巧借構(gòu)造法 妙解數(shù)學(xué)題
——解析構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

山東省青島市城陽(yáng)第三高級(jí)中學(xué) 李朝磊

構(gòu)造法是一種簡(jiǎn)便的解題方法，但其對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)水平及綜合素質(zhì)要求較高，因此，教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)結(jié)合不同題型講解構(gòu)造法的具體應(yīng)用，使學(xué)生明晰構(gòu)造法的應(yīng)用步驟，把握應(yīng)用構(gòu)造法解題的重點(diǎn)與難點(diǎn)，迅速正確解答相關(guān)數(shù)學(xué)題目。

一、構(gòu)造方程

學(xué)生對(duì)方程知識(shí)較為熟悉，在解答一些數(shù)學(xué)試題時(shí)，通過分析題干條件，構(gòu)造方程求解可獲得事半功倍的解題效果，因此，教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)有針對(duì)性地對(duì)學(xué)生加以引導(dǎo)，提高學(xué)生應(yīng)用構(gòu)造方程解題的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用構(gòu)造方程的習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的進(jìn)一步提高。

例1 已知α+β+γ=π，試證明：

（1）sin2β+sin2γ-2sinβsinγcosα=sin2α；

（2）cos2β+cos2γ+2cosβcosγcosα=sin2α。

分析：該題目已知條件較少，部分學(xué)生應(yīng)用三角函數(shù)知識(shí)進(jìn)行變換，雖然能夠得出證明結(jié)果，但計(jì)算過程煩瑣，出錯(cuò)率較高，如構(gòu)造方程，可明顯降低證明復(fù)雜度，具體解題過程為：

證明：設(shè)x=sin2β+sin2γ-2sinβsinγcosα-sin2α①

y=cos2β+cos2γ+2cosβcosγcosα-sin2α②

① + ② 得：x+y=2+2cosαcos（β+γ）-2sin2α=2（1-sin2α）+2cosαcos（π-α）=2cos2α-2cos2α=0。

同理，② - ①得：y-x=cos2β+cos2γ+2cosαcos（β-γ）=-2cosαcos（β-γ）+2cosαcos（β-γ）=0。

構(gòu)造方程解答數(shù)學(xué)題目的技巧性較強(qiáng)，教學(xué)實(shí)踐中，教師除了講解相關(guān)題目外，還應(yīng)對(duì)學(xué)生多加訓(xùn)練，鼓勵(lì)學(xué)生總結(jié)構(gòu)造方程的適用條件、解題規(guī)律，確保構(gòu)造的方程科學(xué)、合理。

二、構(gòu)造函數(shù)

眾所周知，高中數(shù)學(xué)試題復(fù)雜多變，難度相差較大，部分題目無從下手時(shí)，可考慮適當(dāng)?shù)臉?gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)圖形、性質(zhì)進(jìn)行求解。實(shí)踐表明，構(gòu)造函數(shù)可迅速找到解題突破口，迅速得出正確結(jié)果，因此，教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)注重講解構(gòu)造函數(shù)在解題中的具體應(yīng)用。

例2 已知關(guān)于x的方程x2-（2a+1）sin（cosx）+1-4a2=0有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的所有取值。

分析：該方程為二次方程，但存在特殊的參數(shù)，很多學(xué)生面對(duì)該題目時(shí)不知如何下手。事實(shí)上，認(rèn)真觀察給出的方程，通過構(gòu)造函數(shù)，便可“柳暗花明”。教學(xué)實(shí)踐中，教師可詳細(xì)列出解題過程，要求學(xué)生認(rèn)真思考，感受構(gòu)造函數(shù)法的具體應(yīng)用，以更好地應(yīng)用到其他題目解答中。

解：構(gòu)造函數(shù)f（x）=x2-（2a+1）sin（cosx）+1-4a2，

∵f（-x）=f（x），∴f（x）為偶函數(shù)。

設(shè)x0為f（x）=0的解，則-x0也為f（x）=0的解。

由題干可知f（x）=0有唯一的實(shí)數(shù)解，即-x0=x0，顯然，x0=0。

通過該例題講解，學(xué)生可充分感受到構(gòu)造函數(shù)在解答數(shù)學(xué)題目中的便捷、巧妙之處，因此，教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)深入講解函數(shù)知識(shí)，使學(xué)生夯實(shí)函數(shù)知識(shí)，為構(gòu)造函數(shù)法的靈活應(yīng)用做好鋪墊。

三、構(gòu)造圖形

解答數(shù)學(xué)題目時(shí)，通過構(gòu)造相關(guān)圖形，將參數(shù)間的關(guān)系通過圖形直觀地加以呈現(xiàn)，不僅有助于提高解題效率，而且還可加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)題目的深入理解，因此，教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析題干已知條件，找到已知條件與圖形的契合點(diǎn)，學(xué)會(huì)運(yùn)用圖形解答數(shù)學(xué)試題。

例3 已知a＞0，b＞0，a+b=1，

分析：面對(duì)該題目，很多學(xué)生不知所措，甚至教師提示使用構(gòu)造圖形進(jìn)行證明時(shí)，仍找不到解題突破口。因此，解答該題目時(shí)，教師做好充分的引導(dǎo)顯得尤為重要，即要求學(xué)生認(rèn)真觀察給出的已知條件以及要證明的結(jié)論，找到條件和結(jié)論間的聯(lián)系。由已知條件可知a+b=1，不難聯(lián)想到=2，如此便和結(jié)論聯(lián)系在了一起。具體解題過程為：

由平方和可以聯(lián)想到勾股定理，即構(gòu)造如右圖的三角形：

構(gòu)造圖形是數(shù)形結(jié)合法的具體體現(xiàn)，解答數(shù)學(xué)題目時(shí)，過程簡(jiǎn)明、清晰，計(jì)算簡(jiǎn)單，較傳統(tǒng)方法優(yōu)勢(shì)明顯，因此，解答數(shù)學(xué)題目時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)聯(lián)想，構(gòu)造熟悉的數(shù)學(xué)圖形輔助解題。

為提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，掌握正確的解題方法尤為關(guān)鍵，其中構(gòu)造法是一種重要的解題方法，在解答高中數(shù)學(xué)試題中應(yīng)用普遍，因此，教學(xué)實(shí)踐中，廣大教師應(yīng)提高認(rèn)識(shí)，注重構(gòu)造法知識(shí)的講解，尤其是依托具體案例，講解構(gòu)造法在解題中的具體應(yīng)用，包括構(gòu)造方程、構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造圖形等，使學(xué)生掌握構(gòu)造法的應(yīng)用技巧，巧妙解答相關(guān)數(shù)學(xué)試題。