系而且以前已經(jīng)得到解決的題目，通常都不是很困難.相反，有時我們找到的題目很多，需要在其中選出一道有用的題目，這時，類比的思想也被調(diào)動起來.“把現(xiàn)在這個題跟以前的題目進(jìn)行對比，已知條件相同嗎?”在觀察、比較中，選出一個類似的、較易的問題，然后利用它的方法或利用它的結(jié)果來解決當(dāng)前的問題.又如“這個題目的結(jié)論或者解法能否推廣應(yīng)用到其它題目?”舉一反三，觸類旁通，新問題得以解決，學(xué)到了新的知識，新知識再次被應(yīng)用，得到了鞏固和發(fā)展.聯(lián)想、類比的方法有助于產(chǎn)生一個解決問題的“好念頭”，是探索問題解決過程中的重要方法.

3. 化歸轉(zhuǎn)化

“想到這個題可以轉(zhuǎn)化為怎樣的題目嗎?”如果我們對當(dāng)前的數(shù)學(xué)題不能馬上有思路，就會考慮到化歸轉(zhuǎn)化策略.

本案例中，待解決的問題是“求過一點(diǎn)且與圓相切的直線方程”，通過數(shù)形結(jié)合、觀察、聯(lián)想、類比、嘗試，最終化歸為一個已解決的問題“求已知一點(diǎn)和一法向量的直線方程”. 為了實(shí)施有效的化歸，有時轉(zhuǎn)化問題的條件，有時轉(zhuǎn)化問題的結(jié)論，有時轉(zhuǎn)化問題的外部形式，如，“求過一點(diǎn)P0(2，)且與圓(x-1)2+y2=4相切的直線方程”通過待定系數(shù)法可轉(zhuǎn)化為“求直線方程y-=k(x-2)的系數(shù)k”，“如何求k?”再通過數(shù)形結(jié)合，又轉(zhuǎn)化為“求解另一個含k的方程”.總之，在解決問題的過程中，應(yīng)當(dāng)以變化的觀點(diǎn)看待問題，遵循化歸的原則，化陌生為熟悉，化未知為已知，化繁為簡，最終能得到一個解決問題的方案.

4. 順推與逆推相結(jié)合

在解決數(shù)學(xué)問題時，人們的思考習(xí)慣大多是正面的、順向的.對例題的解答，一開始就遵循順向思維的，即由已知出發(fā)，分析已知條件的特征，把當(dāng)前的問題轉(zhuǎn)化為已得到解決的題型來解答.而在探討例題的其它解法時，是結(jié)合已知和未知量，設(shè)出所求的直線方程y-=k(x-2)，再挖掘未知系數(shù)k滿足的等量關(guān)系，求出k，從而解得所求的直線方程，這里既有順向也有逆向的思維.特別地，在順向解題遇到困難時，更應(yīng)該考慮到逆向推導(dǎo)的策略，不妨從未知量出發(fā)逆向思考，或者考慮順推與逆推相結(jié)合.

5. 反思與調(diào)節(jié)

“回顧”是解題過程中一個很好的習(xí)慣.“大家能檢驗(yàn)這個結(jié)果嗎?有其它方法求這個直線方程嗎?”檢驗(yàn)結(jié)果、探索解題方法的多維性是為了鞏固知識并更好地利用它.“哪種解題方法最好?能否直接得到問題的答案?”通過對整個解題過程的反思，使解題者對解題過程有一個重新的認(rèn)識，對解題方法有一個恰當(dāng)?shù)脑u價，提高解題的有效性.“這個題目的解法能否推廣應(yīng)用到其它問題?”通過練習(xí)，讓解題方法得以再實(shí)踐，在實(shí)踐中再反思，并在原有的解題方法的基礎(chǔ)上作出分類、改進(jìn)和調(diào)節(jié)，以實(shí)現(xiàn)解題方法的優(yōu)化.反思與調(diào)節(jié)是一種更高層次的思維，是優(yōu)化解題方法的重要途徑，也是讓學(xué)生學(xué)會創(chuàng)造性地解題的一種思維訓(xùn)練.

責(zé)任編輯 羅 峰