老師，為什么１＋２＋２^２＋２^３＋…＋２^ｎ－１＝２^ｎ－１

2007年9月，我接手北師大版《數(shù)學(xué)》七年級上冊的教學(xué). 在很短的一段時間里，在課堂上，我竟兩次遭遇了“老師，為什么1+2+2²+2³+…+2^n-1=2ⁿ-1？”這個問題.

第一次偶然相逢

《有理數(shù)及其運算》的第10節(jié)是《有理數(shù)的乘方》，教材里面編排了一例“讀一讀”——《棋盤上的學(xué)問》. 編排的意圖是讓學(xué)生體會數(shù)的大小，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感. 文中這樣寫道：“……放滿一個棋盤上的64個格子需要1+2+2²+2³+…+2⁶³=2⁶⁴-1粒米. 2⁶⁴-1到底有多大呢？在“Z+Z（初中代數(shù)）”中，按如下操作……可見答案是一個20位數(shù)……”

得知這個數(shù)是一個20位數(shù)時很多同學(xué)都“哇”了起來. 這個時候，突然，有個學(xué)生站起來向我提了個問題：“老師，為什么1+2+2²+2³+…+2⁶³=2⁶⁴-1呢？”

顯然，這個時候我不能回答：“這是計算機(jī)得出的結(jié)果. ”他的問題讓我始料不能及：從2002年起，我已三度執(zhí)教這本教材. 以前我也講過這一部分內(nèi)容，但從來沒有一個同學(xué)向我提出這個問題. 更何況，這里并不要求學(xué)生知道為什么1+2+2²+2³+…+2⁶³=2⁶⁴-1！

他的問題很快也引起了其他同學(xué)的注意，他們大多也流露出想知道為什么1+2+2²+2³+…+2⁶³=2⁶⁴-1的眼神.

為什么1+2+2²+2³+…+2⁶³=2⁶⁴-1呢？應(yīng)該說，這個問題對我這個有過高等教育經(jīng)歷的數(shù)學(xué)教師來講不是難題，無非就是一個簡單的等比數(shù)列求和而矣！但考慮到七年級的學(xué)生此時剛剛接觸乘方知識，還不能很好地進(jìn)行乘方運算. 我擔(dān)心此時給他們講會增加他們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理負(fù)擔(dān). 我對他們說：“這應(yīng)該是個不難的問題，過上一段時間，等大家的知識儲備夠了，廖老師再給大家講，好嗎？”

聽我這么說，同學(xué)們也就放心地投入后面的學(xué)習(xí)中去了.

時間一天一天地過去，在繁瑣的教學(xué)工作中，我逐漸忘卻了這件事兒. 想必學(xué)生也一直以為他們“知識還沒有儲備夠”，所以一直也沒有學(xué)生再向我提起那個問題. 沒想到，大約二十天之后，我又與這個問題——

第二次不期而遇

那天，我上第三章《用字母表示數(shù)》第六節(jié)《探索規(guī)律》. 按照教學(xué)設(shè)計，我正在處理教材上的隨堂練習(xí)：

將一張長方形的紙對折，如右圖所示可以得到一條折痕. 繼續(xù)對折，對折時每次折痕與上次折痕保持平行. 連續(xù)對折6次后，可以得到幾條折痕？如果對折10次呢？對折n次呢？

為了探究對折n次可能得到幾條折痕，我引導(dǎo)學(xué)生將這個問題與折紙后紙的的張數(shù)那個問題（教材上出現(xiàn)過的一個較為重要的數(shù)學(xué)模型）進(jìn)行了比較，得到了這樣的一個表：

次數(shù)折后紙的張數(shù)折痕的條數(shù)1221-1=122²2²-1=332³2³-1=7………………n2琻2ⁿ-1

學(xué)生們通過觀察，很快發(fā)現(xiàn)了數(shù)字特征，找到了規(guī)律，并得出了對折n次后折痕的條數(shù)為2ⁿ-1條的結(jié)論.

我本以為這個隨堂練習(xí)就此結(jié)束，就在這個時候，一個學(xué)生舉了手，并站起來說：“我的答案不是這樣的！”

我一驚，心里想：“這么容易看出來，你怎么會有另外的答案？”我在心里甚至給這個學(xué)生的答案判了“死刑”——肯定是錯的. 但我仍然示意他把他的想法講出來.

他說：“我認(rèn)為對折n次后折痕的條數(shù)是1+2+2²+2³+…+2^n-1！因為折1次有1條折痕，這時紙變成了2張，所以折第2次時增加2條折痕，此時紙變成2²張，折第3次時折痕增加2²條……依次類推，折第n次時在上一次的基礎(chǔ)上增加2^n-1條折痕. 也就是說，折痕數(shù)隨折紙次數(shù)快速增加，且每折一次，原有折痕不變，新增折痕數(shù)為上一次折后紙張的層數(shù)2﹏－1. 所以折n次后的折痕數(shù)是1+21+2²+2³+…+2^n-1所以最后紙上有1+21+2²+2³+…+2^n-1條折痕！”

他的分析完全正確，而且極具思維智慧，這也是我沒料到的.

在他的啟發(fā)下，另一個學(xué)生起來闡述了他的想法：“每次折后觀察折痕數(shù)與紙張的形狀，發(fā)現(xiàn)紙張被折痕分成若干個長方形，且折痕數(shù)比長方形個數(shù)少1. 折痕將紙分成的長方形個數(shù)恰如是折疊后紙張的層數(shù)，折n次的紙張層數(shù)是2琻，所以折n次，折痕數(shù)是2琻－1. ”

他的分析也是正確的，也極具價值.

我馬上意識到，其實1+2+2²+2³+…+2^n-1和2^n-1和本來就是相等的.

我向那兩位位學(xué)生投去了贊許的目光，說：“你們是對的！”事實上，我明顯感到這兩個學(xué)生解決這個問題的思維層次比我講這個問題的思維層次高得多.

其他學(xué)生也逐漸明白了他們的意思.

“依照你這么說，1+2+2²+2³+…+2^n-1和2^n-1本來就是相等的？”終于有學(xué)生問出了這個問題.

“是的. ”我說.

“為什么呢？為什么1+2+2²+2³+…+2^n-1=2^n-1呢？”

這不就是我們在《棋盤上的學(xué)問》中遇到的問題嗎！在短短的二十幾天的學(xué)習(xí)里，我們就兩次與它相遇，看來，我有必要向?qū)W生們講講這個問題了.

因為學(xué)生剛學(xué)過《探索規(guī)律》，我先讓他們看了一組式子：

1+1=2；

2+2=4；

2²+2²=2³；

……

同學(xué)們很快得出了2^n-1+2^n-1=2琻這個規(guī)律.

接下來，我提示學(xué)生給式子左邊作了如下變形：

1+1+2+2²+2³+…+2^n-1-1

=2+2+2²+2³+…+2^n-1-1

=……

學(xué)生馬上明白了我的意思，很快就得出了結(jié)論.

哦，原來如此. 看著學(xué)生如釋重負(fù)的樣子，我又順勢給他們介紹了另一種方法：

設(shè)S=1+2+2²+2³+…+2^n-1，

則2S=2+2²+2³+…+2﹏.

錯位相減即得結(jié)論.

這種解法更令學(xué)生驚嘆！我知道，這個時候，一種探究的樂趣已深深滲入這些學(xué)生們的心田.

結(jié)束語

這是我和學(xué)生一起探究數(shù)學(xué)問題的一個片斷，但它對我的影響是很深遠(yuǎn)的. 從“棋盤上的學(xué)問”到“折痕的條數(shù)”，再從“折痕的條數(shù)”回到“棋盤上的學(xué)問”，我感到教材上那一段段原本不起眼的文字背后，竟有如此奇妙的世界等待著我們?nèi)ヌ綄?

新課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念指出：“教師應(yīng)……幫助學(xué)生在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識和技能，數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗. ”也許，我和學(xué)生作的這次探究，并沒能達(dá)到新課程標(biāo)準(zhǔn)中說的高度. 但我仍然感到，教師適度引導(dǎo)探究性學(xué)習(xí)，雖然學(xué)生的感知一開始處于表面現(xiàn)象，卻是一個親自參與了由表及里的不斷深入的理解過程，從而品嘗了發(fā)現(xiàn)所帶來的快樂. 探究活躍了學(xué)生思維，讓數(shù)學(xué)變得親近，學(xué)生樂于接受.

作者簡介 廖帝學(xué)，1973，男,四川省廣安市鄰水縣人,中學(xué)數(shù)學(xué)一級教師,現(xiàn)任教于重慶市第九十五中學(xué),發(fā)表100余篇解題教學(xué)方面的文章.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>