分解因式中考風向標

葛余常

近年來，全國各地的中考試題可謂百家爭鳴、百花齊放.創(chuàng)新題型蓬勃興起，一道道亮麗的風景令人耳目一新，給中考注入了新的活力.有關分解因式的創(chuàng)新題目也是令人目不暇接.它的背景更豐富、更貼近學生的生活實際.認真分析和研究這些試題，有助于更好地把握中考命題的方向．

一、屢見不鮮的開放題

例1把4x2＋1加上一個單項式，使其成為一個完全平方式．請你寫出所有符合條件的單項式．

解析：根據(jù)完全平方公式a2±2ab＋b2＝ （a±b）2的特點，若4x2＋1表示了a2＋b2的話，則有a＝2x，b＝1，所以，缺少的一項為±2ab＝±2·（2x）·1＝±4x．此時，4x2＋1±4x＝（2x±1）2．如果認為4x2＋1表示了2ab＋b2的話，則有a＝2x2，b＝1，所以，缺少的一項為a2＝（2x2）2＝ 4x4，此時，4x4＋4x2＋1＝（2x2＋1）2．

從另外一個角度考慮，“一個完全平方式”既可以是上面所提到的多項式，也可以是單項式． 注意到4x2＝（2x）2，1＝12，所以，保留二項式4x2＋1中的任何一項，都是“一個完全平方式”，故所加單項式還可以是－1或者－4x2，此時有4x2＋1－1＝4x2＝（2x）2或者4x2＋1－4x2＝12．

綜上分析可知，所加上的單項式可以是±4x，4x4，－1或－4x2.

二、設計新穎的基礎題

例2在日常生活中，如取款、上網(wǎng)等都需要密碼．有一種用“分解因式法”產(chǎn)生的密碼，方便記憶．原理是：如對于多項式x4－y4，分解因式的結果是（x－y）（x＋y）（x2＋y2），若取x＝9，y＝9，則各個因式的值是x－y＝0，x＋y＝18，x2＋y2＝162，于是就可以把“018162”作為一個六位數(shù)的密碼．對于多項式4x3－xy2，取x＝10，y＝10，用上述方法產(chǎn)生的密碼是 （寫出一個即可）．

解析：這是一道考查同學們閱讀理解能力的試題．題設規(guī)定了一種產(chǎn)生密碼的方法，讀懂題意是正確解題的關鍵.先將多項式4x3－xy2分解因式，得x（4x2－y2）＝x（2x＋y）（2x－y），再將x＝10，y＝10代入該式中的各個因式，得x＝10，2x＋y＝30，2x－y＝10，于是密碼可為103010或101030或301010.

這種題目設計比較新穎，也能引起學生的好奇心，讓學生感受到生活處處皆學問．

三、正在加強的操作題

例3如圖1，在邊長為a的正方形中剪去一個邊長為b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一個梯形．利用這兩個圖形陰影部分面積的關系，可以驗證公式．

解析：如何展示一個代數(shù)恒等式的幾何意義，如何從一個圖形中挖掘提煉一個抽象的代數(shù)恒等式，成為近年中考命題的一大亮點．事實上，利用面積的割補原理，圖1（1）表示的是a2－b2，圖1（2）表示的是（a＋b）（a－b），兩者面積相等，所以可列出a2－b2＝（a＋b）（a－b）．

例4如圖2，現(xiàn)有矩形紙片各若干塊，試選用這些紙片（每種紙片至少用一次）拼成一個矩形（每兩個紙片之間既不重疊，也無空隙），使拼出的矩形面積為2a2＋5ab＋2b2，并指出此矩形的長和寬.

解析：本題是一道符合新課標要求的好題.它既考查了數(shù)形結合的數(shù)學思想，又考查了學生動手操作的能力.先將多項式2a2＋5ab＋2b2分解因式，其結果為 2a2＋5ab＋2b2＝（2a＋b）（a＋2b），因此在操作中，應分別選用a×a、a×b、b×b的紙片2塊、5塊、2塊，從而能拼出長和寬分別為a＋2b，2a＋b的矩形.本題答案不唯一，如圖3所示．

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文