戶外廣告牌抗臺風(fēng)能力的數(shù)學(xué)模型

[摘 要] 在分析戶外廣告牌風(fēng)荷載的基礎(chǔ)上，通過計算廣告牌結(jié)構(gòu)上的靜態(tài)風(fēng)荷載和脈動風(fēng)荷載，利用隨機(jī)振動理論和正態(tài)分布法建立了廣告牌的風(fēng)動響應(yīng)模型和抗風(fēng)可靠度數(shù)學(xué)模型。對如何根據(jù)實際情況合理設(shè)計廣告的結(jié)構(gòu)體系，提高其抗風(fēng)能力，構(gòu)建了一個比較完善的計算方法。

[關(guān)鍵詞] 風(fēng)荷載 風(fēng)動響應(yīng) 可靠度 數(shù)學(xué)模型

一、引言

隨著科學(xué)技術(shù)與經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，越來越多的戶外廣告牌呈現(xiàn)出體型結(jié)構(gòu)的高大化、復(fù)雜化和柔性化的趨勢，其結(jié)構(gòu)材料也朝著高強、輕質(zhì)的方向變化，使得廣告牌對風(fēng)的敏感性越來越強。浙江省作為一個沿海省份，在歷年的臺風(fēng)過程中，戶外廣告牌損毀的現(xiàn)象比較嚴(yán)重.從損毀形式看，主要有以下幾種情形:(1)廣告牌結(jié)構(gòu)橫截面或構(gòu)件的內(nèi)力達(dá)到（超過）設(shè)計極限，在一次臺風(fēng)過程中斷裂、失穩(wěn)或倒塌;(2)廣告牌結(jié)構(gòu)因長時間疲勞累積損傷，引起后續(xù)性結(jié)構(gòu)破壞，至使不能正常工作;(3)廣告牌架上的面板或裝飾材料損毀。

因此，如何合理設(shè)計戶外廣告牌的框架和外形結(jié)構(gòu)體系，降低廣告牌承受的風(fēng)荷載，提高其抗臺風(fēng)能力的可靠度，顯得尤為重要。

二、問題的分析與模型的建立

在進(jìn)行戶外廣告牌抗風(fēng)能力研究時，通常實測到的是風(fēng)速，但在廣告牌工程設(shè)計過程中要考慮的是廣告牌在臺風(fēng)（強風(fēng)）過程中承受的風(fēng)壓，因此，在研究中需要把風(fēng)速轉(zhuǎn)換成風(fēng)壓。一般地，臺風(fēng)（強風(fēng)）可根據(jù)作用形式分解成不隨時間變化的平均風(fēng)和隨時間變化的脈動風(fēng)兩部分，它們對廣告牌結(jié)構(gòu)產(chǎn)生平均風(fēng)荷載和脈動風(fēng)荷載等，當(dāng)然，廣告牌承受的風(fēng)荷載不僅與近地風(fēng)的性質(zhì)、風(fēng)速、風(fēng)向有關(guān)，也與廣告牌的高度、形狀和地表狀況等相關(guān)。

根據(jù)20世紀(jì)60年代A·G·Davenport提出風(fēng)振理論，在我國的相關(guān)建筑規(guī)范中，給出了相應(yīng)結(jié)構(gòu)表面在高度 處的風(fēng)荷載的計算公式：

（1）

其中，Wz為風(fēng)荷載的標(biāo)準(zhǔn)值(KN/m2）;μs為風(fēng)荷載體型系數(shù); A為廣告牌迎風(fēng)投影面積;P為空氣密度(hPa);(hpa);V(z，t)為來流風(fēng)速(m/s）。

在不同地域，根據(jù)氣候環(huán)境和地形地貌的變化，空氣密度p可按文獻(xiàn)中的公式計算。

根據(jù)貝努利方程知，若某地比較空曠平坦地面上離地10m高統(tǒng)計所得的50年一遇10min平均最大風(fēng)速為V0(m/s），則當(dāng)?shù)氐幕撅L(fēng)壓為:

（2）

隨著廣告牌高度和體型的變化，在不同高度z處，臺風(fēng)(強風(fēng))對廣告牌產(chǎn)生的風(fēng)壓也是不斷變化的，因此若用表示Cw(z)為高度z處單位高度上的力系數(shù)，其中

Cw(z)=μs·A(3）

則廣告牌在高度z處的風(fēng)荷載又可以簡單地表示為：

（4）

從式(1)可以看出，廣告牌風(fēng)荷載不僅和臺風(fēng)(強風(fēng))的風(fēng)速相關(guān)，同時與廣告牌的風(fēng)荷載體型系數(shù)以及廣告的迎風(fēng)投影面積相關(guān)。

1.平均風(fēng)荷載和脈動風(fēng)荷載的計算

若將風(fēng)速V(z，t)分解為平均風(fēng)速(z)和脈動風(fēng)速v(z，t)，即

V(z，t)=(z)+v(z，t)（5）

將式(5)代入式(4)得

（6）

相對于平均風(fēng)(z)而言，脈動風(fēng)v(z，t)<<(z)，忽略二階小量，得

在高度z處平均風(fēng)(z)作用于廣告牌的平均風(fēng)荷載為:

（7）

在高度z處脈動風(fēng)v(z，t)作用于廣告牌的脈動風(fēng)荷載為:

（8）

由式(7)、(8)可知，式(4)可近似地表示為

（9）

脈動風(fēng)荷載的均方根為：

（10）

其中，，為沿高度z的來流湍流度。

2.體型系數(shù)的計算

廣告牌在高度 處的風(fēng)荷載除與臺風(fēng)的風(fēng)速密切相關(guān)外，同時與廣告牌的風(fēng)荷載體型系數(shù)和廣告牌的迎風(fēng)投影面積相關(guān)。其中，風(fēng)荷載體型系數(shù)指風(fēng)在廣告牌表面引起的實際壓力或吸力與來流風(fēng)壓的比值，因此，廣告牌在高度 處的體型系數(shù)可簡單表示為：

（11）

由于廣告牌各面上各點的風(fēng)壓比值并不相等，為了計算簡化，在廣告牌高度 處的體型系數(shù)，當(dāng)測點布置比較均勻時，可記為

（12）

因此，如何合理改當(dāng)前常見的平面面析結(jié)構(gòu)為弧線性結(jié)構(gòu)，保證在相同表面積大小的前提下，減少廣告牌的迎面投影面積和廣告牌正面受風(fēng)力作用的強度，是一個重要的研究課題。

3.廣告牌的風(fēng)動響應(yīng)和可靠度模型

在平均風(fēng)荷載的作用下，廣告牌產(chǎn)生靜力變形，此時廣告牌的平均風(fēng)動響應(yīng)可根據(jù)靜力方程求解：

（13）

其中、、分別表示廣告牌的剛度矩陣、平均風(fēng)動響應(yīng)矩陣和平均風(fēng)荷載矩陣。

在脈動風(fēng)壓的作用下，廣告牌可以看做是一個多自由度的質(zhì)點桿體系，此時廣告牌的脈動風(fēng)振動可以利用脈動風(fēng)有限元動力方程模型求解：

MS0+CS0+KS=F （14）

其中，M、C、K分別為廣告牌的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；S為廣告牌的風(fēng)動響應(yīng)矩陣；F為脈動風(fēng)荷載矩陣，它的第 i個元素為μs(zi)A(zi)ω（zi，t），其中μs(zi)、A(zi)、ω（zi，t）分別為高度zi處的體型系數(shù)、迎風(fēng)面積和脈動風(fēng)荷載。

根據(jù)式(13）、(14)可以建立廣告牌的風(fēng)動響應(yīng)模型：

S(t)=+sd(t)（15）

其中，S(t)、、sd(t)分別表示廣告牌的總風(fēng)動響應(yīng)，平均風(fēng)動響應(yīng)和脈動風(fēng)動響應(yīng)。

當(dāng)廣告牌結(jié)構(gòu)在臺風(fēng)(強風(fēng)(作用下，其風(fēng)動響應(yīng)超越規(guī)范規(guī)定的限值(安全界限)的概率在規(guī)定的范圍之內(nèi)時，才是安全的。設(shè)廣告牌在建立時(t=0)處于可靠狀態(tài)，那么隨機(jī)過程x(t)在時間 (0，T]內(nèi)不超過界限x=b的概率為

Ps(b)=P{X(T)≤b，0

等價于求首次超越破壞時間Tf的概率分布函數(shù)，即

Ps(b)=1-P{Tf≤t，0

利用正態(tài)分布理論，可以建立廣告牌在一次強風(fēng)作用下的動力可靠度模型為：

（18）

其中F(W0)為一次強風(fēng)的10min最大平均風(fēng)壓的概率密度函數(shù)。

為了計算方便，將式（18）作離散化處理，則可建立模型為：

（19）

其中F(P)為一次強風(fēng)的10min最大平均風(fēng)壓的概率分布，m是將平均風(fēng)壓劃分的等級數(shù)。

如果在某一地區(qū)時間(0，T]內(nèi)發(fā)生強風(fēng)次數(shù)為k次的概率為Pk(t)，那么廣告牌在設(shè)計基準(zhǔn)期T內(nèi)抗風(fēng)的動力可靠度模型為:

（20）

一般地，Pk(t)服從于普阿松分布，即

（21）

其中υ表示單位時間內(nèi)強風(fēng)發(fā)生的平均次數(shù)，在實際計算過程中，單位時間長度可設(shè)為1a。

將式（21）代入式（20），整理得廣告牌結(jié)構(gòu)在風(fēng)載作用下破壞的概率為

（22）

三、結(jié)論

本文通過分析廣告牌的風(fēng)荷載構(gòu)成，建立了廣告牌的風(fēng)動響應(yīng)模型，以及廣告牌的抗風(fēng)可靠度數(shù)學(xué)模型，對如何合理設(shè)計廣告的框架和外形結(jié)構(gòu)體系，提高其抗臺風(fēng)（強風(fēng)）能力構(gòu)建了一個比較完善的數(shù)學(xué)模型，為實際問題的抗風(fēng)設(shè)計有較為重要的指導(dǎo)意義。

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