２００８年安徽高考理科２２題結論的推廣

黎金傳

江西省上饒縣中學 (334100)

筆者在做2008年安徽高考題時，發(fā)現理科22題結論可推廣，得到圓錐曲線的共有性質：

原題 設橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)過點M(2,1)，且左焦點為F1(-2，0).

(1)求橢圓C的方程；

(2)當過點P(4，1)的動直線l與橢圓C相交于兩不同點A，B時，在線段AB上取點Q，滿足|〢P遼?|㏎B遼=|〢Q遼?|㏄B遼.證明：點Q總在某定直線上.

原解：(1)由題意：c2=2，

2a2+1b2=1，

c2=a2-b2，解得a2=4,b2=2，所求橢圓方程為x24+y22=1.

(2)設點Q、A、B的坐標分別為(x,y),(x1,y1),(x2,y2).由題設知|〢P遼,|㏄B遼,﹟〢Q遼,獆㏎B遼均不為零，記λ=|〢P遼|㏄B遼=|〢Q遼|㏎B遼,則λ>0且λ≠1，又A，P，B，Q四點共線，從而〢P=-λ㏄B,〢Q=λ㏎B,,于是

4=x1-λx21-λ,1=y1-λy21-λ,x=x1+λx21+λ,

y=y1+λy21+λ,從而x21-λ2x221-λ2=4x,(1)

y21-λ2y221-λ2=y,(2)

又點A、B在橢圓C上，即x21+2y21=4,(3)，x22+2y22=4,(4)

(1)+(2)×2并結合(3)，(4)得4x+2y=4.即點Q(x,y)總在定直線2x+y-2=0上.

本文針對第(3)問進一步思考，探究其結論是否為橢圓的共有性質.由此可得

結論1 設橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0),P(x0,y0)為橢圓C外定點，過P的動直線l交橢圓C于A、B兩點，在線段AB上取點Q，滿足|AP|?|QB|=|AQ|?|PB|,則點Q總在直線x0xa2+y0yb2=1上.

證明：設點Q(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2)，由題設|PA|、|PB|、|AQ|、|QB|均不為零，且|AP||AQ|=|PB||QB|，又P、A、Q、B四點共線，可設㏄A=λ〢Q,㏄B=-λ〣Q,(λ≠0,±1)，于是x1=x0+λx1+λ,y1=y0+λy1+λ,x2=x0+λx1-λ,y2=y0-λy1-λ.由于A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓C上，則x21a2+y21b2=1,x22a2+y22b2=1,即

(x0+λx)2(1+λ)2a2+(y0+λy)2(1+λ)2b2=1 ①

(x0-λx)2(1-λ)2a2+(y0-λy)2(1-λ)2b2=1 ②

將②×(1-λ)2-①×(1+λ)2得4λx0xa2+4λy0yb2=4λ，即x0xa2+y0yb2=1,∴點Q在直線x0xa2+y0yb2=1上.

由于橢圓、雙曲線、拋物線同為圓錐曲線，有許多共有性質，所以進一步思考，結論1是否也適用于雙曲線、拋物線.

由此可得

結論2 設雙曲線C：x2a2-y2b2=1，過定點P(x0,y0)作動直線與雙曲線一支交于A、B兩點，P不在線段AB上，在線段AB上取點Q，滿足|AP|?|QB|=|AQ|?|PB|，則點Q總在直線x0xa2-y0yb2=1上.

結論2證明過程與結論1類似，有興趣的讀者不妨試試.

結論3 設拋物線C：y2=2px,P(x0,y0)為拋物線C外部一定點，過P的動直線l交拋物線C于A、B兩點，在線段AB上取點Q，滿足|AP|?|QB|=|AQ|?|PB|，則點Q總在直線y0y=p(x+x0)上.

證明：設Q(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),由題設|AP||AQ|=|PB||QB|，又P、A、Q、B四點共線，可設㏄A=λ〢Q,㏄B=-λ〣Q(λ≠0，±1)，于是x1=x0+λx1+λ,y1=y0+λy1+λ,x2=x0-λx1-λ,y2=y0-λy1-λ,由于A(x1,y1),B(x2,y2)在拋物線C上，則y21=2px1,y22=2px2.即y0+λy1+λ2=2px0+λx1+λ ①

y0-λy1-λ2=2px0-λx1-λ ②

將①×(1+λ)2-②×(1-λ)2，得4λy0y=4p(λx0+λx),即y0y=p(x0+x).∴點Q在直線y0y=p(x0+x)上.

參考文獻

［1］2008年安徽高考試題.