一堂展示課的思考和改進

前不久，我與幾位骨干老師一起參與了一節(jié)初中數(shù)學(xué)展示課的試講、討論和展示的過程.在試講后大家討論并提出了一些思考，開課教師根據(jù)思考做出了改進.教材和內(nèi)容：北師大版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)》九年級下冊第二章二次函數(shù)“結(jié)識拋物線”.

一、試講過程及討論思考

1.引入

拱形橋——工程師要設(shè)計建造一座拱橋，他們首先必須對地形和地質(zhì)等因素進行綜合考慮，再在圖紙上按一定的比例畫出設(shè)計圖（如圖）.其中一條粗體的曲線是拱橋的重要設(shè)計部分，它不但美觀大方，而且是力學(xué)承重中的最佳設(shè)計.著名的趙州橋之所以能保存至今，也是由于這個重要部分設(shè)計.那么，設(shè)計師又是怎樣設(shè)計出來的呢？若將其放在直角坐標(biāo)系中，它可以用什么函數(shù)來刻畫呢？

【思考：讓學(xué)生直觀感受拋物線的大概形狀，讓學(xué)生體會到需要研究這類曲線問題，也為后面探索二次函數(shù)圖像中如何連線做了鋪墊，但是與二次函數(shù)的圖像連結(jié)不夠自然.】

2.探索二次函數(shù)y=-x2的圖像

【思考：為何要先研究y=-x2的圖像？學(xué)生可能會感覺比較突然.】

師：作函數(shù)圖像的一般步驟是怎么樣的？

生：列表、描點、作圖.

【思考：學(xué)生在以前已經(jīng)學(xué)過畫一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像，因此可以通過復(fù)習(xí)引導(dǎo)，讓學(xué)生先回顧探究函數(shù)圖像的過程和方法，然后可以類比此過程和方法探究y=-x2的圖像.】

師：先列出下表，然后再描點、連線，在連線時要求光滑地連結(jié).（圖略.）

x …-3-2 -1 012 3 …

y …-9-4 -1 0-1-4 -9 …

【思考：為何要這樣取x？其實這也是探究畫圖的重要一步.】

師：這樣得到了y=-x2的圖像，我們把具有這樣形狀的曲線叫拋物線.

【思考：為何要以這種方式去連結(jié)？還有為何稱它為拋物線？整個探究圖像的過程和方法，可以讓學(xué)生通過類比來得到y(tǒng)=-x2的圖像.】

3.探索與發(fā)現(xiàn)（小組合作）

（1）你能描述圖像的形狀嗎？

（2）圖像是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？請仍然找出幾對對稱點.

（3）圖像與x軸有交點嗎？如果有，交點坐標(biāo)是什么？

（4）當(dāng)x<0時，隨著x的增大，y的值如何變化？當(dāng)x>0呢？

（5）當(dāng)x取什么值時，y的值最大？最大值是什么？你是如何知道的？

（6）開口方向？

師：你是怎么得到x=0時y的值最大？

生：我是從圖像觀察得到的.

師：上述特征我們可以通過看函數(shù)表達式來得到.

【思考：作出函數(shù)圖像的目的是為了利用圖像直觀地探索發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)，而教師在此過程中更多地是借助多媒體的演示和函數(shù)代數(shù)式來證明或說明，這也不利于數(shù)形結(jié)合的滲透.另一方面，函數(shù)的性質(zhì)需要學(xué)生去探索和發(fā)現(xiàn)，教師的6個問題已經(jīng)將所要探索的性質(zhì)細化地給出，學(xué)生只要按照問題的細化要求去找到即可，也不需要合作學(xué)習(xí).其實由圖像得到性質(zhì)的方法在一次函數(shù)和反比例函數(shù)中都已經(jīng)歷過，可以引導(dǎo)學(xué)生運用類比思想采用同樣的方法去探究和發(fā)現(xiàn).】

師：二次函數(shù)y=x2的圖像是什么形狀？

【思考：從函數(shù)y=-x2的圖像入手，再研究y=x2的圖像，是因為前者的圖像更接近生活中的諸多拋物線，學(xué)生更容易理解它的概念.通過一組變式訓(xùn)練，讓學(xué)生理解函數(shù)圖像與關(guān)系式的聯(lián)系.】

（學(xué)生列表、描點、連線畫出圖像.）

x…-3-2 -10123…

y=x2… …

1.形狀：.

2.開口方向: .

3.頂點坐標(biāo)：.

4.稱軸: .

5.最大（?。┲? .

6.增減性：

當(dāng)x＜0時，；

當(dāng)x＞0時，.

師：請將函數(shù)y=x2圖像的特征填入上述表格.（學(xué)生一一填入.）

師：y=x2的圖像與二次函數(shù)y=-x2的圖像又有什么關(guān)系？

生：關(guān)于x軸對稱.

【思考：與前面類似，這樣的填空引導(dǎo)過于到位，由于y=x2的圖像特征與y=-x2的圖像特征非常相似，故可以由學(xué)生類比得到，更應(yīng)該將兩者特征列成表格有利于學(xué)生的比較，另外比較應(yīng)該是多層次的.】

4.運用

（1）已知該圖像上有兩點（-3，y1），（-2，y2），則y1，y2的大小關(guān)系是 .

（2）已知該圖像上有三點（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）且x1＞x2＞x3＞0，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是 .

（3）正方形的邊長為x，面積為y，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式以及自變量的范圍，并作出其圖像.

（4）已知點A(1，a)在拋物線y=x2上，O為坐標(biāo)原點.求A點的坐標(biāo)；在拋物線上是否存在點P，使得△OAP是等腰三角形，且OA=OP？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

【思考：上述問題是有關(guān)函數(shù)性質(zhì)中的增減性順用和逆用，一方面是性質(zhì)的運用，另一方面通過圖像的反復(fù)運用能夠突出數(shù)形結(jié)合.但直接要求解決這些問題，難度相對較大.】

5.小結(jié)

作為二次函數(shù)圖像及特征的第一堂課，它應(yīng)該有許多的知識結(jié)構(gòu)、方法、思想上的價值，在小結(jié)回顧中應(yīng)該得到體現(xiàn).

二、展示課的過程和點評

1.引入

情境問題（同上）展示.

師：情境問題中的粗體曲線是否對應(yīng)一個函數(shù)解析式？前面我們學(xué)了二次函數(shù)的概念和表達式，按照學(xué)習(xí)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的過程，接下來要學(xué)如何去研究？為什么？

生：應(yīng)該是二次函數(shù)的圖像，因為學(xué)了一次函數(shù)和反比例函數(shù)概念后，作出它們的圖像，然后可以通過觀察圖像得到對應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，再可以運用性質(zhì)解決更多問題.

師：對，函數(shù)與圖像是數(shù)與形的關(guān)系，它們可以通過相互轉(zhuǎn)換達到互助，那么它們是通過什么來轉(zhuǎn)換的呢？

生：通過直角坐標(biāo)系.

師：對，那么今天我們就開始探究二次函數(shù)的圖像.

【點評：通過有關(guān)一次函數(shù)和反比例函數(shù)問題引導(dǎo)，教師激活了學(xué)生原有認知中研究函數(shù)的過程與方法，即先有概念，然后是探究圖像，再通過觀察圖像的特征得到函數(shù)的性質(zhì)，最后運用解決問題；有了這樣的前提，學(xué)生自然地類比探究一次函數(shù)和反比例函數(shù)的方法，想到需要探究二次函數(shù)的圖像和特征，同時在此過程和方法中也作好了數(shù)形結(jié)合的鋪墊.】

師：一般二次函數(shù)表達式為y2=ax2+bx+c，要探究這樣的圖像比較困難，怎么辦？你能否類比探究一次函數(shù)圖像的過程？

生：類比研究y=ax+b的圖像，先研究y=kx，最先研究y=x和y=-x，那么自然想到要先去研究y=ax2的圖像，而研究它們則可以先研究y=-x2、y=x2的圖像.

【點評：教師恰當(dāng)?shù)膯栴}引導(dǎo)，解決了為何要在這節(jié)課研究y=-x 、y=x 的圖像問題，在此過程中滲透研究函數(shù)的從特殊到一般的方法，也將前后的課堂教學(xué)內(nèi)容（從y=±x2到y(tǒng)=ax2再到y(tǒng)2=ax2+bx+c）相串聯(lián).】

2.探究作圖，得到拋物線

師：y=-x2的圖像是怎么樣的？（列表、描點、作圖.）

師：你是怎么想到的？

生：y=-x2的圖像我們還不知道，應(yīng)該與一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖像開始的畫法一樣的.

師：對，對于未知函數(shù)圖像，我們通過取值、列表、描點、連線來得到.（學(xué)生同桌合作探究畫圖，教師巡視并找出學(xué)生典型畫圖.）

師：你是如何列表的？

生：為了比較全面地代表所有點，應(yīng)該要取正、零、負.

x …-3-2 -101 23…

y …-9-4 -10-1 -4 -9…

師：這樣連線正確嗎？（教師展示一位學(xué)生的線段連線方式.）

生：不對，應(yīng)該要求光滑地連結(jié).

師：（教師邊展示后一位學(xué)生的畫圖）你為何這樣連線？能說明理由嗎？

生：開始時我也不很確定，后來我取了相鄰兩點的中間點得到不是線段連結(jié)的.

師：你們能否評價一下這幅作品.（展示另一學(xué)生的作圖.）

生：挺光滑，但兩端不出頭是不正確的.

師：為什么？

生：由于x的取值兩端是無限的.

師：這曲線像什么形狀？

（多媒體演示：它像一個物體拋出后運行的軌跡，再演示投籃球的弧線，形如拋射時物體經(jīng)過的路線，稱它為拋物線.）

【點評：引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)舊知，從方法上激活原有認知結(jié)構(gòu)，勾畫出探究函數(shù)圖像的方法.從而自然引導(dǎo)學(xué)生通過同桌合作探究y=-x2的圖像.通過對學(xué)生典型練習(xí)的評價，讓學(xué)生理解畫圖中取值描點的代表性和表格中x取值的無限性.最后在教師的問題引導(dǎo)和多媒體輔助下學(xué)生能自然得出拋物線的名稱.】

3.觀察圖像，發(fā)現(xiàn)特征，結(jié)識拋物線

師：拋物線有哪些特征呢？坐標(biāo)系中的拋物線特征如何去刻劃呢？

師：一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖像的特征有哪些方面？那么如何去探究拋物線呢？

生：它是軸對稱圖形，在坐標(biāo)系下的上述圖形中，就是關(guān)于y軸對稱.

師：對，找到了圖像的對稱軸.

生：x軸下方都在第三、四象限內(nèi)，頂點除外.

師：對，這就是圖像的位置.

生：x＜0（對稱軸左側(cè)），y隨x增大而增大；x＞0（對稱軸右側(cè)），y隨x增大而減小.

師：這是圖像的增減性.還有其他的特征呢？拋物線還有哪些要素？

生：噢，頂點和開口方向.

生：頂點在原點，開口方向向下，而且兩端無限伸展.（教師板書，將特征一一列出，如圖表格.）

y=-x2

頂點

對稱軸

位置

開口方向

增減性

最值

【點評：學(xué)生通過觀察圖像探究發(fā)現(xiàn)拋物線特征的過程也是學(xué)生結(jié)識拋物線的過程，由于拋物線的特征有較多的內(nèi)容，所以教師安排了合作學(xué)習(xí)，也通過類比和拋物線的要素等方面給予了適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，使學(xué)生的探究更能有針對性.將學(xué)生的探究結(jié)果板書成表格，一方面讓對應(yīng)拋物線特征一目了然，另一方面又為后面y=x2的圖像特征得到及它們的特征比較做好了鋪墊.】

師：如何畫y=x2的圖像？它的圖像與y=-x2的圖像有何異同呢？比較其中數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)什么？說一說二次函數(shù)y=x 的圖像有何性質(zhì).

x …-3 -2 -1 0 1 23 …

y=-x2… …

y=x2 … …

（學(xué)生類比，根據(jù)觀察圖像方法得出y=x 的性質(zhì)，然后一一填入表格.）

y=-x2y=x2

頂點

對稱軸

位置

開口方向

增減性

最值

師：比較它們的不同特征.

生：它們軸對稱，也是中心對稱.

師：根據(jù)它們開口方向和位置的不同，你可以猜測一般的y=ax2嗎？你是怎么得到的？

生：a＞0時開口向上，圖像都在x軸的上方（除原點），a＜0時開口向上，圖像都在x軸的上方（除原點）.從圖中可以想象，通過函數(shù)表達式也可以得到y(tǒng)的正負情況.

【點評：通過兩個圖像的特征比較，有利于學(xué)生將圖像特征與函數(shù)表達式相聯(lián)系，后面的問題自然引導(dǎo)學(xué)生將方法拓展，為后面的 圖像特征學(xué)習(xí)作好準(zhǔn)備，同時也通過觀察圖像和從函數(shù)表達式中看出特征兩種方法滲透數(shù)形結(jié)合的理念.】

4.運用

（1）對于y=x2，無論x取何值時，y 0， 對于y=-x2，無論x取何值時，y 0.①已知點A（1.5，a）在于y=x2的圖像上，則a= ；若過A作y軸的垂線，交圖像于另一點B，則點A與點B的關(guān)系是，AB的長度是 .②對于拋物線y=-x2一點A（2，），它關(guān)于y軸的對稱點B（，）（在或不在）拋物線上.

【點評：通過問題（1），引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)式和圖形兩種途徑去鞏固y=x2和y=-x2對應(yīng)拋物線的正負、對稱等特征，并學(xué)會初步運用.】

（2）對于y=x2，已知它的圖像上有兩點（x1，y1），（x2，y2）且x1＞x2＞0，則y1，y2的大小關(guān)系是______.

生：y1＞y2.

師：你是怎么得到的？

生：我是利用圖像得到的.

師：如果去掉大于0的條件呢？

生：借助圖像，應(yīng)該要討論的，分都正、都負、一正一負的3種情況討論，其中一正一負好像比較困難的.

生2：不需要討論的，根據(jù)圖像關(guān)于y軸的對稱性，只要比較橫坐標(biāo)離開零點的距離，距離越大則函數(shù)值越大，也就是比較|x1|與|x2|的大小，哪個大對應(yīng)函數(shù)值也大.

師：很好，你是如何得出這樣的比較辦法的？

生2：我是利用了圖像和上面的對稱性特征.

【點評：問題（2）是圖像增減特征的運用，通過教師的兩次追問，引導(dǎo)學(xué)生從分類討論到運用數(shù)形結(jié)合和函數(shù)圖像特征，避免了分類和簡化過程，既熟練了特征的運用，又滲透了數(shù)學(xué)思想的運用.】

5.小結(jié)

師：在本節(jié)課中，我們學(xué)到了哪些知識？

生1：y=-x2、y=x2的圖像和它們的特征，也就是認識了拋物線，還有這些特征的運用.

師：我們是如何探究得到這些知識的？

生2：我覺得一是類比已學(xué)的方法，拋物線圖像的得到和特征的發(fā)現(xiàn)都是類比一次函數(shù)的方法，二是數(shù)與形的結(jié)合，通過數(shù)的運算才能畫出圖（比如連線不確定時則再通過取中間橫坐標(biāo)計算對應(yīng)縱坐標(biāo)得出），通過圖形發(fā)現(xiàn)特征再用數(shù)可以證明，解決問題時可以從數(shù)和形兩種途徑去思考.

師：本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容與前后有什么關(guān)系？

生3：這是一次函數(shù)后的又一類特殊函數(shù)，在二次函數(shù)中這是最基本的，有了它的圖像和特征以及探究得到的方法，我們可以學(xué)習(xí)更多更一般的二次函數(shù).

【點評：在上述回顧中，除知識的小結(jié)，又將新學(xué)內(nèi)容納入了函數(shù)結(jié)構(gòu)線索中，也為后面的逐漸一般化的二次函數(shù)學(xué)習(xí)及至其他特殊函數(shù)學(xué)習(xí)作好了充分準(zhǔn)備，還能引導(dǎo)學(xué)生重視學(xué)習(xí)研究函數(shù)內(nèi)容的方法線索，更能突出數(shù)形結(jié)合、類比等數(shù)學(xué)思想.】

（作者單位：浙江省海鹽縣教研室）