建不等式模型解中考題

殷菊橋

現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系是普遍存在的，所以建立不等式模型解應(yīng)用題是中考的重要考點(diǎn)之一．解這類問題，要認(rèn)真分析題意，抓住關(guān)鍵詞，列出不等式（組）．

一、構(gòu)建不等式模型

例1 某初中舉行“八榮八恥”知識搶答賽，總共50道搶答題．搶答規(guī)定：搶答對1題得3分，搶答錯1題扣1分，不搶答得0分．小軍參加了搶答比賽，只搶答了其中的20道題．要使最后得分不少于50分，則小軍至少要答對幾道題？

思考：“50道搶答題”中的“50”對解題有沒有用？搶答的20道題中，答對了幾道題，答錯了幾道題？用x表示答對的題數(shù)，則小軍的得分怎么表示？

解：設(shè)小軍答對x道題，依題意得：3x－（20－x）≥50．解得：x≥17．

∵x為正整數(shù)，∴x的最小值為18．

∴小軍至少要答對18道題．

點(diǎn)評：本題以“八榮八恥” 知識搶答為背景，考查構(gòu)建不等式解決實(shí)際問題的能力．抓住關(guān)鍵詞“不少于”，即“大于或等于”，可列不等式．考慮到“至少”，x應(yīng)取滿足條件的最小正整數(shù)．

例2 小杰到學(xué)校食堂買飯，看到A、B兩窗口前面排隊(duì)的人一樣多（設(shè)為a人，a＞8），就站在A窗口隊(duì)伍的后面排隊(duì)．過了2 min，他發(fā)現(xiàn)A窗口每分鐘有4人買了飯離開隊(duì)伍，B窗口每分鐘有6人買了飯離開隊(duì)伍，且B窗口隊(duì)伍后面每分鐘增加5人.

（1） 此時，若小杰繼續(xù)在A窗口隊(duì)伍排隊(duì)，則他到達(dá)A窗口所花的時間是多少（用含a的代數(shù)式表示）？

（2） 此時，若小杰迅速從A窗口隊(duì)伍轉(zhuǎn)移到B窗口隊(duì)伍后面重新排隊(duì)，且到達(dá)B窗口所花的時間比繼續(xù)在A窗口隊(duì)伍排隊(duì)到達(dá)A窗口所花的時間少，求a的取值范圍（不考慮其他因素）．

思考：（1）在A窗口隊(duì)伍時，過了2 min，小杰前面還剩多少人？A窗口每分鐘有幾人買了飯離開隊(duì)伍？他到達(dá)A窗口所花的時間怎樣用含a的代數(shù)式表示？（2）當(dāng)小杰在A窗口隊(duì)伍排隊(duì)2 min時，B窗口隊(duì)伍有多少人？B窗口每分鐘有幾人買了飯離開隊(duì)伍？他到達(dá)B窗口所花的時間又該怎么表示？“到達(dá)B窗口所花的時間比繼續(xù)在A窗口隊(duì)伍排隊(duì)到達(dá)A窗口所花的時間少”用式子應(yīng)該怎么表達(dá)？

解：（1）他繼續(xù)在A窗口隊(duì)伍排隊(duì)所花的時間為＝（min）．

（2）由題意，得＞，解得a＞20．

所以a的取值范圍為a＞20．

點(diǎn)評：本題情景就發(fā)生在學(xué)生生活之中，涉及他們生活中的實(shí)際．讀懂題意，根據(jù)轉(zhuǎn)移到B窗口隊(duì)伍后面重新排隊(duì)，所花的時間比在A窗口隊(duì)伍排隊(duì)所花的時間少，可建立不等式 ．

二、構(gòu)建不等式組模型

例3 為節(jié)約用電，某學(xué)校在本學(xué)期初制定了詳細(xì)的用電計(jì)劃．如果實(shí)際每天比計(jì)劃多用2度電，那么本學(xué)期的用電量將會超過2 990度；如果實(shí)際每天比計(jì)劃節(jié)約2度電，那么本學(xué)期的用電量將不超過2 600度．若本學(xué)期的用電時間按130天計(jì)算，那么學(xué)校原計(jì)劃每天的用電量的范圍是多少？

思考：設(shè)學(xué)校原計(jì)劃每天用電為x度．如果實(shí)際每天比計(jì)劃多用2度電，那么用電量怎么表示？它與2 990度有何關(guān)系？如果實(shí)際每天比計(jì)劃節(jié)約2度電，那么用電量又怎么表示？它與2 600度有何關(guān)系？

解：設(shè)學(xué)校原計(jì)劃每天用電為x度．

依題意得130（x＋2）＞2990，

130（x－2）≤2600． 解得21＜x≤22．

即學(xué)校原計(jì)劃每天的用電量在21度（不包括21度）和22度之間．

點(diǎn)評：本題以節(jié)約用電為背景，對學(xué)生建立不等式組模型的能力進(jìn)行考查．抓住關(guān)鍵詞“超過”、“不超過”可構(gòu)建不等式組．

例4 深受海內(nèi)外關(guān)注的滬杭磁懸浮交通項(xiàng)目已獲得國務(wù)院批準(zhǔn).滬杭磁懸浮線建成后，分為中心城區(qū)段與郊區(qū)段兩部分，其中中心城區(qū)段的長度為60 km，占全程的40％.滬杭磁懸浮列車的票價標(biāo)準(zhǔn)預(yù)定為每千米0．65～0．75元，請你估計(jì)滬杭磁懸浮列車全程票價的范圍．

解：總長度為60÷40％＝150 （km）．

設(shè)全程票價為x元，那么，

150×0．65≤x≤150×0．75．

解得97．5≤x≤112．5．

即全程票價的范圍是97．5元～112．5元．

點(diǎn)評：本題以滬杭磁懸浮列車的票價為背景，考查數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識．首先要求出全程長度，再根據(jù)票價標(biāo)準(zhǔn)的預(yù)定范圍列不等式組，于是可以估計(jì)全程票價的范圍．

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文