價格彈性隨機需求情況下基于ＲＰＭ的供應(yīng)鏈契約設(shè)計

［摘 要］ 本文研究了由單個供應(yīng)商和銷售商構(gòu)成的兩級供應(yīng)鏈中，當(dāng)產(chǎn)品具有價格彈性且需求隨機時的契約設(shè)計問題。首先推導(dǎo)了集中控制模式下系統(tǒng)的最優(yōu)定價和訂購數(shù)量問題；然后分析了分散控制模式下，且供應(yīng)商和銷售商不合作情況下（無有效的協(xié)調(diào)機制），銷售價格和訂購數(shù)量的局部最優(yōu)解；最后設(shè)計了基于RPM的契約協(xié)調(diào)機制，并證明了該契約形式可以在分散控制模式下達到集中控制模式的最優(yōu)狀態(tài)。

［關(guān)鍵詞］ 價格彈性；RPM；供應(yīng)鏈；契約設(shè)計

［中圖分類號］F406［文獻標(biāo)識碼］A［文章編號］1673-0194（2008）18-0087-03

如何協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈中各成員企業(yè)的行為，有效解決因信息不對稱和激勵不一致而造成的長鞭效應(yīng)（bullwhip effect）及雙邊際效應(yīng)［1］（double marginalization effect）已成為目前供應(yīng)鏈管理研究的新熱點。供應(yīng)鏈契約是實現(xiàn)供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)的重要手段之一。在隨機的市場需求情況下，大量的供應(yīng)鏈契約研究是建立在傳統(tǒng)報童模型假設(shè)的基礎(chǔ)上。該模型假定市場需求數(shù)量是一個與銷售價格無關(guān)的外生隨機變量。在經(jīng)濟學(xué)中根據(jù)市場需求與銷售價格間的敏感程度，將商品劃分為價格敏感和價格不敏感兩種類型，價格敏感也稱為價格彈性。在現(xiàn)實生活中，具有顯著價格彈性的產(chǎn)品非常普遍，因此研究價格彈性情況下的契約協(xié)調(diào)機制設(shè)計問題具有非常重要的意義。

Weng［2］研究了基于數(shù)量折扣的價格彈性報童模型的協(xié)調(diào)；Petruzzi［3］對單期和多期兩種情況下價格彈性報童模型的最優(yōu)訂購數(shù)量和最優(yōu)價格的求解進行了詳細討論；在確定性需求且價格彈性情況下，Wanathan［4］分析了數(shù)量折扣和總額折扣兩種契約協(xié)調(diào)機制的有效性。本文則主要研究基于回購契約的價格彈性且需求隨機情況下的協(xié)調(diào)契約設(shè)計問題。

1 模型假設(shè)

本文假定產(chǎn)品的市場需求函數(shù)不僅為一外生的隨機變量，而且與銷售商的銷售價格p相關(guān)，即用包含銷售價格p和隨機變量ζ的二元函數(shù)D（p，ζ）建立價格彈性情況下的隨機需求函數(shù)。該函數(shù)由兩部分組成：確定性部分和隨機性部分。根據(jù)兩部分之間的運算關(guān)系不同，價格彈性隨機需求的表達方式可分為兩種：加法和乘法。關(guān)于價格隨機需求表達方法的詳細論述可參考文獻［5］。本文采用加法形式，即：D（p，ζ）=q1（p）+ζ。其中，q1（p）表示確定性需求部分，是銷售價格的減函數(shù)，表示為q1（p）=m-n×p（m>0， n>0）；ζ表示隨機需求部分，在區(qū)間［A，B］服從某種分布。另外下文的變量中，pI表示集中控制模式下的系統(tǒng)最優(yōu)定價；pd表示分散控制模式下的銷售商最優(yōu)訂購價格；z表示對應(yīng)隨機需求部分的訂購數(shù)量；zI表示集中控制模式下對應(yīng)隨機需求部分的最優(yōu)訂購數(shù)量；zd表示分散控制模式下對應(yīng)隨機需求部分的最優(yōu)訂購數(shù)量；q表示價格彈性情況下的總訂購數(shù)量；qI表示集中控制模式下的最優(yōu)訂購數(shù)量，且qI=q1（ql）+ zI；qd表示分散控制模式下的最優(yōu)訂購數(shù)量，且qd=q1（qd）+ zd；I（q）表示滯銷庫存的期望值，I（q）=（p- ζ）× f （ζ）d ζ；L（q）表示期望缺貨量，L（q）=（ζ-p）×

f（ζ）d ζ。

2 集中控制模式下的系統(tǒng)最優(yōu)銷售價格和訂購數(shù)量分析

集中控制模式下的供應(yīng)鏈的期望收益π1（p，z）的計算公式如下：

E[π（p，z）]=（p× （q（p）+ ξ）- cm（q（p）+z）-h×（z- ξ）×

f （ξ）d ξ +（（p- c）×（ q（p）+ ξ）- g ×（z- ξ））× f （ξ）d ξ。（1）

根據(jù)前面I（q）和L（q）的定義，上式可以改寫為：

E[π（p，z）]=（p- c）×（ q（p）+ μ）-（c+h）× I（z）+（p+ g -c）×L（z））。（2）

最優(yōu)定價和訂購數(shù)量（pI，zI）滿足E（∏（p，z））。

為了求解（pI，zI），首先對 （2） 式分別求p和z的一階和二階偏導(dǎo)，得到：

=-（c+h）+（p+g+h）×（1-F（z）），

=-（p+g+h） f（z）< 0；

=2n×- p）- I（z），

=-2n< 0。

由上面兩個二階偏導(dǎo)公式可知，當(dāng)固定變量p時，供應(yīng)鏈期望收益E [π I（p，z）]是變量（z）的凹函數(shù)；同樣當(dāng)固定變量z時，π I（p，z）也是銷售價格p的凹函數(shù)。因此求解最優(yōu)解（pI，z I ）的過程可以分為以下兩步來完成：

（1）變量z固定，求得pI（z）；

（2）然后將pI（z）代入（1）式，則可獲得僅關(guān)于變量z的系統(tǒng)收益函數(shù)形式：E [π I（z）]=（pI（z）- c）×（q1（pI（z））+ μ）-（（c+h）× I（z）+（pI（z）+g -c））×L（z）），然后利用上式求解：E [π I（z）]的最優(yōu)解z I。當(dāng)然也可以按照先固定變量p，獲得

z I（p），然后求解E [π I（p）]的順序。在一定的約束條件下，二者的結(jié)果相同。

下面首先求解pI（z）。利用一階條件可得：

pI（z）=。

然后將pI（z）代入到（2）式中得到：

E [π I（z）]=（pI（z）- c）×（q1（pI（z））+ μ）-（（c+h）× I（z）+（pI（z）+g -c）×L（z））。（3）

當(dāng)隨機需求部分的分步函數(shù)F（ζ）滿足IFR性質(zhì)時，集中控制模式下的供應(yīng)鏈最優(yōu)解（pI，z I ）存在，且滿足下述約束方程［6］：

pI（z）

=

z I=max{dE（πI（z））=0}

pI = m-npI+ z I （4）

在利用上述方程組求解系統(tǒng)最優(yōu)解時，首先求解系統(tǒng)最優(yōu)定價pI和z I ，然后再將其代入到約束方程（4）中，求解出系統(tǒng)最優(yōu)訂購數(shù)量q I 。

3 不合作情況分析

假設(shè)不合作情況下，供應(yīng)商和銷售商之間僅通過批發(fā)價契約完成采購業(yè)務(wù)。業(yè)務(wù)過程為首先由供應(yīng)商提供批發(fā)價w契約，然后銷售商根據(jù)批發(fā)價w，確定自己的最優(yōu)銷售價格p d 和訂購數(shù)量q d 。

下面推導(dǎo)不合作情況下銷售商的優(yōu)化銷售價格p d 和訂購數(shù)量q d。同樣首先將求解（pd ，q d）的問題轉(zhuǎn)換為求解

（pd ，z d）。假定批發(fā)價w已知的情況下，（pd ，q d）的求解步驟與集中控制模式的分析過程完全相同，因此只將（4）式中的參數(shù)c更換為供應(yīng)商的批發(fā)價w即可。即不合作情況下的銷售商最優(yōu)銷售價格p d 和訂購數(shù)量q d 滿足以下約束方程：

E[π d(z)]=( pd(z)-w)×(q1( pd(z))+μ)-((w+h)×I(z)+( pd(z)+g-w)×L(z))

pd(z)

=

z d=max{dE(πI(z))=0}（5）

q d=m-npd+z d

由前面的敘述可知，對整個供應(yīng)鏈系統(tǒng)來講，只存在唯一的一組滿足（4）的優(yōu)化解（pI，q I ）。與集中控制模式下的最優(yōu)解相比，不合作情況下（5）式的解（pd ，z d）必然使供應(yīng)鏈的運作處于低效狀態(tài)。

4 基于數(shù)量固定RPM契約的協(xié)調(diào)機制設(shè)計

RPM（Resale Price Maintenance）稱為限制轉(zhuǎn)售價格或維持轉(zhuǎn)售價格，是指當(dāng)供應(yīng)商將產(chǎn)品銷售給其下游分銷商或銷售商時，同時規(guī)定該分銷商或銷售商在轉(zhuǎn)售時必須遵守一定的價格。如有違反，則對其給予違約金處罰、斷絕供給、取消折扣等經(jīng)濟制裁手段。RPM的本質(zhì)是一種聯(lián)合定價機制，通過供應(yīng)商給出一定的指導(dǎo)銷售價格，以有效防止銷售商因過度降價或漲價而損害自身和供應(yīng)鏈整體的利益。因為價格是市場最有效的競爭手段，如果銷售者惡性競爭，或賠本銷售，最后可能無法持續(xù)而終止?fàn)I業(yè)，使供應(yīng)商喪失銷售網(wǎng)絡(luò)；而銷售者對此也愿意配合，以避免惡性競爭。

本文設(shè)計的數(shù)量固定RPM契約是將RPM機制和數(shù)量固定契約形式相結(jié)合的一種新契約形式。在該契約機制下，供應(yīng)商對銷售商進行干預(yù)，不但規(guī)定其銷售價格p，還同時指定其最優(yōu)訂購數(shù)量q。顯然，在數(shù)量固定RPM契約適用的應(yīng)用場合中，銷售商處于弱勢地位，其選擇權(quán)有限，僅有接受或者放棄契約的權(quán)利。所以這種契約可能只適用于小規(guī)模銷售商與實力強大供應(yīng)商（如Intel、IBM跨國公司）之間的貿(mào)易過程。

數(shù)量固定RPM契約指定了以下幾部分內(nèi)容：①銷售商銷售價格定為集中控制模式下的優(yōu)化銷售價格pI；②銷售商的訂購數(shù)量定為集中控制模式下的最優(yōu)訂購數(shù)量，即q =q I ；③如果銷售商接受契約，其轉(zhuǎn)移支付的數(shù)量為：

T（q）=cq I +πI（q I ）- π

（q= q I ）；

+∞（q≠q I ）。

其中π表示銷售商接受契約的最低收益水平，也稱銷售商的機會成本。

5 討論及結(jié)論

銷售商接受上述契約協(xié)調(diào)機制，供應(yīng)鏈的整體收益則等于集中控制模式下的最大收益。所以數(shù)量固定RPM契約在價格彈性隨機需求情況下能夠?qū)崿F(xiàn)供應(yīng)鏈帕累托最優(yōu)。但是它也是一種剛性相對較強的契約形式，供應(yīng)商不但需要限定訂購數(shù)量q和銷售價格p，還要對供應(yīng)鏈的整體收益進行合理劃分（占有了除保證銷售商接受契約的最低收益水平以外的其他所有收益），這些問題有可能會影響到其應(yīng)用的范圍。

主要參考文獻

［1］ Charles H Fine． Clockspeed： Winning Industry Control in the Age of Temporary Advantage［M］． Perseus Publishing Group，1999．

［2］ Z K Weng． Model Quantity Discounts under General Price－sensitive Demand Functions：Optimal Policies and Relationships［J］． European Journal of Operational Research，1995，86（2）：300－314.

［3］ Nicholas C Petruzzi，Maqbool Dada． Pricing and the Newsvendor Problem：A Review with Extensions［J］． Operations Research，1999，47（2）：183－194．

［4］ S Viswanathan，Qinan Wang． Discount Pricing Decision in Distribution Channels with Price－sensetive Demand［J］． European Journal of Operational Research，2003，149（3）：571－587．

［5］ E Porteus． Stochastic Inventory Theory［M］// D P Heyman，M J Sobel eds. Stochastic models. Amsterdam：North－Holland，1990．

［6］ Li Yao． Supply Chain Modeling：Pricing，Contracts and Coordination［D］． HongKong：The Chinese University of Hong Kong，2002：64－66．

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文