讓“美麗”的錯誤綻放“絢爛”的思維之花

朱建良

江蘇省太倉市實驗中學(xué) (215400)

正確有效地指出學(xué)生錯誤是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的基本內(nèi)容之一，教師如果能以學(xué)生學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的錯誤為教學(xué)資源，幫助學(xué)生從基本概念、基礎(chǔ)知識的角度剖析產(chǎn)生錯誤的原因，幫助學(xué)生找出錯誤的來源并發(fā)展該問題，找到更成熟的解法和一般結(jié)論，會收到事半功倍的效果.嘗試在典型的糾錯過程中讓學(xué)生暴露學(xué)生思維，以積極的態(tài)度去面對錯誤和失敗，通過糾錯回顧解題的思路，引導(dǎo)學(xué)生積極整理思維過程，尋找錯誤原因，尋求出知識點與數(shù)學(xué)思想方法上的漏缺.概括總結(jié)出一般方法和規(guī)律，使解題過程清晰，思維條理化、精確化和概括化.

1.剖析錯解，誘發(fā)認(rèn)知沖突，深化對知識本質(zhì)的理解

“水至清則無魚”，引導(dǎo)學(xué)生在回味疑惑、反思的境界中“去粗取精，去偽存真”，帶著如何解決這些問題的強烈愿望去遷移知識、分析思考，加深對知識本質(zhì)的理解.

案例1 講授同底數(shù)冪的乘法，如何計算2a3?3a2?學(xué)生易出現(xiàn)三種答案：2a3?3a2=5a5,2a3?3a2=6a5,2a3?3a2=6a6，激發(fā)學(xué)生聯(lián)想多項式乘法，有理數(shù)乘法、有理數(shù)乘方等知識，有依據(jù)、有步驟地逐一剖析驗證，從不同角度去探求問題答案.

案例2 在講授一元二次方程時，板演例題，已知關(guān)于x的方程x2-(k-1)x+k+1=0的兩個實數(shù)根的平方和等于4，求實數(shù)k的值.出示錯解：設(shè)方程兩根為x1、x2,x1+x2=k-1,x1x2=k+1,x21+x22=4,即(x1+x2)2-2x1x2=4,∴(k-1)2-2(k+1)=4，即k2-4k-5=0,∴k1=5或k2=-1，在糾錯的熱烈討論中，剖析錯解中忽視了原方程有兩根的條件△≥0，當(dāng)k=5時△<0，不符合題意，注意先解后取舍，幫助學(xué)生深刻理解一元二次方程的定義.

案例3 當(dāng)0

通過剖析錯因，“去偽存真”幫助學(xué)生深刻理解概念的內(nèi)涵和外延，糾錯形式喚起了學(xué)生解決問題的欲望，激發(fā)了學(xué)生的探究興趣，培養(yǎng)了學(xué)生的問題意識，拓展思路，提高學(xué)習(xí)效率，有效地促進了知識點間的融會貫通.

2.漏解探因，排除思維定勢，培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)

許多學(xué)生在解題時往往滿足于求出一解，導(dǎo)致不完整解題，引導(dǎo)學(xué)生探究分析出現(xiàn)漏解情況的原因，積累經(jīng)驗，強化數(shù)學(xué)分類的嚴(yán)密性，分類方法的科學(xué)化，促使學(xué)生的思維水平有層次、有步驟地向更優(yōu)化的方向發(fā)展.

案例4 為美化環(huán)境，在某小區(qū)內(nèi)用30玬2的草皮鋪設(shè)一塊長為10玬的等腰三角形綠地，求這個等腰三角形綠地的另兩邊長.

錯解：(1)當(dāng)AB為底邊時，設(shè)AB=10,AD=BD=5,S△ABC=12AB?CD=30,∴CD=6,∴AC=BC=61(玬).

(2)當(dāng)AB為腰時，AB=AC=10,AD=AC2-CD2=8(玬),BD=2玬，∴BC=210(玬).

學(xué)生的上述解法雖然進行了分類，看似正確，仍漏了一種情況：當(dāng)AB為腰且三角形為鈍角三角形時，AB=BC=10，AD=AB+BD=18，∴AC=62+182=610(玬).分類時應(yīng)以高CD在△ABC的形內(nèi)和形外兩個角度考慮.

案例5 若⊙O直徑AB=2，弦AC=2，弦AD=3，求S┥刃蜲CD(其中2S┥刃蜲CD

錯解：過O作OE⊥AC，OF⊥AD，OA=1，AE=22，AF=32,∠COD=30°,S┥刃蜲CD=π12.上述學(xué)生解題只考慮了一種情況，忽略了弦AC和弦AD在圓心的兩側(cè)的情況.同上法：

可求出∠COD=150°，從而求出S┥刃蜲CD=5π12.綜上所述，S┥刃蜲CD的面積為π12或5π12.

引導(dǎo)學(xué)生思考時，不能忽視圖形的位置或形狀，應(yīng)尋找出它們的內(nèi)在聯(lián)系，探索出一般規(guī)律，思維方式不能單一，對基本圖形的基本性質(zhì)和圖形關(guān)系要熟練掌握，能正確運用.

3.反思出錯過程，重構(gòu)知識，關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法

在刨根究底的糾錯過程中，引導(dǎo)學(xué)生內(nèi)化知識，自覺對自己的認(rèn)知活動進行回味、思考、總結(jié)和調(diào)節(jié)，構(gòu)建更清晰、穩(wěn)定、條理化的知識結(jié)構(gòu)，統(tǒng)化到蘊含在糾錯過程中的具有方向性、規(guī)律性的數(shù)學(xué)方法與思想.

案例6 已知x≠0，判斷x2+64x2是否有最小值，若有，請求出；若不存在，請說明理由.

錯解：學(xué)生看到最小值，聯(lián)想到二次函數(shù)，看所給的類型不是二次函數(shù)類型，認(rèn)為不可能有最小值，陷入思維困境.運用數(shù)形結(jié)合思想可使本問題由復(fù)雜變簡單，由抽象變具體.因x2+64x2=x2+(8x)2，設(shè)P(x,8x)為圖像上一點到原點距離的平方，而動點P為y=8x與y=x兩圖像的交點，使|OP|2的值最小.由OP=4得,P(22,22)或P(-22,-22).

案例7 銳角△ABC中，BC=6,S△ABC=12，兩動點M、N分別在邊AB、AC滑動且MN∥BC，以MN為邊向下作正方形MPQN.設(shè)其邊長為x，正方形MPQN與△ABC公共部分的面積為y(y>0).

(1)△ABC中邊BC上高AD= ；

(2)當(dāng)x= 時，PQ恰好落在BC上；(如圖1)

(3)當(dāng)PQ在△ABC外部時(如圖2)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系(注明x的取值范圍)，并求出x為何值時y最大，最大值是多少?

典型錯誤在解(3)問中，矩形MEFN的面積y=MN?NF，無法用x表示NF，思路受阻，陷入僵局.在考慮自變量x的范圍時，誤認(rèn)為PQ在BC邊上移動，即0

在運動型幾何問題中，要善于從變中尋不變，正確找出不變的圖形結(jié)構(gòu)或不變的數(shù)量關(guān)系，本題中有△AMN∽△ABC，MNBC=AGAD,x6=4-NF4,∴NF=-23x+4.y=x(-23x+4)=-23x2+4x=-23(x-3)2+6.當(dāng)x=3時，y有最大值6.本題在(1)(2)問引導(dǎo)學(xué)生思維循序漸進，在變化過程中，始終有△AMN∽△ABC，對應(yīng)高的比等于相似比.在變化過程中，PQ的長度始于(2)問中的特殊位置，∴2.4

引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成糾錯質(zhì)疑的習(xí)慣，加強思維嚴(yán)謹(jǐn)性訓(xùn)練，對思維過程中的出現(xiàn)段落點，進行批判性回顧、分析和檢查，在反思糾錯的過程中培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)方法(如觀察、猜想、化歸、構(gòu)造函數(shù)等)解決問題的能力，同時通過剖析錯因，滲透一些常用的數(shù)學(xué)思想方法.

糾錯剖析的過程蘊涵著解決數(shù)學(xué)問題的擇優(yōu)性，補缺完整性，既有對解決問題過程的探究又有結(jié)果分析的本質(zhì)揭示，以充分暴露學(xué)生思維形式彌補認(rèn)識觀點的缺損，讓學(xué)生思維一直處于積極、活躍的狀態(tài)，通過引導(dǎo)學(xué)生主動參與尋錯探因的糾錯活動，深入探討思維走入“歧途”的原因，豐富學(xué)生思維活動經(jīng)驗，更有效地提高學(xué)生的解題能力和思維品質(zhì).