用函數(shù)性質(zhì)解數(shù)列問(wèn)題的錯(cuò)誤一例

張長(zhǎng)雁

數(shù)列是按一定次序排列的一列數(shù).在函數(shù)意義之下，數(shù)列是定義域?yàn)檎麛?shù)集合N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函數(shù)f(n)當(dāng)自變量n從1開(kāi)始依次取自然數(shù)時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值f(1),f(2),f(3),…，f(11),…，通常用a-n代替f(n)，簡(jiǎn)記｛a-n｝，其中a-n是數(shù)

列{an}的第n項(xiàng).這樣，我們可以通過(guò)函數(shù)的性質(zhì)類推數(shù)列的某些特性，但是，反過(guò)來(lái)，由已知數(shù)列的某些特性去確定參數(shù)的取值范圍時(shí)，我們習(xí)慣地運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)去解決，從而導(dǎo)致了一些不易察覺(jué)的錯(cuò)誤.下面就本人在教學(xué)過(guò)程中，師生討論的一例情況展示如下：

問(wèn)題：已知數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，且對(duì)于一切的正整數(shù)n，都有an=n2+λn恒成立，求λ的取值范圍.

教師：如何理解數(shù)列{an}為遞增數(shù)列?

學(xué)生：對(duì)于一切的正整數(shù)n，都有an.

教師：那么，本題怎么解?先獨(dú)立思考幾分鐘，再推算，如果實(shí)在想不出解決的辦法，再相互討論.

(經(jīng)過(guò)2分鐘后，有人舉手發(fā)言)

學(xué)生甲：由an得到λ+2n+1>0后，不知如何做了?

學(xué)生乙：由an得到λ>-(2n+1)后，不知如何做了?

教師：你如何想到做移項(xiàng)的轉(zhuǎn)化呢?

學(xué)生：因?yàn)橐蠼猞说姆秶?

教師：解出不等式λ>-(2n+1)是一步關(guān)鍵的轉(zhuǎn)化，但由題意知是否成立?

學(xué)生乙：對(duì)于一切的正整數(shù)n，不等式λ>-(2n+1)應(yīng)恒成立.

教師：那么必須λ大于多少?

學(xué)生乙：啊!只需λ大于-(2n+1)的最大值就可以，是λ>-3.

教師：還有不同的意見(jiàn)嗎?

學(xué)生丙：我的解法與剛才的同學(xué)的不同!

教師：請(qǐng)你板演一下.

學(xué)生丙的解答如下：

解：因?yàn)閍n=n2+λn=(n+λ2)2-λ24，由二次函數(shù)的圖像知道，當(dāng)圖像開(kāi)口向上時(shí)，an在n∈(-λ2,+∞)時(shí)遞增，所以要使數(shù)列{an}在n∈N*時(shí)為遞增數(shù)列，必須對(duì)稱軸n=-λ2≤1，即λ≥-2.

教師：同學(xué)們判斷一下，到底哪一種的解答正確呢?

(學(xué)生議論紛紛，無(wú)法確定，教師啟發(fā))

教師：能否用排除法?不妨取λ=-2.5試一試數(shù)列{an}是否遞增?

學(xué)生板演：an=n2-2.5n=(n-1.25)2