數(shù)學(xué)選題應(yīng)充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)新課程的特點

徐玲芳

結(jié)合高中數(shù)學(xué)新課程的主編寄語以及數(shù)學(xué)教學(xué)實踐，筆者認為數(shù)學(xué)新課程的特點是：數(shù)學(xué)是自然的；學(xué)數(shù)學(xué)能提高能力；數(shù)學(xué)是清楚的；數(shù)學(xué)是有用的；數(shù)學(xué)教師應(yīng)有人本理念.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)緊扣數(shù)學(xué)特點，精心選擇數(shù)學(xué)問題，不斷激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動機，隨著數(shù)學(xué)教學(xué)過程的展開形成幾個高潮，使學(xué)生經(jīng)常處于“憤悱”的狀態(tài)中，培養(yǎng)學(xué)生的各種能力，做到“以題激情、情知交融”.下面筆者結(jié)合數(shù)學(xué)新課程的特點，談?wù)勗跀?shù)學(xué)選題方面的一點體會.

1 數(shù)學(xué)選題要體現(xiàn)“數(shù)學(xué)是有用的”

數(shù)學(xué)選題要體現(xiàn)“數(shù)學(xué)是有用的”.什么叫有用，什么叫無用，可以用來買菜、算賬就是有用嗎?或者更高級一點，可以用來計算銀行利息、看懂股市行情就是有用嗎?再 高級一點，能夠用來解決某個實際問題就是有用嗎?都是，但又不完全是，數(shù)學(xué)的有用性更加體現(xiàn)在數(shù)學(xué)是一種思考方式上，日本教育家米山國藏指出：“作為知識的數(shù)學(xué)，學(xué)生出校門不到兩年就忘了，惟有深深銘記在頭腦中的是數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想、研究方法和著眼點等，這些卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們終生受益”，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是學(xué)生學(xué)習(xí)了一種科學(xué)的數(shù)據(jù)處理方法，使學(xué)生能從紛雜的數(shù)據(jù)中看到一些共性和個性的特點，能看到一些事物間的本質(zhì)聯(lián)系，這一切對于學(xué)生才是終身受用的.所以數(shù)學(xué)選題時要選擇一些貼近生活，貼近實際的數(shù)學(xué)問題，同時這樣的數(shù)學(xué)問題還要體現(xiàn)出一定的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，這樣的數(shù)學(xué)問題是可以給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個觀察、聯(lián)想、抽象、概括、數(shù)學(xué)化的過程，讓學(xué)生感受生活中不但要用到數(shù)學(xué)，而且還要用到數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)思想方法，在這樣的數(shù)學(xué)問題下，學(xué)生一定會想學(xué)、樂學(xué)、主動學(xué)，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和探究數(shù)學(xué)的興趣.

案例1 在“均值不等式”一節(jié)的教學(xué)中，可設(shè)計如下實際應(yīng)用問題，某商店在節(jié)前進行商品降價酬賓銷售活動，擬分兩次降價.有三種降價方案：甲方案是第一次打p折銷售，第二次打q折銷售；乙方案是第一次打q折銷售，第二次打p折銷售；丙方案是兩次都打p+q2折銷售.請問：哪一種方案降價較多?(引導(dǎo)學(xué)生解決這個實際問題需要怎樣的數(shù)學(xué)思維方式和數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)思維方式和數(shù)學(xué)思想的重要性).

2 數(shù)學(xué)選題要體現(xiàn)“學(xué)數(shù)學(xué)能提高能力”

考綱明確指出：對數(shù)學(xué)能力的考查，以邏輯思維能力為核心，全面考查各種能力，強調(diào)考題必須具有探究性、綜合性、應(yīng)用性.因而數(shù)學(xué)探究能力的培養(yǎng)有著十分重要的意義，探究能力是各種能力中的較高層次，它要求學(xué)生會對數(shù)學(xué)問題或資料進行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括，并能準確、清晰、有條理地進行表述.探究能力的培養(yǎng)不是一朝一夕可以完成的，所以應(yīng)該把探究能力的培養(yǎng)貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程.如何選擇一些具有探究意義的數(shù)學(xué)問題來充分暴露學(xué)生的思維過程是提高學(xué)生能力的前提，怎樣的數(shù)學(xué)問題才具有探究性呢?筆者認為這樣的數(shù)學(xué)問題不一定有解，答案不必唯一，條件可以變化，解決方案可以自己設(shè)計，允許與別人討論等等.比如在圓錐曲線教學(xué)選題時，筆者常選一些可以改變條件或一題多解的數(shù)學(xué)問題來培養(yǎng)學(xué)生的探究能力.

案例2 直線y=2x+m與拋物線y=x2相交于A、B兩點， ，求直線AB的方程.(需要補充恰當?shù)臈l件，使直線方程得以確定).

此題一出，學(xué)生的思維便很活躍，補充的條件形形色色，從而激發(fā)了學(xué)生的探究欲望.例如：①|(zhì)AB|=4;②若O為原點，∠AOB=90°；③AB中點的縱坐標為6；④AB過拋物線的焦點F.在探究過程中涉及到的知識有韋達定理、弦長公式、中點坐標公式、拋物線的焦點坐標，兩直線相互垂直的充要條件等等，學(xué)生實實在在地進入了探究“狀態(tài)”，學(xué)生的探究能力得到一定的培養(yǎng).

新課程在注重培養(yǎng)探究能力的同時，還注重學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力的培養(yǎng)，所以在選題時要選擇一些能啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的數(shù)學(xué)問題，從而使數(shù)學(xué)教學(xué)成為再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造、再實踐的探究過程.例如在學(xué)習(xí)必修3的統(tǒng)計章節(jié)時，可以統(tǒng)計班級學(xué)生的身高；可以統(tǒng)計班級學(xué)生的學(xué)習(xí)成績；可以統(tǒng)計班級學(xué)生的興趣愛好；可以用來統(tǒng)計班級學(xué)生的學(xué)習(xí)用品等等為選題的內(nèi)容.

3 數(shù)學(xué)選題要體現(xiàn)“數(shù)學(xué)是自然的”

數(shù)學(xué)新課程中的數(shù)學(xué)內(nèi)容是在人類長期的實踐中經(jīng)過千錘百煉而得到的精華和基礎(chǔ)，其中的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然的，所以在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的選題也要體現(xiàn)“數(shù)學(xué)的自然性”.

案例3 選修1-1和選修2-1的充分條件和必要條件是高中數(shù)學(xué)中的一個重要概念，并且是教與學(xué)的一個難點，另外每個教室都裝有日光燈，教學(xué)時可以選擇這樣的數(shù)學(xué)問題：“電燈亮著”是“有電”的什么條件，“有電”是“電燈亮著”的什么條件，這是很自然，因為這是學(xué)生每天接觸的物件，而且學(xué)生也是很自然的得出：“電燈亮著是有電的充分條件，有電是電燈亮著的必要條件”.另外學(xué)生已經(jīng)學(xué)過物理的電路圖，此時可以自然設(shè)計如下四個電路圖.

視“開關(guān)A的閉合”為條件A，“燈泡B亮”為結(jié)論B，給充分不必要條件、必要不充分條件、充分必要條件、既不充分又不必要條件以十分貼切、形象的詮釋，使學(xué)生興趣盎然，對“充要條件”的概念理解得比較自然而且入木三分.

數(shù)學(xué)選題的自然性還要體現(xiàn)：“選題必須符合學(xué)生實際的認識水平，要在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)選題”.按照心理學(xué)，人的認識水平分為：

人的認識水平就是在這三個層次間循環(huán)，不斷轉(zhuǎn)化，螺旋式上升，不宜停留在已知區(qū)和未知區(qū)，即不能太難和太容易，要自然的從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”選題，即知識的增長點選題，這樣有助于原有認知結(jié)構(gòu)的鞏固，也便于將新知自然的同化，使認知結(jié)構(gòu)更加完善.

案例4 在“拋物線及其標準方程”一節(jié)的教學(xué)中，引出拋物線定義“平面上與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線”之后，選這樣的問題：初中已學(xué)過的一元二次函數(shù)的圖象就是拋物線，而今定義的拋物線與初中已學(xué)的拋物線從字面上看不一致，它們之間一定有某種內(nèi)在聯(lián)系，你能找出這種內(nèi)在的聯(lián)系嗎?

這樣的數(shù)學(xué)選題非常自然，又是在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，結(jié)論應(yīng)該是肯定的，而課本中又無解釋，這自然會引導(dǎo)學(xué)生探索其中奧秘的欲望(一元二次函數(shù)可以y=x2為例)，此時，教師可根據(jù)情況決定要不要點撥：我們目標是一元二次函數(shù)的圖象符合拋物線定義，從y=x2入手推導(dǎo)出曲線上動點到某定點和某定直線距離相等.學(xué)生紛紛動筆變形、拼湊，找到了定點F(0，14)和定直線l：y=-14，一元二次函數(shù)y=x2的圖像上的動點P與定點F的距離正好等于它到直線l的距離，完全符合現(xiàn)在的定義，這樣的選題和探究完全在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，學(xué)生很自然的入手解決，使得新舊知識能夠自然的同化.

4 數(shù)學(xué)選題要體現(xiàn)“數(shù)學(xué)是清楚的、嚴密的”

數(shù)學(xué)是清楚的，清楚的前提，清楚的推理，得出清楚的結(jié)論，數(shù)學(xué)的命題，對就是對，錯就是錯，不存在絲毫的含糊.在數(shù)學(xué)選題中多選一些能夠讓學(xué)生自己找出錯誤解答之處和相應(yīng)的原因而不是等待教師的批改.從而培養(yǎng)學(xué)生的辨別能力，清楚地知道自己解對還是解錯，增強防御“陷阱”的經(jīng)驗.

案例5 (1)判斷命題的真假：“已知a,b是實數(shù)，若a>b，則a>b.”

這樣的數(shù)學(xué)問題答案是清楚的，因為只需從逆否命題角度清楚地知道是假的，但很多學(xué)生會認為這個命題真的.選擇這樣的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生自己找出問題的答案和出錯之處，不但能鞏固學(xué)生的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法，而且還能培養(yǎng)學(xué)生的辨別能力.(逆否命題：“已知a,b是實數(shù)，若a>b,則a>b.”)

(2)命題p:四條邊相等的四邊形是正方形(假命題).命題q:四個角相等的四邊形是正方形(假命題).請構(gòu)造命題p∧q.

很多同學(xué)答案是：四條邊相等且四個角相等的四邊形是正方形(真命題)，但依據(jù)真值表又清楚的知道這樣構(gòu)造的命題是不對的，問題出在何處?正確的復(fù)合命題“p∧q”又應(yīng)該如何構(gòu)造?這個命題又是什么命題呢?等，我相信學(xué)生自己會探究清楚.

數(shù)學(xué)是嚴密的，為了培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴謹性，可選一些開放性大的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生去嘗試，去“碰撞”和“跌跤”，讓學(xué)生充分“暴露問題”，然后順其錯誤或遺漏認真剖析，不斷引導(dǎo)，使學(xué)生恍然大悟，留下深刻印象.更主要地是能使學(xué)生參與討論，在討論中自覺地辨析正誤，取得學(xué)習(xí)的主動權(quán).英國心理學(xué)家貝恩布里奇說過：“差錯人皆有之，作為教師不利用是不能原諒的.”

案例6 若函數(shù)f(x)=ax2+2ax+1圖象都在x軸上方，求實數(shù)a的取值范圍.

學(xué)生因為思維不嚴密，往往錯解為a>0且(2a)2-4a<0，即0

案例7 雙曲線x225-y2144=1上一點P到右焦點的距離是5，則下面結(jié)論正確是().

A.P到左焦點的距離為8

B.P到左焦點的距離為15

C.P到左焦點的距離不確定

D.這樣的P點不存在

根據(jù)學(xué)生平時練習(xí)的反饋信息，有兩種錯誤解法(都錯誤的認為結(jié)論是B)：

錯解1：設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，由雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=±10，