不等式證明的方法研究

黑龍江省哈爾濱市工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校 張?zhí)旎?/p>

不等式是高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的一個重要組成部分，是研究其他數(shù)學(xué)問題的重要工具。不等式的證明方法有很多，涉及高中數(shù)學(xué)體系的方方面面。調(diào)查表明，學(xué)生在進行證明時往往無法快速地選擇出最合適、最簡便的方法，因此，教師如何將證明不等式的方法有效地滲透給學(xué)生，成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重難點。

一、研究不等式證明的教學(xué)意義分析

首先，不等式是高中數(shù)學(xué)知識體系中一種廣泛被使用的輔助工具，在其他很多數(shù)學(xué)問題的分析與解答中都需要使用到不等式的知識，但是在使用不等式的過程中，很多時候需要我們先證明不等式的可行性。因此，研究不等式的證明方法是教學(xué)的切實需求，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的必經(jīng)之途。

其次，在不等式證明教學(xué)中可以有效地鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力。不等式證明的方法非常多，在高中數(shù)學(xué)中只涉及了一些關(guān)鍵的研究方法。在這些方法的教學(xué)中，滲透著經(jīng)典數(shù)學(xué)思想的精髓，通過記憶與推理的緊密結(jié)合，可以有效地達(dá)到鍛煉學(xué)生邏輯思維的目的。

最后，通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牟坏仁阶C明方法的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)思考的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)精神和習(xí)慣，這種行為習(xí)慣的形成對學(xué)生綜合素養(yǎng)的提升具有重要的幫助，對學(xué)生其他科目的學(xué)習(xí)也有很大的幫助。

二、兩種不等式證明的方法教學(xué)探討

在高中階段需要學(xué)習(xí)的不等式的證明方法有很多，主要用到的有放縮法、柯西不等式、比較法、反證法、換元法等。下面，我將針對放縮法和柯西不等式兩種主要的方法進行教學(xué)講解。

1．放縮法

放縮法是指要證明某個不等式如A＜B，可以首先將不等式的一邊進行放大或者縮小，尋找一個中間量，如將A放大成為C，如果我們可以首先證明C＜B，那么比C還要小的A自然也要小于B，即A＜C＜B，實際上是使用了不等式的傳遞性，而這種間接證明的方法就被稱之為放縮法。放縮法是研究不等式證明方法里常見的一種方法，它是通過思想轉(zhuǎn)換來實現(xiàn)證明的，對學(xué)生思維具有很重要的啟發(fā)作用，在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)?shù)玫浇處煹淖銐蛑匾?，幫助學(xué)生對放縮法的使用做到熟能生巧。放縮法的含義非常簡單，在教學(xué)中最重要的是培養(yǎng)學(xué)生的使用意識，當(dāng)面對此類題型時，學(xué)生可以一眼看穿，直接使用放縮法進行迅速證明。下面我們用一個經(jīng)典例題來看看放縮法的具體使用過程。

分析：這是一個基本又經(jīng)典的利用放縮法來證明不等式的題目，在解答這個題目時，我們可以看到這個題目屬于A＜B的類型，于是我們可以首先將不等式左邊的A進行放大，可以首先得出：可以看出在這個不等式中的右邊是我們非常熟悉的一個式子，可以通過裂項來計算，得出不等式右邊等于2-＜2，于是證明了原不等式。

使用放縮法進行不等式的證明時，有一些有效的技巧可以讓學(xué)生記?。河鲆姺质娇梢試L試放大或者縮小分子或者分母；構(gòu)造出等比數(shù)列進行放縮；利用裂項求式來進行計算放縮；利用錯位相減來進行放縮等。教師需要在教學(xué)中積極總結(jié)題型經(jīng)驗，把握命題規(guī)律，提升學(xué)生快速解決不等式證明問題的能力。

2．柯西不等式

柯西不等式同樣是不等式證明中的一個重要方法，柯西不等式具有多種形態(tài)，我們通過柯西不等式的一般形態(tài)進行講解?？挛鞑坏仁降囊话阈螒B(tài)為（a2+b2）+（c2+d2）≥（ac+bd）2，在實際使用過程中，我們經(jīng)常會對這個公式進行變形，因此，一般還會用到ac+bd≤，等號成立的條件是有且僅有ad=bc，這個公式就代表柯西不等式。除了上面的一般形式，柯西不等式還存在向量形式、三角形式、概率論形式、積分形式等多種表現(xiàn)形式，也因此在教學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。下面，我們通過一個簡單的例題來具體探討柯西不等式在不等式證明方面的應(yīng)用途徑。

例2：已知三個正數(shù)a，b，c互不相等，證明：

分析：這個不等式剛看上去很難掌握其中的關(guān)鍵，因此我們首先可以通過變形來獲得其中的關(guān)鍵。由于三個分母都是正數(shù)，所以我們可以首先將不等式右邊的分母移到左邊來，可以獲得：對這個式子通過一系列的化簡，可以得到該式子≥=（1+1+1）2=9，又由于三個字母互不相等，所以需要注意等號是取不到的。

使用柯西不等式來證明不等式時的技巧一般是通過拆常數(shù)、湊常值來進行的。柯西不等式是不等式證明方法中一個常用但是困難的方法，需要教師為學(xué)生多總結(jié)解題經(jīng)驗，找到其中的規(guī)律，最重要的是要讓學(xué)生多做題，自己找出其中的規(guī)律，對這幾種常見的題型做到爛熟于心，從而迅速地解決問題。

除了放縮法和柯西不等式法之外，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中涉及的不等式證明方法還有很多，需要教師為學(xué)生進行一一細(xì)致講解，可以通過一些經(jīng)典例題的講解幫助學(xué)生真正地理清其中的區(qū)別與聯(lián)系，使學(xué)生在解題時能夠迅速地找出解決問題的最適合方法，并提升學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。