分離法解題初探

分離法是通過對問題中的數(shù)、式、形等的分離，使問題變得更易于解決的一種思維方法.分離法思想在中學數(shù)學應用中非常廣泛，其本質就是化歸和變換.中學階段加強分離法的教學，有利于提高學生的解題能力和數(shù)學素質，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維和創(chuàng)造能力，本文旨在通過對參數(shù)、式、形的分離，探討分離法的解題功能.

一、參數(shù)的分離

參數(shù)問題是近幾年高考、競賽的熱點，解決含參數(shù)問題常用分離法.通過參數(shù)分離，使問題簡化，達到化繁為簡，化難為易的目的.

1. 曲線恒過定點的問題

有關含參數(shù)的曲線方程的恒成立問題是學生普遍感到困難的問題.參數(shù)與主變元交錯在一起，目標不明確，將參數(shù)分離出來，可使問題明朗化.

例1 已知2a=3b=1，證明直線ax+by=5恒過定點.

分析:由2a-3b=1，得a=

(3b+1)，代入直線方程后分離參數(shù)b，得(x-10)+b(3x+2y)=0，由方程組x-10=03x+2y=0，解得x=10y=-15.

∴方程(x-10)+b(3x+2y)=0表示過兩條直線x-10=0與3x+2y=0的交點(10，-15)的直線系的方程，故直線ax+by=5在2a-3b=1時恒過定點(10，-15).

2. 方程恒有解的問題

分離參數(shù)法源于函數(shù)思想、化歸思想.在含有參數(shù)的方程中，將參數(shù)視為主變元的函數(shù)，若能通過適當?shù)暮愕茸冃?，使方程一端化成只含有參?shù)的解析式，而另一端為與參數(shù)無關的主變元函數(shù)，函數(shù)關系就由“隱”轉化為“顯”，我們只要能求出主變元函數(shù)的值域，則參數(shù)的取值范圍便可以確定了.

例2 關于x的方程9x+(4+a)#8226;3x+4=0恒有解，求實數(shù)a的取值范圍.

分析:分離參數(shù)a，得-(4+a)=3x+≥4.

∴ -(4+a)≥4，即a≤-8

當a≤-8時方程恒有解(x=log32時取“=”號).

此例充分體現(xiàn)了分離參數(shù)法的優(yōu)越性，顯然要比“判別式”法簡捷且不易出錯.

3. 不等式恒成立問題

恒成立條件下不等式中參數(shù)的取值范圍問題、涉及的知識面廣、綜合性強，同時數(shù)學語言抽象，從題目在如何提取可借用的知識模塊往往捉摸不定，難以尋覓.但是若能將參數(shù)分離出來，建立明確的關系，則由下述兩個基本命題便能簡捷地求出參數(shù)的取值范圍.

例3設a<1，b<1，c<1，a、b、c∈R求證ab+bc+ac+1>0.

分析:此題變量較多，條件又比較難用，很多學生會感到難以入手，如果通過構造函數(shù)f(a)=(b+c)a+bc+1的方法分離主元a，再使用數(shù)形結合的思想求解，問題就可以迎刃而解.

二、式的分離

式的分離主要包括:整式分離與等式(不等式)的分離二種形式，在不改變題意的前提下，通過對整式、等式(不等式)的分離，會使問題變得更特殊、更簡單.

例4 在銳角△ABC中，求證:sinAsinB+sinC>cosA+cosB+cosC.

分析:此題直接求證較困難，針對結論特點可作如下形式的分離，會使問題得到巧妙、簡潔的證明.

分離一:轉化為證sinA>cosB;

分離二:轉化為證sinA+sinB>cosA+cosB;

分離三:轉化為證sinC>2cosA.

三、形的分離

幾何圖形(規(guī)則的與不規(guī)則的)可通過形的分離，使立體幾何問題平面化，復雜圖形簡單化.其中圖形的分解與降維是最常用的二種分離.教材中球的面積公式和錐體的體積公式就是使用分離法推導出來的.

1. 圖形的分解

把不規(guī)則的、復雜的幾何體分解成規(guī)則的、簡單的幾何加以處理的思維過程稱為圖形的分解.一個圖形的分解方法可能有種種形式，如何合理地選擇分解方法是圖形分解的關鍵.

2. 圖形的降維

圖形的降維就是把圖形從高維到低維的一種思維策略，立體圖形的降維特別要重視一些關健面，如中截面、軸截面、側面展開圖等.

例5 如右圖1，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，點E在棱D1D上，截面EAC∥D1B，且面EAC與底面ABCD所成的角為45°，AB=a，求三棱錐B1-EAC的體積.

分析:由如圖1知:V-EAC=S△EAC#8226;B1Q或V=2#8226;V=2#8226;S△EOB#8226;AO.

上面兩種求法都宜把平面圖形BDD1B1分離出來(如圖2)，從而轉化為平面幾何來處理.

責任編輯 羅 峰