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    “或”命題的困惑之解惑

    2008-01-05 06:39:16呂秀英呂俊平
    中學數(shù)學研究 2008年11期
    關(guān)鍵詞:平方根正數(shù)省略

    呂秀英 呂俊平

    湖北省陽新縣高級中學 (435200)

    江蘇省無錫市梅梁中學 (214092)

    1.問題的提出

    筆者曾在教輔資料中遇見不少關(guān)于“或”命題的矛盾說法.現(xiàn)在,文[1]指出對教輔資料或數(shù)學雜志上常見的如下兩個命題的不同說法及困惑:

    (1)4的平方根是2或-2;

    (2)實數(shù)的平方是正數(shù)或0.

    文[2]認為命題(1)是復合命題,即p或q形式,p:4的平方根可能是2;q:4的平方根可能是-2.于是p真q真,p或q亦真.

    文[3]認為命題(1)從實質(zhì)出發(fā)可寫為“4的一個平方根是2或4的一個平方根是-2”.

    困惑:如果“4的平方根是2或-2”是復合命題,那么如何理解構(gòu)成復合命題“p或q”的原命題中是怎樣省略“可能”、“一個”等詞的?

    文[2]仍然認為命題(2)是復合命題,理由同上,由p、q構(gòu)成的“p或q”中,“可能”一詞因省略而成.

    文[4]稱命題(2)為復合命題,是為了簡易邏輯中的稱呼相一致(意即這里“或”為邏輯聯(lián)結(jié)詞),并指出:它不是由“所有”對“或”分配而來的,因為它可以寫成如下的形式:“一部分實數(shù)的平方大于0或一部分實數(shù)的平方等于0”.

    文[5]指出命題(2)是簡單命題,不是復合命題,處理方法是回到最原始的命題定義中去,把語句中的“正數(shù)或0”看成整體.

    困惑:同一問題,不同的觀點得到不同的結(jié)果,真是眾說紛紜,作為一名中學數(shù)學教師如何給自己的學生真實可信的答案?命題(1),(2)是簡單命題還是復合命題,有一個客觀直接的方法判斷嗎?

    2.問題的剖析

    事實上,在文[2]、[3]、[4]、[5]幾種觀點中,筆者認為[5]的說法是真實可信的答案,現(xiàn)分析如下:

    第一,對于“或”命題是否為復合命題,應考慮原命題中的“或”是否為邏輯聯(lián)結(jié)詞,我們不能一見“或”就以為含邏輯聯(lián)結(jié)詞而認為是復合命題.

    全日制普通高級中學教科書數(shù)學(必修)第一冊(上)第25頁的引例是值得商榷的,其陳述如下:

    “這里的‘或(指邏輯聯(lián)結(jié)詞)我們已經(jīng)學過,像不等式x2-x-6>0的解集是{x|x<-2或x>3}①.‘且(指邏輯聯(lián)結(jié)詞)我們也學過,像不等式x2-x-6<0的解集是{x|-2-2且x<3}②.”

    顯然,結(jié)合課本上下文意思,即指上述①、②中的“或”、“且”都是邏輯聯(lián)結(jié)詞,這樣就誤導了我們對邏輯聯(lián)結(jié)詞的判斷.實際上,①、②中的“或”和“且”都不是邏輯聯(lián)結(jié)詞,它們只分別表示不等式的解集是兩個集合的“并”和兩個集合的“交”.

    第二,判斷“或”是否為邏輯聯(lián)結(jié)詞,必須正確理解數(shù)學的原始定義、概念、性質(zhì)、法則等,學會三種數(shù)學語言(文字語言、符號語言、圖形語言)的互譯.

    例如(1)中,什么叫做一個正數(shù)的平方根?由定義知,一個正數(shù)的平方根有兩個,它們互為相反數(shù),所以命題(1)中的“2或-2”必須看成一個整體,不能拆開,否則改變了原命題的本意,即錯誤地理解“正數(shù)平方根”可指一個.因為原命題“4的平方根是2或-2”為真,拆開后為p:4的平方根是2,q:4的平方根是-2,顯然,p、q都為假,于是p或q為假,這與原命題為真相矛盾.另外,根據(jù)平方根的定義,將文字語言轉(zhuǎn)譯成符號語言:4的平方根是x趚2=4,故“4的平方根是2或-2”等價于“x2=4的解集為{x|x=2或x=-2}”,這里“或”顯然不是邏輯聯(lián)結(jié)詞.同理,命題(2)中“或”也不是邏輯聯(lián)結(jié)詞,“正數(shù)或0”必須看成一個整體.

    對于文[2]認為命題(1)可寫為p或q,p:4的平方根可能是2;q:4的平方根可能是-2.認為原命題省略“可能”一詞,“可能是”的含義為“是而非”(“不一定是”),與“一定是”、“是”有區(qū)別,若將可能是”理解為“是”,由平方根定義知,p、q都為假,于是p或q為假,這與原命題為真相矛盾,為了說p、q為真,選擇將“可能是”理解為“不是”,這太牽強附會了.

    對于文[3]認為命題(1)可寫為p或q,p:4的一個平方根是2,q:4的一個平方根是-2,認為命題省略了“一個”,試問“4的平方根”能說成“4的一個平方根”嗎?這不是省略問題,完全是兩碼事,實質(zhì)上是偷換命題,所以根據(jù)正數(shù)平方根的定義,4的平方根指兩個,而說成4的一個平方根,這樣有勉強湊合說命題(1)為復合命題之嫌,而文[4]之觀點與文[3]類似.

    3.困惑的詮釋

    綜上所述,只有不誤解數(shù)學的定義、概念、性質(zhì)和法則等,才能正確判斷命題的真假,只有不誤認為只要出現(xiàn)“或”即為邏輯聯(lián)結(jié)詞,并結(jié)合“p或q”復合命題的真值表加以分析,才能破解上述“或”命題的困惑.

    一般地,如果含“或”的命題按作為邏輯聯(lián)結(jié)詞拆開后,“p或q”命題為假(真)命題,那么當“p或q”命題與原命題為真(假)相矛盾時,原命題中的“或”不是邏輯聯(lián)結(jié)詞,當與原命題為假(真)相一致時,原命題中的“或”是邏輯聯(lián)結(jié)詞.例如“實數(shù)的平方是正數(shù)或0”為簡單命題(真),但“正數(shù)的平方是正數(shù)或0”是復合命題(真),“實數(shù)的平方是負數(shù)或0”為復合命題(假).至此,文[1]提出的困惑就迎刃而解了.

    參考文獻

    [1]李承華,潘仁貴.“或”命題的困惑[J].中學數(shù)學教學參考(增刊),2007,8.

    [2]秦慶堯,張德東.“簡易邏輯”教學中存在的問題[J].中學數(shù)學教學參考,2002,9.

    [3]李三平,羅增儒.簡單命題與復合命題的區(qū)別[J].中學數(shù)學教學參考,2003,8.

    [4]李三平,羅增儒.復合命題的構(gòu)造[J].中學數(shù)學教學參考,2003,9.

    [5]謝全苗.“簡易邏輯”不簡單[J].中學數(shù)學教學參考,2006,8.

    [6]呂俊平.對新教材中一道例題和習題表述錯誤的糾正[J].中學數(shù)學教學參考(增刊),2007,8.

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