對(duì)原函數(shù)與反函數(shù)圖像交點(diǎn)問(wèn)題的再探究

董令華

文［1］通過(guò)例題分析探索了互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)的可能情況，讀后很受啟

發(fā)，筆者在此想對(duì)單調(diào)函數(shù)的互為反函數(shù)的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題作進(jìn)一步探究，供同仁參考.

一、與反函數(shù)有關(guān)的兩個(gè)常見(jiàn)命題

命題1 單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)，且互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)單調(diào)性相同；存在反函數(shù)的函數(shù)不一定是單調(diào)函數(shù)^{［2］［3］}.

命題2 單調(diào)增的函數(shù)與其反函數(shù)如果有交點(diǎn)，則交點(diǎn)必在直線y=x上；單調(diào)減的函數(shù)與其反函數(shù)如果有交點(diǎn)，交點(diǎn)不一定都在直線y=x上.

下面僅對(duì)命題2進(jìn)行證明：

設(shè)單調(diào)函數(shù)f(x)與其反函數(shù)圖像的一個(gè)交點(diǎn)是(a,b)，則點(diǎn)(b,a)也必是兩函數(shù)圖像的另一個(gè)交點(diǎn)，且b=f(a),a=f(b).

①若y=f(x)單調(diào)增，則要證明兩圖像交點(diǎn)在直線y=x上，只需證明a=b.

下面用反證法證明，假設(shè)a≠b.

若a>b且f(x)是增函數(shù)，則a=f(b)a，這與條件a>b矛盾，a>b不可能.

同理a

即若y=f(x)單調(diào)遞增，互為反函數(shù)的兩函數(shù)圖像交點(diǎn)必在直線y=x上.

②若y=f(x)單調(diào)遞減，假定a

同理，b

只有當(dāng)a=b時(shí)，兩圖像交點(diǎn)才在直線y=x上.

綜上所述，命題2得證.

二、對(duì)兩個(gè)流行性反例的解釋

文［1］、［2］、［3］對(duì)命題“互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)必在直線y=x上”判斷時(shí)都舉出了例子y=1x和y=-1x.

依據(jù)命題2，對(duì)兩個(gè)例子解釋如下：

(1)y=1x(x>0,x<0,x≠0)與其反函數(shù)分別對(duì)應(yīng)于y=1x(x>0,x<0,x≠0)，也就是它本身，因而兩圖像重合，且有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)y=

1x在x>0或x<0時(shí)是單調(diào)減函數(shù)，其交點(diǎn)不一定都在y=x上，符合命題2.

(2)y=-1x(x>0)在x∈(0,+∞)時(shí)單調(diào)增，而其反函數(shù)是y=-1x(x<0)，此時(shí)兩函數(shù)根本沒(méi)有交點(diǎn)，當(dāng)然也就不存在交點(diǎn)在y=x上.

同理y=-1x(x<0)與其反函數(shù)y=-1x(x>0)的圖像也沒(méi)有交點(diǎn).

只是y=-1x(x≠0)與其反函數(shù)y=-1x(x≠0)的圖像重合，且與直線y=x沒(méi)有交點(diǎn)，這也符合命題2.

這樣，文［1］結(jié)束語(yǔ)就更加完整.

參考文獻(xiàn)

［1］錢文穎，邵春和.原函數(shù)與反函數(shù)圖像交點(diǎn)問(wèn)題的探究.數(shù)學(xué)教學(xué)，2006，5.

［2］趙芝川.解析反函數(shù)，數(shù)學(xué)教學(xué).2006，5.

［3］王德明.如何理解“y=f(x)”的一些問(wèn)題.數(shù)學(xué)教學(xué).2006，5.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文