高中代數(shù)核心思想“模式”的教學(xué)研究

王竹婷　曹一鳴

代數(shù)與幾何相比沒有可見的形象，顯得枯燥乏味，從學(xué)生心理接受能力角度來說，在代數(shù)教學(xué)中引入適當(dāng)?shù)闹庇^、注重利用貼近生活的形象思維是代數(shù)教學(xué)中的一項(xiàng)重要任務(wù)[1].需要在教學(xué)中使用模式，使得學(xué)生能夠易于把握和理解更加抽象、深刻的思維對(duì)象[2].

在模式思想對(duì)代數(shù)教學(xué)的理論探討基礎(chǔ)上，為了獲得第一手的資料，本文以北京某重點(diǎn)中學(xué)高一年級(jí)兩個(gè)班的學(xué)生為研究對(duì)象，從實(shí)際、直觀問題出發(fā)，描述學(xué)生的解題過程，與學(xué)生對(duì)話，追問他們的思維過程，通過問卷調(diào)查，探討代數(shù)中模式這一思想的發(fā)生和發(fā)展過程，為高中的代數(shù)教學(xué)如何對(duì)“模式”這一核心思想進(jìn)行教學(xué)提供參考、建議.

1 問卷設(shè)計(jì)

問卷共2道題，要求學(xué)生盡量詳細(xì)地寫出解題過程、思路、遇到的困難(包括解決的和未解決的)，利用課余時(shí)間完成，不嚴(yán)格限時(shí)，并記下所用的時(shí)間，自愿寫出解題感想.這2道題在提問上，相對(duì)比較開放，不嚴(yán)格規(guī)定學(xué)生必須使用數(shù)學(xué)語言或表達(dá)形式，答案呈現(xiàn)方式也不作統(tǒng)一規(guī)定，給學(xué)生更大的思維空間，檢測(cè)學(xué)生能否自覺地使用數(shù)學(xué)表達(dá)方式.

第一題改編自全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)官方網(wǎng)站（www.nctm.org）上的教學(xué)案例，是遞歸函數(shù)，寫出函數(shù)表達(dá)式需要一定的技巧，可以用列表或圖象的形式解決，對(duì)于能力較強(qiáng)的同學(xué)，也可以寫出函數(shù)表達(dá)式.這種遞歸模式在我國目前高中代數(shù)教學(xué)有所涉及，在實(shí)際問題中卻比比皆是.

假如你去某店打工，老板提出了如下要求：

第一天早晨，我付你100元薪水.當(dāng)天晚上，你必須付我10元回報(bào).第二天，我會(huì)付你前一天所掙錢的2倍，但你付我的回報(bào)必須是前一天回報(bào)的2倍.依此類推，你愿意為我工作1個(gè)月（30天）嗎？

1．你將如何回答？為什么？

2．若老板剛開始付你1000元薪水，其余條件不變，你又將如何？為什么？

此題可由列表法、圖象法、解析式法等多種途徑解決.解析式采用了較多的數(shù)學(xué)符號(hào)和一些求解遞歸函數(shù)的技巧，其對(duì)第2問的有效解釋顯示了這種方法的優(yōu)越性.另外，此題1、2問的設(shè)置，意在考察學(xué)生是否能清晰地認(rèn)識(shí)到初始值的變化對(duì)結(jié)果的影響.

第二題所給出的數(shù)表包括了數(shù)字模式和視覺模式.從數(shù)字模式看，它是由從1開始的自然數(shù)列組成的.從視覺模式看，它是呈“之”字形的重復(fù)模式，每兩行可看作一個(gè)循環(huán)節(jié).這兩種模式分開看都不難，但二者結(jié)合在一起，對(duì)學(xué)生來說具有挑戰(zhàn)性.

以下給出的是一個(gè)數(shù)表的前20項(xiàng)，根據(jù)下圖，回答問題.

1234

876 5

9 1011 12

1615 1413

171819 20

……

1．如何將這一數(shù)表繼續(xù)寫下去？

2．你能預(yù)知50、86、187、546都在什么位置上嗎？

3．給定任何一個(gè)整數(shù)，如何預(yù)知它在其中的位置？解釋你的策略.

此題設(shè)計(jì)了3個(gè)小問，是為了能使學(xué)生逐步深入思考，3問也體現(xiàn)了不同的抽象層次.提問方式較為開放，希望學(xué)生能盡可能開拓思路，采取多種方法.問卷不要求學(xué)生回答到某種程度，盡力而為就可.本文關(guān)注的是學(xué)生解答的過程，而不是最后的結(jié)果，也并不對(duì)學(xué)生做層次的劃分和成績的評(píng)定.

2 研究結(jié)果及分析

2.1 試圖尋找關(guān)系式

問卷中體現(xiàn)了學(xué)生們都試圖尋找一種簡潔關(guān)系，或者說是特定的公式，可以將問題轉(zhuǎn)化為一種定式.由于第一題在計(jì)算上十分繁瑣，這種愿望就更加強(qiáng)烈，即使是那些沒有找到這種關(guān)系而只用了單純的列表計(jì)算的學(xué)生也并不表示他們沒有這樣的想法.相對(duì)第一題，第二題在計(jì)算量上要少很多，學(xué)生們反映比第一題簡單.他們也沒有如此強(qiáng)烈的愿望要將結(jié)果表示成一個(gè)或一組公式，對(duì)使用文字描述也比較滿意.這說明了，學(xué)生意識(shí)到尋找問題情境中的模式，使用代數(shù)運(yùn)算，可以幫助他們更好、更快捷地解決問題.

問卷中兩個(gè)題目中的模式雖是學(xué)生們比較常見的，而又比較隱蔽，提問形式上對(duì)于中國學(xué)生也比較陌生.然而學(xué)生們還是比較喜歡這類問題的，根據(jù)觀察，很多學(xué)生在交卷后會(huì)繼續(xù)與其他學(xué)生討論，有學(xué)生在最后留下解題感想時(shí)寫到，“這兩道題挺好玩的，至少比平時(shí)作業(yè)題有趣多了”.題目中的模式與學(xué)生們平日所學(xué)有密切的聯(lián)系，所以是他們有能力解決的.在情境中經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)模式、表征模式、應(yīng)用模式的一系列過程也可以使得他們認(rèn)識(shí)到代數(shù)不是枯燥的符號(hào)游戲，提高學(xué)習(xí)代數(shù)的興趣.

2.2 適當(dāng)?shù)谋碚鞣绞娇梢詭椭l(fā)現(xiàn)模式

表征方式不僅可以將發(fā)現(xiàn)的模式表征出來，而且在表征過程中將未發(fā)現(xiàn)的模式挖掘出來.例如第一題，學(xué)生們并不是先認(rèn)識(shí)到其中的增長模式才將它用列表的方式表征出來，而是在嘗試計(jì)算幾天的情況，列表之后才能對(duì)這一增長模式有清晰的認(rèn)識(shí).列表能有助于發(fā)現(xiàn)增長模式，在計(jì)算每一個(gè)數(shù)值時(shí)，通過反復(fù)迭代，對(duì)發(fā)現(xiàn)迭代模式會(huì)起到直接的啟發(fā)作用.問卷調(diào)查中，有8份使用比例模式，都是在列表過程中發(fā)現(xiàn)的.另外，對(duì)于列表這種表征方式來說，操作上也是有差別的.有的問卷中將天數(shù)、當(dāng)天的薪水、當(dāng)天的回報(bào)、當(dāng)天的收入幾個(gè)量均詳細(xì)列出了，這樣計(jì)算方便，而且對(duì)幾個(gè)量之間關(guān)系的把握都是有幫助的.而有的問卷只列出了天數(shù)和當(dāng)天的收入，這樣工作量也并不比都列出來小，而且因?yàn)楫?dāng)天的收入與天數(shù)的關(guān)系不是中學(xué)里學(xué)習(xí)的增長模式類型（線性增長、指數(shù)增長等），不易發(fā)現(xiàn)規(guī)律，造成了解決問題的困難.

對(duì)于迭代模式，學(xué)生在進(jìn)行具體數(shù)值計(jì)算時(shí)也許會(huì)有所體驗(yàn)，但只有在將其表示成代數(shù)符號(hào)時(shí)，才能真正識(shí)別和使用這種模式.在符號(hào)表征中，對(duì)于符號(hào)意義的理解是特別重要的.遞推公式中的a_n和a_n-1實(shí)質(zhì)上是表示的任意（n>1,n∈N*）兩項(xiàng)之間的關(guān)系，并不是兩個(gè)特殊的項(xiàng)之間的關(guān)系，n可以看作自變量，a_n是它的函數(shù).理解到這層意義后，才有可能反復(fù)利用遞推公式，從而使用迭代模式.

2.3 多種方法體現(xiàn)思維的靈活性

多份問卷對(duì)第一題或第二題給出了不同的方法，這些方法體現(xiàn)出了答卷者思維的靈活性.21號(hào)問卷的學(xué)生認(rèn)為第二題可以有多種方法，他自己想到了以4個(gè)元素為循環(huán)節(jié)和從列的角度看的方法，以及他還提到可以將偶數(shù)行的元素都往右移動(dòng)一個(gè)格，從而組成的圖形比較整齊.另外，他還提到第二題的問題是要求給定正整數(shù)求其在數(shù)表中的位置，其實(shí)利用得到的策略，還可以給定數(shù)表中的位置求將會(huì)出現(xiàn)的正整數(shù).這種逆向思維同樣是思維靈活性的表現(xiàn)之一.

3 模式思想指導(dǎo)下的代數(shù)教學(xué)

歷史上，代數(shù)的發(fā)展經(jīng)歷了三個(gè)階段[3]：(1)語言表述階段，即用通常的語言來描述求解特定類型的問題；(2)縮記代數(shù)階段，用相應(yīng)詞語的縮寫字母表示未知數(shù)，當(dāng)時(shí)代數(shù)學(xué)家關(guān)心的是使用符號(hào)表示具體的某個(gè)量，而不是一般的量；(3)符號(hào)代數(shù)階段，開始用任意的字母表示已知量，將方程的一般解表示出來，代數(shù)作為工具來證明決定數(shù)值關(guān)系的規(guī)則.格勞斯認(rèn)為代數(shù)的歷史發(fā)展的這幾個(gè)階段可以看作是從方法性代數(shù)到結(jié)構(gòu)性代數(shù)的進(jìn)化，學(xué)生的代數(shù)學(xué)習(xí)同樣需要經(jīng)歷類似的三個(gè)階段，而且學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)的兩個(gè)主要問題，一是方法性的理解超過了結(jié)構(gòu)性的理解，二是代數(shù)的結(jié)構(gòu)性概念的理解存在很大困難.針對(duì)這樣兩個(gè)問題，在課堂教學(xué)中，首先要為代數(shù)的結(jié)構(gòu)性概念理解創(chuàng)立一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，也就是要在方法性概念上花費(fèi)更多的時(shí)間，學(xué)生需要有一定的經(jīng)驗(yàn)積累才能從方法性概念轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)性概念，這樣還可以使代數(shù)活動(dòng)變的更易理解且有意義.其次，通過一系列活動(dòng)促成學(xué)生從方法性概念到結(jié)構(gòu)性概念的轉(zhuǎn)換.

根據(jù)上述代數(shù)認(rèn)知規(guī)律，在理論研究和實(shí)證研究的基礎(chǔ)上，在模式思想指導(dǎo)下的代數(shù)教學(xué)過程可以呈現(xiàn)為下圖的形式：

(1)模式的感知與模式的表征由于模式是隱含在現(xiàn)實(shí)情境和數(shù)學(xué)情境中的，在代數(shù)課堂上這一情境是由教師創(chuàng)設(shè)的.學(xué)生在對(duì)教師創(chuàng)設(shè)的情境有所了解后，需要先對(duì)其中的模式進(jìn)行初步的感知，并伴隨著對(duì)感知模式的初步表征.表征方式可以先是口頭的、描述性的，進(jìn)而隨著感知的逐步深入可能是直觀的圖象和符號(hào)化的語言，教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生采用多種表征方式.學(xué)生對(duì)模式的感知和表征并不是截然分開的，而是相互作用、相互促進(jìn)的.因此，在教學(xué)過程中，也不能將二者截然分開.學(xué)生可以獨(dú)立活動(dòng)或在教師的引導(dǎo)下，一邊感知模式，一邊表征模式.這一過程必須充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，因?yàn)橹挥袑W(xué)生親身感受、自主參與，才能形成對(duì)模式的感知和有效的表征，這是教師無法包辦代替的.當(dāng)然，也要注意發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，教師應(yīng)適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生.這時(shí)，學(xué)生頭腦中，模式的畫面逐漸清晰起來，但還需要進(jìn)行模式的抽象，使之不受情境的束縛，更具一般性.

(2) 模式的抽象

由于學(xué)生個(gè)體存在差異，因此對(duì)模式的感知也存在差異，并且同一模式可以通過不同的方式表征，這就需要揭示模式的本質(zhì)屬性.模式的本質(zhì)是這個(gè)模式所固有的根本屬性，不拘泥于其外在的表現(xiàn)形式，也不受最初情境的限制.這對(duì)于高中學(xué)生的思維水平來說，具有一定的難度，需要教師的引導(dǎo)，但不是直接地告訴學(xué)生，仍然要注意學(xué)生的主體作用與教師的主導(dǎo)作用相結(jié)合.然而，這里所說的模式的抽象，并不是要對(duì)某一種模式下一個(gè)定義，提倡的是在模式思想指導(dǎo)下的代數(shù)教學(xué)，不是教授某種模式，所以只需要使學(xué)生認(rèn)識(shí)到代數(shù)內(nèi)容中蘊(yùn)涵的模式.這時(shí)，雖然經(jīng)過了抽象，學(xué)生可能還停留在方法性認(rèn)識(shí)上，這就需要對(duì)模式進(jìn)行進(jìn)一步的分析.

(3) 模式的分析

模式的分析是為了幫助學(xué)生更全面地認(rèn)識(shí)模式，更深刻地理解模式，使學(xué)生從方法性認(rèn)識(shí)上升到結(jié)構(gòu)性認(rèn)識(shí).這一過程，首先需要幫助學(xué)生對(duì)前面兩個(gè)過程進(jìn)行反思總結(jié)，從中領(lǐng)悟蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法，體會(huì)代數(shù)思維在其中的作用.其次，分析模式的適用條件和功能，為模式的應(yīng)用打好基礎(chǔ).模式雖然經(jīng)過抽象，具有一般性，但仍有其特定的適用范圍，不同的模式具有不同的功能.例如，指數(shù)增長模式適用于描述增長速度逐漸增加的情境，而線性模式只能適用于增長速度不變的情境.不同模式或相近模式間的對(duì)比分析，也會(huì)對(duì)深入理解模式有所幫助.另外，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到模式的各種表征方式間的相互聯(lián)系與各自的優(yōu)勢(shì)，也可以促進(jìn)學(xué)生更靈活地掌握模式.通過分析模式，學(xué)生對(duì)模式的認(rèn)識(shí)不再只停留在方法性上，而是將模式作為一個(gè)研究對(duì)象，從而上升到結(jié)構(gòu)性的認(rèn)識(shí).

(4) 模式的應(yīng)用

模式的應(yīng)用是建立在前面3個(gè)過程的基礎(chǔ)上的，并且有鞏固教學(xué)效果、提升學(xué)生能力的作用，在教學(xué)中也是不可或缺的一環(huán).學(xué)生在應(yīng)用模式時(shí)，首先要進(jìn)行模式的識(shí)別.能不能識(shí)別出情境中的模式，能不能使用最恰當(dāng)?shù)姆绞奖碚鞒瞿Ｊ?，這就要看前面3個(gè)過程的教學(xué)效果如何.同時(shí)，學(xué)生在識(shí)別模式中，需要用到類比、化歸、數(shù)形結(jié)合等多種數(shù)學(xué)思想方法，從而可以在這一過程中，培養(yǎng)代數(shù)思維能力.

最后，需要說明幾點(diǎn)：(1)這一教學(xué)過程并不是唯一的、固定不變的，只是本研究的建議，根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的認(rèn)知水平，不可按部就班，需要靈活處理；(2)教學(xué)過程可以結(jié)合多種教學(xué)方法，如中學(xué)常用教學(xué)方法——講授、問答、讀書指導(dǎo)等等；(3)這一過程提倡的是在模式思想指導(dǎo)下的代數(shù)教學(xué)，而不是教授某種模式，中國高中《標(biāo)準(zhǔn)》中，模式不是代數(shù)內(nèi)容中的一部分，但是模式溶入在其中許多代數(shù)內(nèi)容當(dāng)中，教師不必舍棄課本中的內(nèi)容，而只是需要在模式的思想下，將其稍加提煉；(4)提出的這一教學(xué)過程還比較籠統(tǒng)，每一部分還可以細(xì)分，但需要對(duì)學(xué)生的心理活動(dòng)做進(jìn)一步細(xì)致的研究.

參考文獻(xiàn)

[1] 張奠宙、張廣祥主編．中學(xué)代數(shù)研究[M]．北京：高等教育出版社，2006：2

[2] 張廣祥、張奠宙．代數(shù)教學(xué)中的模式直觀[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，Vol.15, No.1，1-4

[3] 陳昌平等譯．[美]D.A.格勞斯主編.數(shù)學(xué)教與學(xué)研究手冊(cè)[M]．上海：上海教育出版社，1999：4