意外引起的反思

☉四川大學(xué)附屬中學(xué) 劉成龍

☉四川省成都市西北中學(xué) 余小芬

在心理學(xué)上，反思是人們以自己的認(rèn)知活動(dòng)過程及結(jié)果為認(rèn)識(shí)對(duì)象的認(rèn)識(shí)活動(dòng).弗賴登塔爾曾提出：“反思是重要的數(shù)學(xué)活動(dòng)，它是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心和動(dòng)力，是一種積極的思維活動(dòng)和探索行為，是發(fā)現(xiàn)、是再創(chuàng)造.”葉瀾指出：“一個(gè)教師寫一輩子教案不一定成為名師，如果一個(gè)教師寫三年反思就有可能成為名師.”可見，反思在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中十分重要.事實(shí)上，在平常的教學(xué)活動(dòng)中有很多地方值得我們冷靜地思考、反思.本文記錄一次意外及引起的反思，供同行們參考.

筆者任教學(xué)校是成都市重點(diǎn)中學(xué)，任教班級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好.學(xué)生課堂聽課認(rèn)真，思維活躍，在一些問題上能闡述自己的看法.學(xué)習(xí)完《圓》這一章節(jié)后，筆者布置了2012年湖北恩施中考第23題作為課后作業(yè).布置前，筆者未對(duì)該試題深度探究，直接用了參考答案，只覺得該題解答思路常規(guī)，知識(shí)點(diǎn)和難度適合本班學(xué)情.然而，第二天評(píng)講該題時(shí)“意外”的一幕發(fā)生了.

試題 （2012年湖北恩施）如圖1，AB是⊙O的弦，D為OA半徑的中點(diǎn)，過D作CD⊥OA交弦AB于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，且CE=CB.

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）連接AF，BF，求∠ABF的度數(shù)；

圖1

一、教學(xué)記錄

師：同學(xué)們，你們已經(jīng)做了這道題，老師在這里僅作初略的分析.

在講評(píng)過程中，筆者按參考答案的思路給學(xué)生作了分析，并規(guī)范地板書了答案：

（1）、（2）略.

又CD=15，CE=13，所以DE=2.

正當(dāng)筆者打算進(jìn)行下面的教學(xué)任務(wù)時(shí)，有學(xué)生發(fā)言了.

生1：老師，我感覺我的解答也是正確的，但是得到的答案和您的不一樣.（這時(shí)，另外幾名同學(xué)也開始小聲討論起來）

由于題目選自中考試題，筆者當(dāng)時(shí)的想法是錯(cuò)誤可能出自于學(xué)生，但看到生1疑惑而又急于想表達(dá)自己想法的眼神，于是便停下來聽聽他的想法.

生1：連接OE、OC，得OE=AE，在Rt△ODE中，設(shè)DE=5k、OE=13k，所以O(shè)D=12k，AO=r=24k.

在Rt△ODC中，OC2=OD2+DC2=（12k）2+152.

又OC2=OB2+BC2=24k2+（15-5k）2，

但和您的答案不一樣，不知道哪里錯(cuò)了？

此時(shí)，更多的學(xué)生議論起來了.

師：同學(xué)們，生1分析得很好，解答思路沒錯(cuò)，結(jié)果不一樣，會(huì)不會(huì)是計(jì)算錯(cuò)誤？我們一起來檢查計(jì)算過程.

經(jīng)過大家的檢查，計(jì)算完全正確！此刻，筆者暗自吃驚：難道參考答案真的錯(cuò)了？正當(dāng)大家疑惑的時(shí)候又有學(xué)生發(fā)言了.

生2：老師，我和生1做的方法不同，但答案一樣.

師：哦？那請(qǐng)你談?wù)勀愕淖龇?

又BC2=CE2=（15-5x）2，

生2剛說完，又有人發(fā)言了.

生3：老師，我的答案和你們的都不一樣，但我認(rèn)為我的也是正確的.（生3十分自信）

師：好，請(qǐng)為大家分析你的思路.

由相交線定理可得：

生3剛剛說完，生4就迫不及待地站起來了.

思路是：延長AO交⊙O于N，連接NB.

設(shè)DE=5x，則AE=13k，AD=12x，AO=24x.

此刻，同學(xué)們更加疑惑了：咦，怎么回事呢，三個(gè)不同的答案？

筆者心里尋思：四位同學(xué)，解答思路都對(duì)，計(jì)算也正確，現(xiàn)在出現(xiàn)了三個(gè)答案，而根據(jù)數(shù)學(xué)答案具有唯一性可知，題目肯定有問題！

學(xué)生思考并相互討論.筆者深深地吸了一口氣，沉思片刻，便發(fā)現(xiàn)了端倪.這時(shí)有部分學(xué)生也發(fā)現(xiàn)了問題的所在.

生5：幾種解答用的題設(shè)條件不一樣.

部分學(xué)生也點(diǎn)頭認(rèn)可.

師：很好，那你能跟大家具體對(duì)比一下嗎？

生5：生1、2的解答過程中只用了CD=15，沒用到BE=10.

師：很好！

生5：生3、4的解答只用了BE=10，沒用到CD=15.

師：參考答案呢？

眾生：兩個(gè)都用了！

師：同學(xué)們，這道題的條件多了，這就是為什么有不同解答結(jié)果的原因！

這時(shí)同學(xué)們都恍然大悟了！

師：下面進(jìn)一步來驗(yàn)證條件多余這一論斷！請(qǐng)大家解答以下三個(gè)問題：

在同學(xué)們的共同努力下，經(jīng)過一番計(jì)算，一致得出：這三個(gè)問題答案都是否定的.

師：非常好.不難看出，第（3）問條件多余且CD=15、BE=10互不相容，建議去掉CD=15、BE=10二者之一.

下課鈴聲此時(shí)也響了，筆者深深地舒了一口氣，懷著復(fù)雜的心情走向辦公室……

二、課后反思

這一節(jié)課筆者的心情較為復(fù)雜，從對(duì)參考答案的確信，轉(zhuǎn)為對(duì)學(xué)生提問的疑惑，再到對(duì)多種解答的迷茫，最后體會(huì)到問題圓滿解答的舒緩，以及感受到學(xué)生踴躍多思的欣慰.課后，筆者內(nèi)心久久不能平息，懷揣著復(fù)雜的心情，行文以期提醒自己.

1.課堂的主體是學(xué)生

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（下文簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）強(qiáng)調(diào)學(xué)生是課堂的主體，要充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，教師是課堂的組織者和引導(dǎo)者.教育家陶行知老先生為說明學(xué)生主體性的重要性，做了這樣一個(gè)實(shí)驗(yàn)：把一只餓了幾天的大公雞放在桌子上，再在桌上放幾把米，然后用手按住雞頭強(qiáng)迫雞吃米，雞不但不吃反而會(huì)邊掙扎邊嚎叫，放開手后則雞高興地吃米了.這一實(shí)驗(yàn)很好地詮釋了學(xué)生主體的重要性.

（1）善待學(xué)生的提問.

希爾伯特指出：“數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)的靈魂”.“敢于發(fā)表自己的觀點(diǎn)”是新課標(biāo)的一大主張.愛因斯坦說：“提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更有意義”.教師要充當(dāng)組織者、引導(dǎo)者和傾聽者，引導(dǎo)學(xué)生善思、好問、樂學(xué)，敢于讓學(xué)生說、敢于讓學(xué)生問，并能對(duì)學(xué)生提出的有意義的問題適時(shí)地加以評(píng)價(jià)和解答.事實(shí)上，往往學(xué)生精彩、有意義的提問被教師一言堂所沖淡、所掩飾，被教師的“霸權(quán)”所扼殺.長此以往，不僅刺傷了學(xué)生的興趣，禁錮學(xué)生的思維，束縛學(xué)生的心智，更磨滅了學(xué)生創(chuàng)造力的火花.“發(fā)表自己觀點(diǎn)”不僅是主體性的一種體現(xiàn)、一種情緒的釋放，更是學(xué)生思想的一次大解放.

（2）教師少講，學(xué)生多方面參與.

《標(biāo)準(zhǔn)》倡導(dǎo)“積極思考、動(dòng)手實(shí)踐的學(xué)習(xí)方式”.“學(xué)習(xí)金字塔”理論表明：不同的學(xué)習(xí)方式得到的學(xué)習(xí)效果區(qū)別很大，位于塔尖的是學(xué)生單憑閱讀或聽老師講授，效果最差（保持10%）；位于塔基的是學(xué)生動(dòng)手參與和給別人講授效果最好（保持90%）.可見，在教學(xué)中教師要少講（用語要精練，可講可不講的東西不講，可刪可不刪的東西刪掉）、精講（講到重點(diǎn)上）、講精（需要高超的教學(xué)機(jī)智：在精講的基礎(chǔ)上，部分知識(shí)講到八九分透，剩余部分學(xué)生自己悟透），學(xué)生要多動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)嘴，主動(dòng)實(shí)現(xiàn)知識(shí)的意義建構(gòu).

2.教師要具備駕馭課堂的能力

教師是課堂的組織者與規(guī)范者，教師要組織、規(guī)范好課堂就必須具備駕馭課堂的能力.筆者認(rèn)為要很好地駕馭課堂就必須具有扎實(shí)的專業(yè)技能.

（1）扎實(shí)的專業(yè)知識(shí)是駕馭好課堂的首要條件.

專業(yè)知識(shí)包括：初等代數(shù)研究和初等幾何研究知識(shí)（必備的知識(shí)）；高等代數(shù)、數(shù)學(xué)分析、解析幾何知識(shí)（思維的更高層次需要）：數(shù)學(xué)史（數(shù)學(xué)文化的需要）、課程教材教法（方法論指導(dǎo)）；數(shù)學(xué)教育概論（教育理論更新的需要）.

（2）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力是一種專業(yè)技能，是教育理念和專業(yè)知識(shí)體系的更新、教育教學(xué)活動(dòng)的深刻反思、新課程標(biāo)準(zhǔn)和兩綱的深度解讀的有力保障！

（3）必備的基本能力.

敏銳的數(shù)學(xué)思維、較強(qiáng)的解題能力、猜想能力、探究能力、歸納能力、運(yùn)算能力等.

（4）良好的教師基本功.

基本功包括：標(biāo)準(zhǔn)的普通話、漂亮的粉筆字；良好的表達(dá)能力和課堂意外應(yīng)對(duì)能力.

3.對(duì)試題的兩點(diǎn)認(rèn)識(shí)

（1）編擬試題要謹(jǐn)慎.

善于解題是優(yōu)秀教師必備的基本素養(yǎng)，但編擬好的試題需要更高的水平.中考及其他大型考試大部分試題設(shè)計(jì)新穎，構(gòu)思巧妙，集中體現(xiàn)了命題專家的智慧，是我們學(xué)習(xí)的典范.一道好的試題需要反復(fù)修改、精心雕琢；一套好的試題必須具備良好的效度、性度和區(qū)分度.尤其是大型考試對(duì)試題的質(zhì)量要求更高.因此，編擬試題需謹(jǐn)慎，應(yīng)注意：

宏觀上：背景公平，不偏不怪；無科學(xué)性錯(cuò)誤；不超“兩綱”.

微觀上：條件間互不矛盾；條件無多余；解答方法不過分追求技巧．

因此，為了命制高水平的試題可以從以下方面入手：

①平時(shí)教學(xué)中，多積累好的試題，建立個(gè)人試題檔案，對(duì)一些好的試題（一些好的試題具有很強(qiáng)的生命力，以好題為載體可以衍生一大批新的題目）深入研究（背景研究、立意研究、解法研究、拓展研究、逆向探究試題編擬），閱覽并收集期刊上的研究成果；

②立足于教材，以高等數(shù)學(xué)知識(shí)（高中以及大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)）為命題知識(shí)層面指導(dǎo)；

③命題周期稍微長一點(diǎn)，磨題的時(shí)間多一點(diǎn)，磨題的過程更加細(xì)一些；

④組建命題研究團(tuán)隊(duì)，集思廣益.

（2）使用試題應(yīng)具有批判精神.

筆者認(rèn)為大部分試題是教學(xué)和研究的有效資源，但部分試題難免有一些缺陷甚至存在錯(cuò)誤.歷史表明，數(shù)學(xué)科學(xué)伴隨錯(cuò)誤與反思而發(fā)展完善.部分試題編擬中由于各種因素的影響難免會(huì)犯一些錯(cuò)誤或者存在一些缺陷，比如：平?？荚囋囶}存在一些疏漏，甚至中考、高考中也會(huì)出現(xiàn)一些有爭(zhēng)議，乃至錯(cuò)誤的試題.因此，在解題后需要用批判性的眼光對(duì)有些試題加以重新審視，不迷信于命題專家們的權(quán)威，敢于大膽地質(zhì)疑，從而優(yōu)化試題的編擬及使用.

4.參考答案僅供參考

在過去參考答案的使用過程中，參考答案給我們帶來了便利：格式規(guī)范，能讓學(xué)生養(yǎng)成良好的書寫習(xí)慣；便于學(xué)生及時(shí)自我反饋檢測(cè)情況，第一時(shí)間糾正錯(cuò)誤；節(jié)省時(shí)間，給教師備課帶來了方便；提供了解題方法等.然而，參考答案自身存在一些缺陷：缺乏解答的分析過程；解答方法出現(xiàn)錯(cuò)誤；解答過程太簡(jiǎn)約，思維跨度太大；解答方法煩瑣；解答方法不自然；缺失反思環(huán)節(jié)等.加之，由于使用參考答案不當(dāng)：學(xué)生照搬照抄參考答案；教師過分依賴參考答案，于是出現(xiàn)了一些問題（參見文［3］）.因此，使用參考答案要做到以下兩點(diǎn)：

（1）對(duì)學(xué)生來講，教師要引導(dǎo)學(xué)生樹立正確使用參考答案的意識(shí)，在感受參考答案優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，不迷信、不盲從參考答案，不唯答案論，敢于質(zhì)疑參考答案的合理性，要具備批判的眼光.具體來說，學(xué)生不能照抄照搬參考答案，應(yīng)該在獨(dú)立完成試題后，再對(duì)照參考答案找出自己解答的優(yōu)點(diǎn)和存在的問題，尤其要分析導(dǎo)致問題的原因.對(duì)于不會(huì)做的試題，要先多想，然后再看參考答案，要看懂參考答案每一步，對(duì)每一個(gè)步驟多問幾個(gè)為什么、怎么來的，從而把別人的方法變成自己的方法.

（2）對(duì)于教師來說，要擺脫對(duì)參考答案的過度依賴，創(chuàng)造性地使用參考答案.首先，教師要苦練解題技能（優(yōu)秀教師必備的技能），遇到難的問題，盡量不看參考答案，多思考，久而久之就會(huì)產(chǎn)生頓悟，有所提升.其次，教師先做試題，充分感受解答中需要經(jīng)歷的“磨難”，再對(duì)照參考答案，立足最近發(fā)展區(qū)，尋找學(xué)生理解最優(yōu)的思路、方法，并且做好參考答案缺陷的完善工作.

5.充分備課是高效課堂的關(guān)鍵

備課是上課的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，而充分備課是自如駕馭課堂的前提、是高效課堂的關(guān)鍵.備課內(nèi)容包括：

（1）備教材：教材是學(xué)科知識(shí)的載體和根基，提供了學(xué)科的教學(xué)任務(wù)（學(xué)什么、教什么）.教師需要深刻領(lǐng)悟編者的意圖（章前語、例題、習(xí)題、旁注、閱讀材料等的功能），吃透教材，有效地整合、分拆教材，把“厚書讀薄，薄書變厚”.

（2）備“兩綱”（教學(xué)大綱和考試大綱）：“兩綱”是教師制定課堂教學(xué)目標(biāo)（教到什么程度）的指導(dǎo)性文件.教師需要認(rèn)真研讀“兩綱”，領(lǐng)會(huì)各知識(shí)板塊的具體要求，不隨意拔高難度，增減內(nèi)容，關(guān)注要求有所變動(dòng)的部分.

（3）備學(xué)生：學(xué)生是課堂的主體，學(xué)生在知識(shí)和思維上是否有所提升是高效課堂的唯一檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn).因而，教師要了解學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備、思維層次、整體性和差異性；根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況采用適當(dāng)?shù)慕谭?、學(xué)法；充分預(yù)設(shè)學(xué)生在學(xué)習(xí)中會(huì)出現(xiàn)的一些問題及對(duì)策，從而避免因準(zhǔn)備不充分帶來的尷尬.

1.劉成龍，余小芬.對(duì)數(shù)學(xué)解題反思的認(rèn)識(shí)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（江西），2012（6）.

2.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

3.劉成龍，余小芬.參考答案僅供參考［J］.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2013（2）.