高中數(shù)學(xué)“一題多解”淺議

福建省福州高級中學(xué)高三六班 梁含之

波利亞說過：掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題。解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺的一環(huán)，它既是培養(yǎng)知識運用能力的必要途徑，也是鞏固所學(xué)知識的重要手段。作為高中生，我們一方面要善于接受老師的指導(dǎo)，充分借力，另一方面也應(yīng)在平時的學(xué)習(xí)過程中積極探索和勤于思考，以期切實掌握一題多解能力并從中獲益。以下，筆者針對高中數(shù)學(xué)的一題多解問題談一些個人體會，希望對高中同學(xué)有所助益。

一、一題多解的內(nèi)涵及作用

顧名思義，一題多解即指在同一道題的基礎(chǔ)上，從多種角度思考，采用多種解題思路，運用不同的方法解答。這要求解題者能夠逐層分析題目，對于關(guān)鍵的研究對象進行多角度的觀察和分析，進而找到每種角度的切入點和突破點。它能有效地拓寬解題者的解題思路，促進發(fā)散性思維水平和靈活解題能力的提高。而由于一題多解中的不同解法往往涉及多個方面的數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)方法，因此它對于解題者綜合運用知識以及靈活解題能力的提高有莫大助力。相信很多同學(xué)都有這樣的體會：經(jīng)常進行一題多解的訓(xùn)練，往往會在解題過程中找到更為簡便的解法，這正是一題多解能力得到提升的現(xiàn)實表現(xiàn)。下面我們以高中數(shù)學(xué)中較為典型的多解問題為例對其具體應(yīng)用進行詳細(xì)探討，以期能從中獲得若干有益而深刻的啟示。

二、例談一題多解的具體應(yīng)用

例1：已知（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，試證明x、y、z成等差數(shù)列。

思路1：要想證明x、y、z為等差數(shù)列，必須求得x-y=y-z，而這一結(jié)論只能由已知條件推導(dǎo)得出，所以看到此題時，最直觀的想法便是展開已知條件去尋求轉(zhuǎn)換。將（z-x）2-4（x-y）（y-z）展開并整理，不難得到x-y=y-z，即證得x、y、z成等差數(shù)列。

思路2：觀察已知條件（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，其中，x-y、y-z、z-x三項具有“對稱輪換”的特點，那么我們就可以利用此特點采用換元法減少代數(shù)式中的字母數(shù)量，從而大大簡化轉(zhuǎn)換運算。具體可設(shè)x-y=a，y-z=b，則易得x-z=a+b，這時已知代數(shù)式可轉(zhuǎn)換為(a+b)2-4ab=0，通過推導(dǎo)可得出a=b，即x-y=y-z，故x、y、z成等差數(shù)列。

思路3：仔細(xì)觀察代數(shù)式（z-x）2-4（x-y）（y-z），如果設(shè)z-x=b，x-y=a，y-z=c，則其便呈現(xiàn)出二次方程判別式的形式特點，即b2-4ac，這就提供了利用二次方程判別式相關(guān)知識求解的可能。此時，我們進行分類討論：當(dāng)x-y=0時，對已知條件推導(dǎo)易得z-x=0，所以有x=y=z，三者成等差數(shù)列；當(dāng)x-y不等于0時，關(guān)于t的一元二次方程（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0的判別式（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，所以方程有等根，而t=1為方程的一個根，所以方程的兩個根均為1，然后利用韋達定理即可順利求解。

評析：思路1是最容易想到的、常見的思路，雖然穩(wěn)妥可靠，但不免略顯呆板；思路2簡潔流暢，換元法的運用十分巧妙，是最優(yōu)解法；思路3則需要仔細(xì)觀察和善于遷移才容易想到，其引入二次方程判別式的方法技巧性較強，帶來的啟示值得重視并細(xì)細(xì)體會。

例2：已知a2+b2=1，x2+y2=1，求證ax+by≤1。

思路1：綜合運用不等式的相關(guān)性質(zhì)即公式、定理，通過推理和運算最終證明命題成立。就此題而言，平均值不等式的運用十分關(guān)鍵，其簡證過程如下：因為ax≤所以ax+by≤

思路2：利用三角換元法證明。觀察已知條件的形式，兩數(shù)平方和等于 1，所以可設(shè)a=sinα，b=cosα，x=sinβ，y=cosβ，得到ax+by=sinαsinβ+cosαcosβ=cos（α-β）≤ 1。

思路3：此題還可以運用數(shù)形結(jié)合法來證明。在一個坐標(biāo)系中，x2+y2=1可看作是以原點為圓心，半徑為1的單位圓，而ax+by=聯(lián)系到點到直線距離公式，圓上任意一點M(x,y)到直線ax+by=0的距離均小于或等于圓的半徑1，即d==|ax+by|≤1，所以ax+by≤1。

評析：以上三種證明方法均屬于較為典型的基本方法。需要注意的是，思路3的應(yīng)用有其適用條件，帶有一定的局限性，在實際應(yīng)用過程中，我們要根據(jù)題目具體情況靈活使用。

綜上，筆者結(jié)合自身學(xué)習(xí)實踐，就高中數(shù)學(xué)一題多解提出了一些個人看法。總之，一題多解是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必須具備的重要能力，我們應(yīng)在平時學(xué)習(xí)中勤于思考并善于總結(jié)反思。本文拋磚引玉，尚盼有識者指教。