如何理解和應用絕對值

任風良　唐紅霞

絕對值是初中數(shù)學知識的重點和難點，在學習時應注意以下幾個方面，望同學們能透切理解，靈活運用.

一、注意理解絕對值的幾何意義

數(shù)a的絕對值記作|a|，它是指數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離.學習概念時應注意：

（1）絕對值表示的是距離，因此它一定不是負值，即|a|≥0；

（2）滿足|a|=3的a值有兩個，即a=±3，即絕對值為一個正數(shù)的數(shù)有兩個，這兩個數(shù)是一對相反數(shù).

二、絕對值的符號如何去

解決含絕對值符號的問題，一般要先去掉絕對值符號，化為不含絕對值符號的形式，然后再求解.去掉絕對值符號的方法主要有以下三個.

1.依據(jù)條件去掉絕對值符號.

根據(jù)直接或間接給定的條件去掉絕對值符號，這是去掉絕對值符號的常見方法.

例1實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示.化簡：|a|-|a-b|-|c|.

簡析：本題主要考查絕對值的概念.通過觀察數(shù)軸，先判斷每個絕對值內(nèi)式子的正負性，然后根據(jù)“正數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值是零”，去掉絕對值符號.需要指出的是，a-b正負性的判斷極易出錯，其最好的判斷方法是根據(jù)“數(shù)軸上右邊的數(shù)大于左邊的數(shù)”進行.

解：由圖知a<0，a-b<0，c>0.

故|a|=-a，|a-b|=b-a，|c|=c.

∴|a|-|a-b|-|c|=-a-[-（a-b）]-c=-a+a-b-c=-b-c.

2.分類討論法.

有的題目并未提供直接或間接的條件，此時我們應通過分類討論的方法去掉絕對值符號.

例2|a|=3，|b|=2，求a+b的值.

簡析：本題應先去掉絕對值符號，再分別求出a、b的值，然后求出a+b的值.而條件中沒給出a、b的符號，這說明a、b的符號不確定，只能分類討論了.

解：（1）a>0，b>0時，a=3，b=2，a+b=5；

（2）a>0，b<0時，a=3，b=-2，a+b=1；

（3）a<0，b<0時，a=-3，b=-2，a+b=-5；

（4）a<0，b>0時，a=-3，b=2，a+b=-1.

∴a+b=±5或±1.

注意：分類討論時要遵循既不重復又不遺漏的原則.

3.加平方法.

有些題目沒有可將絕對值符號去掉的已知條件，分類討論又比較麻煩，此時可考慮加平方的方法，可起到意想不到的效果.

例3已知|x|-1=|x+1|，化簡|3-x|.

簡析：此題應先將條件|x|-1=|x+1|化簡，從而判斷x的取值范圍，再化簡|3-x|.而如果采用分類討論法化簡|x|-1=|x+1|，比較麻煩，如果采用兩邊都加平方的方法，可將等式化簡.

解：∵|x|-1=|x+1|，

∴（|x|-1）2=（|x+1|）².

∴x²-2|x|+1=（x+1）².

∴x²-2|x|+1=x²+2x+1.

∴|x|=-x.

∵|x|=-x≥0，

∴x≤0.

∴3-x>0.

∴|3-x|=3-x.

注意：當?shù)仁絻蛇叾加薪^對值符號時，可考慮采用此法.

三、如何用|a|≥0

1.根據(jù)|a|≥0，求a的取值范圍.

例4已知|2a-3|=3-2a，求a的取值范圍.

簡析：解此題時不要去刻意地討論或猜測a的取值，而應該重點注意|2a-3|，見絕對值則必想到非負性，這應成為我們的思維定勢.

解：∵|2a-3|≥0，

∴|2a-3|=3-2a≥0.

∴a≤.

注意：|2a-3|≥0，而不是|2a-3|>0.

2．形如|m|+|n|=0，則m=0，且n=0.

例5已知|a+3|=-|b-4|，求a+2b的值.

簡析：在|m|+|n|=0中，因|m|≥0，|n|≥0，而|m|、|n|任意一個大于零時，|m|+|n|=0都不成立，故必須m=0且n=0.

此題猛一看不是上述形式，但在細心觀察|a+3|=-|b-4|后會發(fā)現(xiàn)：將右邊移項到左邊后即可構成上述形式.

解：∵|a+3|=-|b-4|，

∴|a+3|+|b-4|=0.

∵|a+3|≥0，且|b-4|≥0，

∴|a+3|=0，|b-4|=0.

∴a=-3，b=4.

∴a+2b=5.

注意：多個絕對值相加等于0，則每一個絕對值部分都等于0.

初中階段有三個非常重要的非負值，同學們要牢牢記住，即平方、絕對值及以后要學的算術平方根，它們貫穿了整個初中階段，是初中階段的基礎內(nèi)容.