巧用圓錐曲線定義解題

吳英子

在解題過(guò)程中學(xué)生往往對(duì)數(shù)學(xué)定義未加重視，以至于在解題時(shí)不能及時(shí)地發(fā)現(xiàn)一些促進(jìn)問(wèn)題迅速獲解的隱含條件，造成運(yùn)算繁雜的情況，因此合理應(yīng)用定義是尋求解題捷徑的一種重要方法.圓錐曲線的定義反映了圓錐曲線的本質(zhì)特征，實(shí)際問(wèn)題中，許多與圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離相關(guān)的問(wèn)題若考慮定義則常有事半功倍之效.下面舉幾例加以說(shuō)明.

一、利用定義求軌跡

例1 已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是A(-4，0)，B(4，0)，周長(zhǎng)為18，求頂點(diǎn)C的軌跡方程.

解：由題意|CA|+|CB|=18-8=10.由橢圓定義知點(diǎn)C的軌跡是以A(-4，0)，B(4，0)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10的橢圓除去兩點(diǎn)(±5,0),其軌跡方程為x225+y29=1(y≠0).

例2 F1、F2是雙曲線的兩焦點(diǎn)，Q是雙曲線上任意一點(diǎn)，從某一焦點(diǎn)引∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為P，則P點(diǎn)軌跡為().

A.直線 B.圓 C.橢圓 D.雙曲線

解：如圖1，從F2作∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為P，并延長(zhǎng)F2P交QF1于M，則由已知|QF2|=|QM|，連結(jié)OP，∵P，O分別為F2M、F1F2的中點(diǎn)，∴|OP|=12·|F1M|,