以不變應(yīng)萬(wàn)變

侯國(guó)興

我們知道，任意多邊形的外角和等于360°.在求解涉及多邊形的角的問(wèn)題時(shí)，若能把多邊形的“內(nèi)角”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“外角”問(wèn)題來(lái)處理，則往往可以收到化繁為簡(jiǎn)、化難為易之效果.

一、求多邊形的邊數(shù)

例1已知n邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于162°，求該多邊形的邊數(shù).

解：因?yàn)閚邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于162°，所以該n邊形的每一個(gè)外角都等于180°-162°=18°.

因?yàn)槿我舛噙呅蔚耐饨呛投嫉扔?60°，所以該多邊形的邊數(shù)n==20.

二、求多邊形的周長(zhǎng)

例2小敏在課外活動(dòng)期間制作了一個(gè)簡(jiǎn)單的機(jī)器人.小敏遙控它每前行2 m就向右轉(zhuǎn)30°，該機(jī)器人需要走多少路程才能回到原地？

解：根據(jù)題意可知，該機(jī)器人所走過(guò)的路徑是一個(gè)外角為30°的正n邊形.

由多邊形的外角和性質(zhì)得30°·n=360°，解得n=12.

所以該機(jī)器人回到原地需要走的總路程為：2×12=24（m）.

三、求多邊形的內(nèi)角度數(shù)

例3各內(nèi)角都相等的十五邊形的每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)等于.

解：因?yàn)樵撌暹呅胃鲀?nèi)角都相等，所以它的各外角也相等.

又因?yàn)槎噙呅蔚耐饨呛偷扔?60°，所以，該十五邊形的每個(gè)外角為：=24°.

所以，該十五邊形的每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：180°-24°=156°.

四、求多邊形的內(nèi)角和

例4已知一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于36°，則這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為.

解：因?yàn)槎噙呅蔚耐饨呛偷扔?60°，所以，該多邊形的邊數(shù)為：=10.

所以該多邊形的內(nèi)角和為：（10-2）×180°=1 440°.

五、判斷多邊形中銳角的個(gè)數(shù)

例5在一個(gè)多邊形中，它的內(nèi)角最多可以有幾個(gè)是銳角？

解：因?yàn)槎噙呅蔚耐饨呛蜑?60°，所以多邊形的外角中最多有3個(gè)鈍角.

所以多邊形的內(nèi)角中最多有3個(gè)銳角.

六、判斷多邊形中小于某一指定角的個(gè)數(shù)

例6在凸多邊形中，小于108°的內(nèi)角最多有（ ）.

A.3個(gè)B.4個(gè) C.5個(gè)D.6個(gè)

解：因?yàn)槎噙呅蔚耐饨呛蜑?60°，所以多邊形中大于72°的外角不能多于4個(gè).

所以多邊形中小于108°的內(nèi)角最多有4個(gè).故選B.

七、求最值

例7在一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角中有且只有3個(gè)鈍角，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)的最大值是，最小值是.

解：因?yàn)橥苟噙呅蔚膬?nèi)角中有且只有3個(gè)鈍角，所以多邊形的外角中有且只有3個(gè)銳角.

又由例5知多邊形的外角中最多有3個(gè)鈍角，所以該多邊形最多有6個(gè)外角.

由于凸多形邊的內(nèi)角中“有且只有3個(gè)鈍角”，所以這個(gè)多邊形不能是三角形，只有四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角中才能有3個(gè)鈍角.

因此，滿足條件的最大值是6，最小值是4.

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