方程與不等式的交融

孟　坤

在近幾年的中考試題中，常見到需要把方程與不等式嫁接在一起來解決的實(shí)際問題． 這些應(yīng)用題所給出的條件，除了含有等量關(guān)系外，還含有不等量關(guān)系，因此這樣的題目就需要列出“混合式”來解答． 舉例說明如下．

例1 將一箱蘋果分給若干個小朋友．若每位小朋友分5個蘋果，則還剩12個蘋果；若每位小朋友分8個蘋果，則有1個小朋友分不到8個蘋果．求這箱蘋果的個數(shù)與小朋友的人數(shù)．

解析：設(shè)有x個小朋友，y個蘋果．

根據(jù)“每位小朋友分5個蘋果，則還剩12個蘋果”，易知y＝5x＋12；由“每位小朋友分8個蘋果，則有1個小朋友分不到8個蘋果”可知，8（x－1）≤y＜8x．

故由題意， 得 y＝5x＋12，①

8（x－1）≤y＜8x． ②

把①代入②，并轉(zhuǎn)化成不等式組，得8（x－1）≤5x＋12，

5x＋12＜8x．

解這個不等式組，得4＜x≤．因?yàn)閤為正整數(shù)，所以x＝5，6．

當(dāng)x＝5時，5x＋12＝37；當(dāng)x＝6時，5x＋12＝42．

∴當(dāng)小朋友有5人時，這箱蘋果有37個；當(dāng)小朋友有6人時，這箱蘋果有42個．

例2 為了加強(qiáng)學(xué)生的交通安全意識，某中學(xué)和交警大隊(duì)聯(lián)合舉行了“我當(dāng)一日小交警”活動，星期天選派部分學(xué)生到交通路口值勤，協(xié)助交通警察維護(hù)交通秩序．若每個路口安排4人，那么還剩下78人；若每個路口安排8人，那么最后一個路口不足8人，但不少于4人．則這個中學(xué)共選派值勤學(xué)生多少人？共有多少個交通路口安排值勤？

解析：設(shè)這個學(xué)校選派值勤學(xué)生x人，共到y(tǒng)個交通路口值勤．

根據(jù)條件“每個路口安排4人，那么還剩下78人”可知x－4y＝78；再由“若每個路口安排8人，那么最后一個路口不足8人，但不少于4人”易知4≤x－8（y－1）＜8．

故由題意，得x－4y＝78， ①

4≤x－8（y－1）＜8．②

將①代入②， 得4≤78＋4y－8（y－1）＜8，解得19．5＜y≤20．5．

根據(jù)實(shí)際意義，y應(yīng)為整數(shù)，所以y＝20，此時x＝158．

∴學(xué)校派出的是158名學(xué)生，分到了20個交通路口安排值勤．

例3 一商場計(jì)劃到計(jì)算器生產(chǎn)廠家購進(jìn)A、B兩種型號的計(jì)算器．經(jīng)過商談，A型計(jì)算器單價(jià)為50元，100只起售，超過100只的部分，每只優(yōu)惠20％；B型計(jì)算器單價(jià)為22元，150只起售，超過l50只的部分，每只優(yōu)惠2元．如果商場計(jì)劃購進(jìn)計(jì)算器的總數(shù)量既不少于700只，又不多于800只，且分別用于購買A、B這兩種型號的計(jì)算器的金額相等，那么該商場至少需要準(zhǔn)備多少資金？

解析：設(shè)購買A型計(jì)算器x只，購買B型計(jì)算器y只． 由于商場計(jì)劃購進(jìn)計(jì)算器的總數(shù)量既不少于700只，又不多于800只，所以700≤x＋y≤800． 根據(jù)“A型計(jì)算器單價(jià)為50元，100只起售，超過100只的部分，每只優(yōu)惠20％”知，購買x只A型計(jì)算器需要資金［100×50＋（x－100）×50×（1－20％）］元；再由“B型計(jì)算器單價(jià)為22元，150只起售，超過l50只的部分，每只優(yōu)惠2元”可知，購買y只B型計(jì)算器需要資金［150×22＋（y－150）×（22－2）］元．由于購買A、B這兩種型號的計(jì)算器的金額相等，所以100×50＋（x－100）×50×（1－20％）＝150×22＋（y－150）×（22－2）．

故由題意，得

700≤x＋y≤800，

100×50＋（x－100）×50×（1－20％）＝150×22＋（y－150）×（22－2）．

整理，得700≤x＋y≤800，①

y＝2x＋35． ②

把②代入①，得700≤x＋（2x＋35）≤800，解得≤x≤255．

設(shè)該商場所需資金為P元，則P＝2［100×50＋（x－100）×50×（1－20％）］＝80x＋2 000．

因?yàn)閤為整數(shù)，且P隨x的增大而增大，所以當(dāng)x＝222時，P取最小值，為19 760．

∴該商場至少需要準(zhǔn)備資金19 760元．

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文