“離散數(shù)學(xué)”課程教學(xué)實(shí)踐與探索

文章編號(hào)：1672-5913(2008)20-0131-04

摘 要：本文首先說明了“離散數(shù)學(xué)”在計(jì)算機(jī)科學(xué)體系課程中的地位，并描述了其教學(xué)現(xiàn)狀，分析了出現(xiàn)此現(xiàn)象的原因，最后提出解決方案即實(shí)例啟發(fā)式教學(xué)方法。然后重點(diǎn)闡述了此教學(xué)方法的特征，同時(shí)以“命題邏輯等值演算”和“歐拉圖：歐拉通路與歐拉回路”的教學(xué)講授環(huán)節(jié)為例，詳細(xì)論述了此教學(xué)方法的教學(xué)過程。

關(guān)鍵詞：“離散數(shù)學(xué)”；實(shí)例啟發(fā)式教學(xué)；教學(xué)實(shí)踐；教學(xué)探索

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

1 “離散數(shù)學(xué)”的地位

“離散數(shù)學(xué)”是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，是計(jì)算機(jī)科學(xué)中基礎(chǔ)理論的核心課程?；緝?nèi)容包括數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)結(jié)構(gòu)、圖論等四大部分，其每一部分中的具體內(nèi)容都是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)中必不可少的基礎(chǔ)理論，例如：

●數(shù)理邏輯：命題邏輯、范式、永真性、謂詞邏輯；

●集合論：集合與運(yùn)算、關(guān)系及其性質(zhì)、函數(shù)的映射與運(yùn)算等；

●代數(shù)結(jié)構(gòu)：布爾代數(shù)、計(jì)算機(jī)工程中的邏輯應(yīng)用等。

●圖論：無向圖、有向圖、樹、二叉樹、生成樹、遍歷策略、歐拉回路和哈密頓回路等，這些內(nèi)容都是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)基礎(chǔ)理論的祭奠。

因此，一般學(xué)校的信息技術(shù)相關(guān)專業(yè)的課程設(shè)置中“離散數(shù)學(xué)”都在第二或第三學(xué)期開設(shè)，因?yàn)檫@個(gè)時(shí)候?qū)W生有了一些專業(yè)和數(shù)學(xué)方面的認(rèn)識(shí)，同時(shí)為下學(xué)期開設(shè)專業(yè)核心課程做準(zhǔn)備。

2 “離散數(shù)學(xué)“教學(xué)中的問題與解決方案

因?yàn)椤半x散數(shù)學(xué)”中的內(nèi)容分為包括四大部分，并且每一部分中又包括很多的概念、定理、性質(zhì)等，內(nèi)容很多，同時(shí)相應(yīng)的學(xué)生也應(yīng)該為一、二年級(jí)，剛剛接觸到計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)核心課程，所以，當(dāng)前“離散數(shù)學(xué)”的教學(xué)現(xiàn)狀為：

☆“背誦式”數(shù)學(xué)——很多同學(xué)用以前課程的學(xué)習(xí)模式來學(xué)習(xí)此門課程，因此出現(xiàn)了“背誦式”的數(shù)學(xué)，很多公式就是死記硬背。

☆普遍存在畏難情緒——受到以前高中數(shù)學(xué)的影響，因此很多人一聽到“數(shù)學(xué)”這個(gè)詞就有抵觸心理，造成一定的心里負(fù)擔(dān)。

☆“課上能聽懂，就是不會(huì)做題，更不能聯(lián)系實(shí)際”——無法領(lǐng)會(huì)知識(shí)的靈魂，因此不能進(jìn)行知識(shí)的遷移

造成以上的現(xiàn)象，從教師和學(xué)生兩方面考慮，在“離散數(shù)學(xué)”課堂教學(xué)中的問題大概有以下幾個(gè)方面：

☆知識(shí)點(diǎn)太散——沒有重點(diǎn)，學(xué)生接受起來沒有方向。

☆細(xì)節(jié)點(diǎn)太滿——內(nèi)容太多，學(xué)生難以面面俱到，都能接受的很好。

☆不活——照本宣科，學(xué)生學(xué)起來沒有興趣。

☆灌注——缺少交流，師生之間因缺少交流而導(dǎo)致機(jī)械式教學(xué)，難以舉一反三。

3 解決方案

因?yàn)樽鳛橐粋€(gè)授課教師，我們“不僅僅授之于魚，而是授之于漁”，要把知識(shí)傳授給學(xué)生，同時(shí)還應(yīng)該對(duì)于他們這些低年級(jí)的學(xué)生指明以后發(fā)展的方向，幫助他們確定目標(biāo)，在自己的專業(yè)領(lǐng)域中找到適合自己的位置。

教師總是強(qiáng)調(diào)“離散數(shù)學(xué)”是計(jì)算機(jī)應(yīng)用專業(yè)基礎(chǔ)課”，但學(xué)生卻很難從書本上找出該課程在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的具體應(yīng)用背景，認(rèn)為該課程與計(jì)算機(jī)沒有太大關(guān)系，出現(xiàn)這個(gè)問題的關(guān)鍵是目前該課程采用的教學(xué)方式缺乏與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，學(xué)生不理解為什么要學(xué)這門課，會(huì)覺得學(xué)了也沒用，從而產(chǎn)生厭學(xué)情緒。要想很好解決這個(gè)問題，必須將離散數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)與相應(yīng)的課程實(shí)驗(yàn)結(jié)合起來，幫助學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用中對(duì)理論有更深一步的理解，因此，需要我們?nèi)ヒ龑?dǎo)，調(diào)動(dòng)他們的積極性和學(xué)習(xí)的興趣，不僅僅學(xué)好“離散數(shù)學(xué)”，同時(shí)還應(yīng)該對(duì)以后的后續(xù)課程充滿信心和希望。

因此，針對(duì)以上的問題，作者結(jié)合本身的教學(xué)，談?wù)剬?duì)于此門課程的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)—實(shí)例啟發(fā)式教學(xué)。具體教學(xué)過程建構(gòu)圖如下圖1所示：

●教學(xué)前的準(zhǔn)備。

☆把本堂課知識(shí)按條理進(jìn)行整理，具有一定的層次，思路一定要清晰。這樣學(xué)生就能形成系統(tǒng)的知識(shí)體系，不至于太散。

圖1 《離散數(shù)學(xué)》教學(xué)過程建構(gòu)

☆思考適當(dāng)?shù)膶?shí)例（能夠把新知識(shí)在后續(xù)的課程中找到實(shí)例，并在實(shí)際生活中有所體現(xiàn)。注意不同課程間的融會(huì)貫通）

●教學(xué)中

☆課堂上教師一定要提綱挈領(lǐng)，千萬不可照本宣科，否則知識(shí)比較散，會(huì)讓學(xué)生找不到方向。

☆重點(diǎn)難點(diǎn)要講透，強(qiáng)化知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)。讓學(xué)生能夠把握住重點(diǎn)。

☆一般問題提綱式講授，給學(xué)生留有思考的空間。

☆啟發(fā)式教學(xué)

◆提出問題，重點(diǎn)講解方法，推廣

◆選好結(jié)合實(shí)際或者比較生動(dòng)、經(jīng)典的例題，讓學(xué)生知道怎樣學(xué)以致用。

√結(jié)合其他課程（邏輯電路，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，數(shù)據(jù)庫(kù)，網(wǎng)絡(luò)等課程）

√結(jié)合計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的應(yīng)用實(shí)例

●教學(xué)后

☆聽取學(xué)生的反饋，查漏補(bǔ)缺。因?yàn)閿?shù)學(xué)對(duì)于邏輯思維要求比較高，如果有學(xué)生對(duì)某一知識(shí)點(diǎn)存在疑問可能會(huì)對(duì)他以后的學(xué)習(xí)造成影響。

☆及時(shí)對(duì)知識(shí)進(jìn)行總結(jié)。幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)的再次建構(gòu)和重新認(rèn)識(shí)，也是一次學(xué)習(xí)和提高的機(jī)會(huì)。

☆在后面的教學(xué)中在適合的時(shí)間進(jìn)行知識(shí)的關(guān)聯(lián)，一方面形成知識(shí)體系，一方面可以幫助學(xué)生復(fù)習(xí)。

4 “離散數(shù)學(xué)”實(shí)例啟發(fā)式教學(xué)的教學(xué)方法嘗試

在以上的教學(xué)方法中主要用到了實(shí)例啟發(fā)式教學(xué)的教學(xué)方法，因?yàn)橹挥姓{(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和興趣才會(huì)收到良好的教學(xué)效果。提出問題解決問題的思路過程如下（如圖2所示）：

圖2 案例啟發(fā)式教學(xué)

☆若干實(shí)例——提出問題：使抽象的理論具體化、形象化、生動(dòng)化，幫助學(xué)生理解

☆講解思路——引出具體的知識(shí)點(diǎn)

☆求解——對(duì)具體方法與理論系統(tǒng)學(xué)習(xí)和認(rèn)識(shí)（要求突出重點(diǎn)、抓住難點(diǎn)）

☆應(yīng)用——對(duì)問題進(jìn)行解答，強(qiáng)調(diào)學(xué)科聯(lián)系。

5 應(yīng)用實(shí)例舉例

實(shí)例一：

√講授知識(shí)點(diǎn)：命題邏輯等值演算

√采用實(shí)例：“數(shù)字邏輯電路”——表決電路邏輯函數(shù)

☆若干實(shí)例——提出問題

用學(xué)生都很熟悉的投票中使用的表決現(xiàn)象，即少數(shù)服從多數(shù)。問題：若想實(shí)現(xiàn)這樣的一個(gè)電路（投票人用終端進(jìn)行投票，在計(jì)算機(jī)中統(tǒng)計(jì)出相應(yīng)投票的結(jié)果），則，我們應(yīng)該怎樣實(shí)現(xiàn)此電路。（注：在這個(gè)階段學(xué)生對(duì)于數(shù)字邏輯電路還是一個(gè)模糊概念，在此只是簡(jiǎn)單描述問題。）

☆知識(shí)點(diǎn)講解——引出具體的知識(shí)點(diǎn)

若想實(shí)現(xiàn)此電路則必須要有電路圖，而電路圖的依據(jù)和標(biāo)準(zhǔn)是什么呢？就是邏輯函數(shù)，同時(shí)，電路的費(fèi)用問題必然是：等值下的函數(shù)形式越簡(jiǎn)單其電路越容易實(shí)現(xiàn)，并且費(fèi)用越低。引出具體的教學(xué)內(nèi)容：命題邏輯的等值演算。

☆求解——對(duì)具體方法與理論系統(tǒng)學(xué)習(xí)和認(rèn)識(shí)

系統(tǒng)的講授具體的命題邏輯等值演算的公式和定理，并通過大量的實(shí)際函數(shù)練習(xí)進(jìn)行講解，讓同學(xué)們熟悉此過程。

☆應(yīng)用——對(duì)問題進(jìn)行解答

1）問題描述真值表（以3人表決電路為例）

圖3 3人表決電路圖原電路圖 圖4 演算后3人表決電路圖

2）結(jié)果描述——用邏輯函數(shù)來描述問題（回顧用真值表構(gòu)造命題函數(shù)）

3）函數(shù)等值演算（重點(diǎn)講述此過程：等值演算的各種方法和公式）

4）具體電路——（引申，此部分對(duì)學(xué)生起一個(gè)引導(dǎo)作用，只是簡(jiǎn)單描述）。

函數(shù)是由 、 和 三個(gè)合取項(xiàng)相析取形成的，因此在電路中首先構(gòu)造合取項(xiàng)，而后由合取項(xiàng)的結(jié)果再相析取。其原函數(shù)與等值演算后命題函數(shù)所代表的具體電路如下圖3和圖4所示。在圖中可以明顯得以區(qū)別。

實(shí)例二：

√講授知識(shí)點(diǎn)：歐拉通路與歐拉回路

√采用實(shí)例：應(yīng)用實(shí)例——一筆畫問題

☆若干實(shí)例——提出問題

學(xué)生對(duì)小時(shí)候的一筆畫游戲都還是記憶猶新，在本節(jié)中采用比較熟悉的幾個(gè)圖，讓學(xué)生判斷是否可以一筆畫出。如圖5-7所示：

☆知識(shí)點(diǎn)講解——引出具體的知識(shí)點(diǎn)

在游戲中的畫法都是憑著直覺和推測(cè)來完成的，對(duì)于都很熟悉其中圖5（五角星）的繪圖過程如下圖8所示。若想判斷以上兩圖是否可以一筆畫出，也不妨也可以按照游戲中的方法來推測(cè)一下，那具體有沒有科學(xué)的判定方法。因此本節(jié)中介紹一種歐拉圖，可以解決此問題。

☆求解——對(duì)具體方法與理論系統(tǒng)學(xué)習(xí)和認(rèn)識(shí)（需要重點(diǎn)突出講解知識(shí)點(diǎn)）

歐拉圖中包括歐拉通路和歐拉回路，本節(jié)介紹其具體含義和判定方法：

歐拉通路：通過圖中所有邊一次且僅一次行遍所有頂點(diǎn)的通路為歐拉通路。

歐拉回路：通過圖中所有邊一次且僅一次行遍所有頂點(diǎn)的回路為歐拉回路。

通過分析，若走遍了所有的邊一次僅一次，則必然走過了所有點(diǎn)，并且同時(shí)不出現(xiàn)重復(fù)走過的邊，恰恰滿足了所說的“一筆畫”問題的解決方案。

歐拉回路的判定條件：若歐拉回路則所有的頂點(diǎn)肯定存在有一條邊為流入，另外一條不重復(fù)邊為流出。因此，deg（V）即節(jié)點(diǎn)度數(shù)必為偶數(shù)。

歐拉通路的判定條件：若為通路則在圖中除了具有流入和流出性質(zhì)點(diǎn)以外，肯定存在兩個(gè)特殊點(diǎn)：流入沒有流出（終止點(diǎn)）和流出沒有流入（起始點(diǎn)）。因此，必存在兩個(gè)奇數(shù)度節(jié)點(diǎn)。

☆應(yīng)用——對(duì)問題進(jìn)行解答

可以看出，歐拉通路和歐拉回路都是一筆畫的解決方案，除此以外都不可能成為“一筆畫”。其中圖5，deg（V）=2為偶數(shù)，則為歐拉回路，即可一筆完成。圖6中，存在2個(gè)點(diǎn)度數(shù)等于5（奇數(shù)度），則為歐拉通路，并且此兩

點(diǎn)分別為通路的起點(diǎn)和終點(diǎn)，而圖7中，存在4個(gè)點(diǎn)度數(shù)等于5（奇數(shù)度），因此不可能一筆完成。（在此可以讓學(xué)生充分發(fā)揮其想象力，得出不同的路徑，以激發(fā)學(xué)生的興趣和熱情。）

☆引申——對(duì)知識(shí)的重新認(rèn)識(shí)、建構(gòu)和應(yīng)用

然后引入稍微有些難度的題目，以鞏固知識(shí)，并培養(yǎng)學(xué)生的分析問題和解決問題的能力，并調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

6 總結(jié)

通過以上對(duì)“離散數(shù)學(xué)”課程中實(shí)例式教學(xué)過程的描述，使學(xué)生在以實(shí)例為基礎(chǔ)的前提下對(duì)知識(shí)的適用范圍有所了解，消除了“學(xué)習(xí)此課程有什么用處”的疑惑，同時(shí)，注重學(xué)生能力的培養(yǎng)，加強(qiáng)了不同課程之間的融會(huì)貫通，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，并且讓學(xué)生了解后續(xù)課程的重點(diǎn)和方向。在知識(shí)的講解過程中通過知識(shí)的多次建構(gòu)，達(dá)到對(duì)知識(shí)的掌握。此教學(xué)方法在已在天津外國(guó)語(yǔ)學(xué)院教育技術(shù)系的課堂教學(xué)中取得了良好的效果。

參考文獻(xiàn)

[1] 屈婉玲．離散數(shù)學(xué)[M]．北京:高等教育出版社．

[2] 左孝陵．離散數(shù)學(xué)[M]．上海科技文獻(xiàn)出版社．

[3] 耿素云，屈婉玲，王悍貧．離散數(shù)學(xué)教程[M]．北京大學(xué)出版社．

Abstract: This paper explained the status of Discrete Mathematic in computer sciences， described its concurrent instructional situation， analyzed the reasons which caused such a phenomenon， and proposed related solutions， that is， Heuristic Instruction. The focus of this paper was the characteristics of such an approach. At the same time， taking Propositional Logic Equivalent Calculation and Eulerian Graph: Euler trail and Euler tour/circuit as examples， the authors discussed the instructional process of this approach. Heuristic Instruction was directed by examples.

Key words: Discrete Mathematic、Example heuristic teaching、Teaching practice、teaching exploration

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