關(guān)于高等職業(yè)教育極限概念的教學(xué)方法

【摘 要】極限是高等數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，是研究微積分當(dāng)中的重要工具。因此，掌握極限的思想是計算以及學(xué)好微積分的前提條件。

【關(guān)鍵詞】函數(shù) 極限

【中圖分類號】G642【文獻標(biāo)識碼】A【文章編號】1006－9682（2009）01－0071－01

高等數(shù)學(xué)的基本研究對象是函數(shù)，而研究函數(shù)的基本方法是極限，極限的概念是個比較抽象的概念。對于那些從初等數(shù)學(xué)進入高等數(shù)學(xué)的高職高專學(xué)生而言，不論從知識結(jié)構(gòu)方面，還是從思維方式上來講，都要有一個本質(zhì)的轉(zhuǎn)變。為了更好的實現(xiàn)這個轉(zhuǎn)變，就要求我們教師必須把要教的知識內(nèi)容進行必要的加工，按照學(xué)生的實際情況逐漸引導(dǎo)學(xué)生走上正確的分析思維，抽象，概括，解決實際問題的道路。

一、講解實例，使學(xué)生獲得有關(guān)極限概念的感性認識。

為了使學(xué)生更好的理解極限的概念，我們先從以下2個例子來講解。

例1：如何求圓的面積？

解題思路：用圓內(nèi)接正n邊形的面積去逼近圓的面積。

設(shè)有一圓，其面積記為s，做它的正四邊形，正八邊形……正n邊形，記做s4，s8……sn，當(dāng)圓內(nèi)的正多邊形的邊數(shù)越來越多的時候，它的面積就越近似于圓的面積，即當(dāng)n→∞時，sn→s。

這個例題是非常有名的“劉徽割圓術(shù)”，雖然當(dāng)時沒有嚴格的極限定義，但是他的這種思想正是體現(xiàn)了極限的概念。

例2：求變速直線運動的瞬時速度。

對這個實例應(yīng)著重弄清兩個問題：第一，要求瞬時速度，為什么要先考慮平均速度？第二，為什么要規(guī)定瞬時速度是平均速度的極限？在瞬時速度的概念提出之前，已經(jīng)有了勻速直線運動的速度概念及其計算方法，引出平均速度只要是將非勻速直線運動轉(zhuǎn)化為迅速運動來處理，從而求出瞬時速度的近似值。

（△s—位置的改變量；△t—時間的改變量）

表示物體在△t時間內(nèi)的平均速度，它隨△t的變化而變

化，當(dāng)時間改變量△t越來越小時，位置的改變量△s也越來越小，

而平均速度 越來越接近一定值，即平均速度作為瞬時速度的

近似值，其近似程度越小越好，但不管△t多么小，所求得的平均速度還不是t時刻的速度，而只是它的一個近似值。要把這個近似值轉(zhuǎn)化為精確值，即求出了t時刻的速度，只有縮小△t，當(dāng)△t→0時，v（t）→v平均，也就是說△t越變越小，v平均與v（t）就越接近，有近似值而飛躍到了精確值。

重點講清這個事例后，從而使學(xué)生認識到研究非均勻變化的變化問題確實是世界中存在的普遍問題，而這類問題的解決都歸納為求極限的問題。

二、根據(jù)實例給出函數(shù)極限的定義

通過上面兩個例子，我們可以將它們看作是一個函數(shù)。如果給定一個函數(shù)y＝f（x），其函數(shù)值y會隨著自變量x的變化而變化，若當(dāng)自變量無限接近于某個“目標(biāo)”，這個目標(biāo)可以是任意一個確定的常數(shù)x0，也可以是＋∞或－∞。此時，函數(shù)值y無限接近于一個確定的常數(shù)A，則稱函數(shù)f（x）以A為極限，下面就以例題并結(jié)合它的數(shù)值表充分說明函數(shù)的極限。

例3：考察當(dāng)x→3時，函數(shù) 的變化。

解：函數(shù) 在（－∞，＋∞）有定義。

設(shè)x從3的左、右側(cè)無限接近于3，即x的取值及對應(yīng)的函數(shù)表如下：

x…2.92.992.999…3…3.0013.013.1…

f（x）…2.972.9972.9997…3…3.0033.033.3…

數(shù)值表給出后，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生去從靜態(tài)的有限量來刻畫動態(tài)的無限量，通過直觀的數(shù)據(jù)讓學(xué)生看到，當(dāng)x越來越接近于

3時，也就是我們所說的那個目標(biāo)，函數(shù)值 的值就

無限接近于3，體現(xiàn)了我們最后用近似值代替精確值的思想。那么，由這個例題，教師可以給出極限的定義。

定義：設(shè)函數(shù)f（x）在點x0的某一空心領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量x無限接近于x0時，相應(yīng)的函數(shù)值無限接近于常數(shù)A，則稱A為x→x0時，函數(shù)f（x）的極限，記作： 或

f（x）→A（x→x0）。

極限的定義給出以后，教師可以讓學(xué)生根據(jù)極限的定義寫出

例三的極限，即 。

這時，有些同學(xué)可以看到， 的極限值與f（3）的函

數(shù)值相等，這是怎么回事？它會給同學(xué)們一個錯誤的概念，求極限就是在求函數(shù)值，雖然在后面我們會講到某些函數(shù)求極限是靠函數(shù)值求出來的，但是這二者之間沒有任何關(guān)系。

例如，求 ，如圖所

示，當(dāng)x＝1， 無意義，所

以函數(shù)值是不存在的，而當(dāng)x→1時，從圖象上可以看出

，所以說，極限是否存在與這點有沒有函數(shù)值沒有

任何關(guān)系。

參考文獻

1 侯風(fēng)波. 高等數(shù)學(xué)（第2版）. 北京：高等教育出版社，2003.8

2 盛祥耀. 高等數(shù)學(xué)（第2版）. 北京：高等教育出版社，2005.6

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。