例析與勾股定理有關(guān)的數(shù)學(xué)思想

作者簡介 周啟東，江蘇省揚(yáng)州市湯汪中學(xué)八年級數(shù)學(xué)備課組組長、數(shù)學(xué)教研組組長.教學(xué)成績一直處在全區(qū)的前列，近年來曾獲得揚(yáng)州市廣陵區(qū)“教學(xué)創(chuàng)新能手”稱號，廣陵區(qū)“育花獎”賽課一等獎，揚(yáng)州市“教學(xué)創(chuàng)新能手”稱號，揚(yáng)州市“中青年教學(xué)骨干”稱號.多年來一直參與江蘇省規(guī)劃重點課題的研究.發(fā)表文章200多篇.主編教輔書10多部，參編10多部.

數(shù)學(xué)思想是解數(shù)學(xué)題的“靈魂”.總結(jié)、概括數(shù)學(xué)思想，有利于透徹地理解所學(xué)知識，提高分析問題和解決問題的能力. 現(xiàn)把《勾股定理》這一章中的數(shù)學(xué)思想總結(jié)如下.

[一、分類討論的思想]

例1在△ABC中，AB=6，BC=10.要使這個三角形是直角三角形，則AC的長是多少？

分析：要使△ABC是直角三角形，它的三邊就要滿足勾股定理的逆定理.很多同學(xué)容易聯(lián)想到勾股數(shù)6、8、10，認(rèn)為要求的AC是直角邊，AC=8，從而造成漏解.本題應(yīng)該就AC邊是直角邊還是斜邊分兩種情況討論.

解：設(shè)AC=x.因為要使△ABC是直角三角形，所以AB、BC、AC這三條邊應(yīng)當(dāng)滿足AC2=AB2+BC2或BC2=AB2+AC2，即x2=62+102或102=62+x2.因為x為正數(shù)，所以可得x=2或x=8.故AC的長為2或8.

點撥：要使一個三角形是直角三角形，那么三邊的長一定滿足較短兩邊的平方和等于最長邊的平方.如果所求的邊沒有交待清楚是直角邊還是斜邊，它就有可能是最長邊，也有可能不是最長邊.這提醒我們，平時做題時應(yīng)當(dāng)養(yǎng)成認(rèn)真審題、一絲不茍的好習(xí)慣，注意分類討論.

[二、方程的思想]

例2如圖1，有一張直角三角形紙片ABC，兩直角邊AC=6 cm，BC=8 cm.將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則CD等于（）.

A.cm B.cm C.cm D.cm

分析：這是一個和折紙有關(guān)的問題.在思考過程中，可以先動手做一做，體驗一下圖形的變化規(guī)律，然后再尋找題中相關(guān)線段之間的數(shù)量關(guān)系.勾股定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式是一個含有平方關(guān)系的等式.求線段的長時，可由此“等式”列出方程，運(yùn)用方程思想分析問題和解決問題．

解：由折疊過程可以得到AD=BD.設(shè)CD=x cm，則AD=（8-x） cm.在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理，得到AD2=AC2+CD2，即（8-x）2=62+x2，解得x=.因此，應(yīng)選擇C.

點撥：在近年的中考中，這類折疊問題呈現(xiàn)的方式常常都很活潑、親切.在解決問題的過程中，同學(xué)們完全可以現(xiàn)場實際操作、體驗，充分感知探索的樂趣.不過，解題的關(guān)鍵還是要抓住題目中各線段之間的相互關(guān)系，利用勾股定理并結(jié)合方程的思想進(jìn)行正確的求解.折疊過程一般都會出現(xiàn)一些相等的線段和相等的角，適當(dāng)?shù)貥?biāo)注這些關(guān)系有利于解題.同學(xué)們在平時的學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)當(dāng)充分利用訓(xùn)練的機(jī)會，多探究.

[三、數(shù)形結(jié)合的思想]

例3如圖2，在由單位正方形組成的網(wǎng)格中，標(biāo)有AB、CD、EF、GH四條線段.其中能構(gòu)成一個直角三角形三邊的線段是（）.

A. CD、EF、GHB. AB、EF、GH

C. AB、CD、GHD. AB、CD、EF

分析：根據(jù)勾股定理，可以分別求出四條線段AB、CD、EF、GH 的長度，從而把形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的問題.再分別選取其中的3個長度，用勾股定理的逆定理來判斷它們能否構(gòu)成一個直角三角形，最終把數(shù)又轉(zhuǎn)化為形.

解：單位正方形的邊長為1.根據(jù)勾股定理，可以得到：AB2=22+22=8，CD2=22+42=20，EF2=12+22=5，GH2=22+32=13.

因為AB2+EF2=8+5=13=GH2，所以AB、EF、GH這三條線段能構(gòu)成直角三角形.因此，答案選B.

點撥：勾股定理及其逆定理把三角形中的“形”的特征（有直角）與三邊長“數(shù)”的關(guān)系互相轉(zhuǎn)化，是數(shù)形結(jié)合的一個典范．在近幾年各地的數(shù)學(xué)中考試題中，出現(xiàn)了大量的以網(wǎng)格圖為背景的問題.這些問題既有線段的簡單計算，也有比較復(fù)雜的圖形性質(zhì)的探究.在解決這類問題時，同學(xué)們首先應(yīng)當(dāng)認(rèn)真審題，計算出每條線段的長，如有可能，把它們按由小到大的順序排列起來，以便進(jìn)行判斷.

[四、整體的思想]

例4如圖3，在直線l同側(cè)依次擺放著七個正方形．已知斜放置的三個正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個正方形的面積依次是S1、S2、S3、S4，則S1+S2+S3+S4=．

分析：本題不可能分別求出S1、S2、S3、S4，但我們可以利用三角形全等和勾股定理的知識分別求出S1+S2、S2+S3、S3+S4，從而利用整體的思想來求出答案.

解：根據(jù)題設(shè)條件可以證明Rt△ABC≌Rt△CDE（AAS），故AB=CD.

因CD2+DE2=CE2，而AB2=S3，AB=CD，CE2=3，DE2=S4，故S3+S4=3.同理S1+S2=1，S2+S3=2.所以S1+S2+S3+S4=1+3=4.

點撥：化零為整，化分散為集中的整體策略是數(shù)學(xué)解題的重要方法.不少數(shù)學(xué)題中，每個未知量我們不一定都能求出來，但這些未知量的和或差等我們卻可以求出.

[五、類比的思想]

例5如圖4，分別以Rt△ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用S1、S2、S3表示，則不難證明S1=S2+S3 ．

（1） 如圖5，分別以Rt△ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之間有什么關(guān)系？（不必證明）

（2） 如圖6，分別以Rt△ABC三邊為邊向外作三個等邊三角形，其面積分別用S1、S2、S3表示，請你確定S1、S2、S3之間的關(guān)系并加以證明．

分析：（1）利用勾股定理容易得解，（2）中需要求出等邊三角形的面積，再利用勾股定理得出結(jié)論.

解：設(shè)Rt△ABC的三邊BC、CA、AB的長分別為a、b、c，則c2=a2+b2 ．

（1）S1=S2+S3 ．

（2）顯然，由等邊三角形面積公式有S1=c2，S2=a2， S3=b2，故S2+S3=（a2+b2）=c2=S1 ．

點撥：本題從特殊到一般，從已知到未知，運(yùn)用類比進(jìn)行探究，其關(guān)鍵就在于理解勾股定理．當(dāng)然，后面學(xué)習(xí)了相似三角形的知識后，還可以繼續(xù)探究：分別以Rt△ABC三邊為邊向外作三個一般的相似三角形，上述結(jié)論是否還成立呢？與直角三角形相“連接”的圖形的面積間一般都存在數(shù)量關(guān)系，上面的例4也說明了這點.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”。