電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)過一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速區(qū)的控制器設(shè)計及振動特性

關(guān)鍵詞：電磁軸承；不平衡響應(yīng)；柔性轉(zhuǎn)子；轉(zhuǎn)子動力學(xué)；比例-微分（PD）控制 中圖分類號：TB535 文獻標志碼：A DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.202307062

Controller design and vibration characteristics of an active magnetic bearings-flexible rotor system passing the first bending critical speed region

TANG Jiayu，ZHU Changsheng （College of Electrical Engineering，Zhejiang University，Hangzhou 31oo27，China）

Abstract：Activemagnetic bearings（AMBs）areideal bearingsforhighspeedand high powerrotating machineryforitsadjustable stfessanddamp.Inthis paper，adynamic modelofAMBs-flexible rotorsystem is established.Aimingatsuppressngvibration displacementoftherotorsysteminpasingthroughthefirstbendingcriticalspedregionacontrolwhichcombiesadecetralized PIDcontrolleandiputsecondfilterinseries isdesignedandthecontrollrperformances aresimulated.The experiments insimulatedrotationandrealaccelerationoperationsarecarredoutinaplatformofAMBs-flexiblerotorsystem.Therotorsystemcan smoothly passthrough itsfrstbendingcriticalspeedregionandte maximumrotorvibrationdisplacementinacelerationperation islessthanhalfofbackupbearinggap.Therotorvibrationdisplacementandcurrentresponsesoftherotorindiferentunbalances aremeasured inordertoanalysestheinfluenceof therotorunbalanceonvibrationcharacteristicsofAMBs-flexiblerotorsystem.It is shownthattheproposedcontrolercanmaketherotorsystemsmoothlypassthroughitsfirstbendingcricalspeedregion.The rotor imbalance hasasignificantly influenceonthecontrolperformanceandstabiltyofAMBs-flexiblerotorsystem.Theexperi ment results give a support on the high-performance control strategy of AMBs-flexible rotor system.

eywords： active magnetic bearings;unbalance response;flexible rotor;rotor dynamics;PD contr（

主動電磁軸承（activemagnetic bearings，AMBs）具有非接觸、無潤滑、無磨損、低維護[等優(yōu)點，在各種高速、高功率的旋轉(zhuǎn)機械中作為支承單元得到廣泛的研究和應(yīng)用。

由于轉(zhuǎn)子材質(zhì)的不均勻和加工、裝配過程中的誤差和變形等因素，轉(zhuǎn)子的質(zhì)量中心和幾何中心存在偏差，稱為殘差不平衡距。當轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時，會產(chǎn)生與轉(zhuǎn)速同頻的不平衡力，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子振動，降低了轉(zhuǎn)子的回轉(zhuǎn)精度并向基座傳遞振動和力，嚴重時會使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)失去穩(wěn)定性。AMBs能夠給轉(zhuǎn)子系統(tǒng)施加可控的支承力，主動控制轉(zhuǎn)子的不平衡振動。目前，對AMBs-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的研究主要包括轉(zhuǎn)子動力學(xué)特性[2-4]、AMBs控制算法[5-8]、AMBs結(jié)構(gòu)設(shè)計[9-10]等方面。

由于旋轉(zhuǎn)機械對高轉(zhuǎn)速和高功率的需求，AMBs支承的轉(zhuǎn)子變得越來越細長，轉(zhuǎn)子的工作轉(zhuǎn)速可能要超過轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的1階或多階彎曲臨界轉(zhuǎn)速。在彎曲臨界轉(zhuǎn)速區(qū)，同頻不平衡力會激發(fā)轉(zhuǎn)子彎曲模態(tài)的振動，使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在臨界轉(zhuǎn)速區(qū)的振動增大甚至導(dǎo)致控制系統(tǒng)失穩(wěn)。

國內(nèi)外學(xué)者對跨越彎曲臨界轉(zhuǎn)速的AMBs-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動控制開展了大量的研究。主要的思路包括在彎曲臨界轉(zhuǎn)速區(qū)增大轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的等效阻尼以抑制彎曲模態(tài)的振動、用陷波器使AMBs對彎曲模態(tài)的振動不響應(yīng)以降低同頻激勵對彎曲模態(tài)的激發(fā)等。ARREDONDO等[建立了AMBs支承的柔性電主軸的動力學(xué)模型，設(shè)計了模態(tài)分離的比例-微分（PD）控制器，研究了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性特性。MUSHI等[2]建立了AMBs-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)各部件的傳遞函數(shù)，設(shè)計了 μ 綜合控制器，通過實驗驗證了所建立的AMBs-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)模型。WEI等[13]用遺傳算法實現(xiàn)比例-積分-微分（PID）參數(shù)的多目標優(yōu)化，用自整定的PID控制器實現(xiàn)了轉(zhuǎn)子跨1階彎曲臨界轉(zhuǎn)速區(qū)的運行。蔣堅科等[14用AMBs對轉(zhuǎn)子進行虛擬在線動平衡，實現(xiàn)了在變速過程中對不平衡振動的快速抑制。WANG等[15]通過設(shè)計最優(yōu)相位補償器，結(jié)合對轉(zhuǎn)子模態(tài)的試驗，實現(xiàn)了AMBs-轉(zhuǎn)子在過1階彎曲臨界轉(zhuǎn)速區(qū)的振動控制。TANG等[16]針對功放的電感滯后特性，在PID控制器中串聯(lián)超前相位補償器，抑制了轉(zhuǎn)子在過1階彎曲臨界轉(zhuǎn)速區(qū)的振動位移和控制電流。ZHENG等[1研究了傳感器不同位的AMBs-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，提出了模態(tài)分離控制方法，增強了彎曲模態(tài)的可觀性，用陷波器和阻尼優(yōu)化方法使轉(zhuǎn)子穿越了1階彎曲臨界。GENG等18基于狀態(tài)觀測器估計AMBs處轉(zhuǎn)子的位移，并設(shè)計了滑膜控制器實現(xiàn)對柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動控制。李翁衡等[19用相位偏移最小二乘法（LMS）補償擾動觀測器的估計值，使線性自抗擾控制器能夠準確觀測轉(zhuǎn)子受到的不平衡力，使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)順利地通過了1階和2階彎曲臨界轉(zhuǎn)速區(qū)。

上述諸多控制算法中往往使用以LMS為主的自適應(yīng)算法，需要準確的轉(zhuǎn)速信號及較長的跟蹤收斂時間，適用于恒定轉(zhuǎn)速下同頻不平衡量或頻率單一擾動振動的抑制。使用狀態(tài)估計、最優(yōu)控制或者μ 綜合控制等較為復(fù)雜的控制方法，控制器的階次較高，需要使用模態(tài)試驗獲取或驗證轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的降價模型，存在放大噪聲信號的問題，實際控制器的設(shè)計和調(diào)試較為復(fù)雜，難以通過仿真和靜態(tài)懸浮試驗快速地實現(xiàn)控制器的穩(wěn)定性分析和參數(shù)調(diào)試。

本文根據(jù)轉(zhuǎn)子動力學(xué)理論建立了一個AMBs-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)模型，設(shè)計了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在過1階彎曲臨界轉(zhuǎn)速區(qū)的控制器。在控制器的設(shè)計中，考慮了系統(tǒng)穩(wěn)定性分析和參數(shù)調(diào)試的便捷性，僅由輸人2階濾波器和分散PID控制器串聯(lián)組成，控制器的結(jié)構(gòu)簡單，控制參數(shù)較少。對于動力學(xué)特性較為復(fù)雜的柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，只需要根據(jù)理論分析和靜態(tài)懸浮試驗就能夠整定出控制器的參數(shù)，避免在實際旋轉(zhuǎn)過程中調(diào)整參數(shù)。在對該控制器的性能進行仿真分析的基礎(chǔ)上，進行了AMBs-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的實際旋轉(zhuǎn)試驗。此外，在整定了該控制器的參數(shù)后，通過改變轉(zhuǎn)子上不平衡量的大小、位置及相位分布，研究了AMBs-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在不同不平衡量情況下的振動特性和控制效果的變化規(guī)律。

1AMBs-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)模型

1. 1 柔性轉(zhuǎn)子

圖1為本文所研究的AMBs-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及尺寸，主要由3個AMBs軸頸、3個大小不同的剛性圓盤和1個階梯軸等組成。其中中間的AMBs作為電磁激勵源，以模擬轉(zhuǎn)子受到的非同步激勵力。轉(zhuǎn)子通過端部的高速電機拖動，轉(zhuǎn)子的工作轉(zhuǎn)速超過了AMBs支撐條件下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的1階彎曲臨界轉(zhuǎn)速，因此該轉(zhuǎn)子為一個柔性轉(zhuǎn)子。

1.2AMBs的結(jié)構(gòu)及動力學(xué)特性

AMBs為圖2所示磁極按照NNSS分布的8極C形結(jié)構(gòu)，磁極的中心線在 45^° 的方向上。AMBs的線圈采用了差動驅(qū)動模式，每個控制方向上的電磁力是該方向上2組電磁鐵的合力，即

F=F₁-F₂=

式中， F₁ 和 F₂ 分別為上、下組電磁鐵產(chǎn)生的電磁力；μ₀ 為空氣的磁導(dǎo)率； A 為定子磁極面積； N 為磁極線圈匝數(shù)； α 為每個磁極與電磁力方向的夾角； i₀ 為偏置電流； i_x 為控制電流； s₀ 為AMBs的理論氣隙； x 為軸頸距離中心點的距離，即軸頸的偏移位移或振動位移。

為便于理論分析，通常在平衡點附近將電磁力進行1階泰勒展開，可用電流和位移的一次函數(shù)表示為：

F=k_ii_x+k_sx

式中， k_i 和 k_s 分別為AMBs的電流剛度和位移剛度，具體表示為：

電磁力線形化簡化的條件是 x?s₀ 及 i_x?i₀₀ 實際中，由于在克服大不平衡量時AMBs處軸徑的位移以及控制電流較大，該條件并不完全滿足。因此在AMBs的設(shè)計中，應(yīng)當考慮在工作點附近一定區(qū)間內(nèi)AMBs的支承特性。圖3和4為表1所示參數(shù)下，在不同偏置電流 i₀ 和軸頸位置 s₀±x 時計算得到的AMBs電流剛度 k_i 和位移剛度k的變化曲線?？梢娖秒娏?i₀ 對電流剛度和位移剛度有顯著的影響，而AMBs軸頸小范圍內(nèi)偏離中心位移對AMBs的電流剛度和位移剛度的影響不太明顯。

1.3轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)模型

柔性轉(zhuǎn)子具有連續(xù)的質(zhì)量和剛度分布，為了分析其動力學(xué)特性，可將轉(zhuǎn)子離散為由 n 個軸單元組成的模型，恒定轉(zhuǎn)速下利用有限元法可以得到AMBs-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)方程為：

式中， M，D，G 和 K 分別為 4n×4n 維轉(zhuǎn)子的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、陀螺效應(yīng)矩陣和剛度矩陣； 為轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速； F_u 為 4n×1 維的不平衡力向量； F_AMB 為4n×1 維的電磁支承力向量； F_G 為 4n×1 維的重力向量； q 為 4n×1 維的轉(zhuǎn)子廣義節(jié)點位移向量，定義為：

式中， u_xi 和 u_yi 分別為轉(zhuǎn)子第 i 個節(jié)點在水平和垂直方向的位移； θ_xi 和 θ_yi 分別為轉(zhuǎn)子第 i 個節(jié)點平面相對水平和垂直方向的轉(zhuǎn)角。

AMBs-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)方程（5）的齊次解稱為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有特性，其中特征矢量稱為模態(tài)振型，特征值稱為模態(tài)頻率。當不平衡力項 F_u 存在某個模態(tài)頻率相同的分量時，會激發(fā)該模態(tài)。圖5為圖1所示轉(zhuǎn)子的剛體平動、錐動模態(tài)和前3階彎曲模態(tài)的歸一化固有振型。其中兩個AMBs的剛度和阻尼分別為 1.1×10⁶N/m 和 0N?s/m 。圖中，5和32節(jié)點為左端和右端AMBs，7和30節(jié)點為左端和右端電渦流傳感器，15、21和26節(jié)點分別為剛性圓盤A、B和C。

AMBs-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為一個多輸入多輸出系統(tǒng)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)方程的狀態(tài)方程形式為：

式中 為不平衡力的位置矩陣， 其中， T_s 為AMBs的位置矩陣， C_m 為傳感器的位置矩陣 ，I 為單位矩陣。

1.4 模型驗證

利用有限元法得到的AMBs-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)方程的階數(shù)非常高，而實際轉(zhuǎn)子的工作轉(zhuǎn)速有限，只需考慮一定轉(zhuǎn)速內(nèi)的轉(zhuǎn)子動力學(xué)特性，因此通常對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模型進行降階以降低模型的復(fù)雜度。用模型降階法[20]對AMBs-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)模型進行簡化，模型中只保留系統(tǒng)的剛體、前4階前向和后向彎曲模態(tài)振型。為了驗證降階模型的精度，如圖6所示，用橡皮繩將轉(zhuǎn)子自由懸掛，進行模態(tài)試驗測試，得到的頻響函數(shù)（FRF）擬合曲線如圖7所示。用降階模型計算得到與試驗得到的轉(zhuǎn)子前4階模態(tài)頻率如表2所示。

對比可知，試驗得到的轉(zhuǎn)子模態(tài)頻率和用降階模型計算得到的模態(tài)頻率之間的誤差較小，表明所建立AMBs-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的降階動力學(xué)模型是準確可靠的。

2AMBs-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)控制器設(shè)計

2.1 控制器結(jié)構(gòu)設(shè)計

為便于調(diào)試和研究AMBs-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)特性，主控制算法采用了分散的PID控制，即

式中， s 為氣隙長度； K_P，K_I 和 K_D 分別為PID控制器的比例、積分和微分系數(shù)。

對于AMBs-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)來說：

（1）比例系數(shù) K_P 主要影響AMBs的支承剛度。過小的 K_P 無法克服轉(zhuǎn)子的不平衡力而造成轉(zhuǎn)子偏離平衡點而失穩(wěn)，過大的 K_P 會造成AMBs出現(xiàn)鉸支而無法控制彎曲模態(tài)，且容易引起功放電流的飽和。

（2）微分系數(shù) K_D 主要影響AMBs的支承阻尼，增大 K_D 可以提高轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并在過彎曲臨界轉(zhuǎn)速區(qū)時提供控制相位裕度和抑制彎曲振動。但K_D 對高頻擾動的增益也可能會造成控制系統(tǒng)失穩(wěn)。

（3）積分系數(shù) K_I 主要是保證轉(zhuǎn)子懸浮于平衡點，與轉(zhuǎn)子的動態(tài)控制性能的關(guān)系較小，在試驗時取適當?shù)闹导纯伞?/p>

本研究用電渦流傳感器獲取轉(zhuǎn)子的位移。由于受到電機變頻器、AMBs等產(chǎn)生的電磁干擾的影響，傳感器位移信號包含了高頻干擾分量，需要盡可能地將其濾除。為此在PID主控制器前串聯(lián)一個如下式所示的2階低通濾波器：

式中， ω_c 為截止角頻率； ξ 為濾波器的阻尼比。

為了保留轉(zhuǎn)子的前3階彎曲模態(tài)、轉(zhuǎn)速同頻信息和低倍頻信息用于轉(zhuǎn)子的振動控制，取截正角頻率 ω_c=2000πr/s ，濾波器阻尼比 ξ=0.8 。

為了考慮電渦流傳感器和功率放大器的電感特性以及數(shù)字控制系統(tǒng)，包括采樣和控制器等環(huán)節(jié)時滯的影響，可將其等效為一個如下式所示的1階慣性環(huán)節(jié)，即

式中， T_s 為滯后時間常數(shù)，一般取為 T_s=5×10^-5s Q

將控制回路 G_c（s），G_lp（s） 和 G_s（s） 串聯(lián)，就可以得到從傳感器位移偏差信號 x（s） 到對應(yīng)通道控制器輸出的傳遞函數(shù) G（s） 。由于PID控制中積分控制幾乎只與轉(zhuǎn)子的低頻性能有關(guān)，用于保證磁懸浮位置的精度，省略積分項后，有：

其中， α₃=T_s ， α₂=2ξω_cT_s+1 ， α₁=2ξω_c+T_sω_c² α₀=ω_c²，β₁=ω_c²K₁K_D，β₀=ω_c²K₁K_P°

2.2參數(shù)整定和控制穩(wěn)定性分析

將控制器的傳遞函數(shù)（11）轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間方程：

式中， y_i 為4個位移通道的傳感器輸出值； F_AMBi 為AMBs的電磁力； A_c，Bc 和 C_c 分別為 3×3.1× 3和 3×1 的控制器狀態(tài)、輸入和輸出矩陣。

將轉(zhuǎn)子的狀態(tài)空間方程（7）和控制器的狀態(tài)空間方程（12）組合，省略擾動項 EF_u 后，有：

其中，

通過根軌跡法對系統(tǒng)（式（13））的穩(wěn)定性進行分析，根據(jù)虛軸位置分辨各特征值的穩(wěn)定性。對于本文研究的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，在 0～250Hz 范圍內(nèi)轉(zhuǎn)子的剛體平動、錐動、1階彎曲特征值都顯著位于虛軸左側(cè)，更高階的彎曲模態(tài)位于虛軸的右側(cè)或靠近虛軸。改變控制器參數(shù) K_D （即偏置電流 等，結(jié)合在轉(zhuǎn)子靜態(tài)懸浮調(diào)試的經(jīng)驗，整定得到的控制器參數(shù)如表3所示。

圖8為該控制器（式（11））的開環(huán)頻率特性，在10～1000Hz 范圍內(nèi)控制器具有平坦的增益，在剛體模態(tài)頻率段有略高于 0^° 的相位超前，在彎曲模態(tài)頻率段具有 30^° 左右的相位超前，為轉(zhuǎn)子跨越彎曲模態(tài)時提供所需的阻尼。在 0～250Hz 范圍內(nèi)閉環(huán)系統(tǒng)的剛體和前4階模態(tài)的特征值如圖9所示。

當濾波器截止角頻率 ω_c=2000πr/s 時，調(diào)節(jié)參數(shù) K_I 和 K_D 能夠使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛體模態(tài)和1階彎曲模態(tài)特征值具有明顯的負實部。對于2、3階彎曲模態(tài)，其特征值交替地分布在虛軸的左右兩側(cè)，調(diào)節(jié)控制器參數(shù) K_I 和 K_D 只能控制其遠離或者靠近虛軸，而難以使其同時位于虛軸的左側(cè)，也就是說系統(tǒng)的2、3階彎曲模態(tài)存在失穩(wěn)的可能。

考慮到實際的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)與狀態(tài)空間模型間存在一定的差異，模型參數(shù)的攝動和未建模擾動可能對系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生影響。對于臨界穩(wěn)定或不穩(wěn)定的

2、3以及更高階的彎曲模態(tài)，必須通過實際的轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)試驗驗證其是否會被激發(fā)。基于這些考量，控制器的參數(shù)，例如微分參數(shù) K_D 的選取應(yīng)當結(jié)合實際轉(zhuǎn)子懸浮和旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定性。

3 仿真結(jié)果及分析

根據(jù)上節(jié)建立的AMBs-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模型及所設(shè)計的1階彎曲臨界轉(zhuǎn)速區(qū)的控制器，使用simulink對AMBs-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動特性進行仿真。仿真中使用與試驗相同的控制參數(shù)，通過慢勻加速仿真結(jié)果來得到AMBs-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)對不同頻率激勵力的響應(yīng)特性，用于預(yù)測和估計轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)。

在C盤添加不平衡量 500g?mm∠0^° 條件下，對AMBs-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行 1000r/min 的恒加速響應(yīng)仿真，得到A及B端傳感器及AMBs處轉(zhuǎn)子在垂直方向上的位移響應(yīng)曲線如圖10所示的。

可以觀察到，在該不平衡量條件下，轉(zhuǎn)子的振動位移最大約為 0.1mm ，出現(xiàn)在 1200～3000r/min 的剛體模態(tài)附近。轉(zhuǎn)子的1階彎曲模態(tài)出現(xiàn)在10200r/min 附近，比自由懸掛狀態(tài)下的模態(tài)頻率略高。B端傳感器及AMBs位置處轉(zhuǎn)子的振動顯著大于A端傳感器及AMBs位置處轉(zhuǎn)子的振動。

在 0～15000r/min 的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，AMBs和傳感器節(jié)點的振動形式相似，可以認為該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)傳感器不同位效應(yīng)[21]的影響有限。

圖11為仿真得到的AMBs-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)全部36個節(jié)點振動位移在整個轉(zhuǎn)速域內(nèi)的幅值包絡(luò)線?？梢姡?1800～3000r/min 轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)剛體平動和錐動模態(tài)存在顯著的耦合；在 10200r/min 附近轉(zhuǎn)子穿越1階彎曲模態(tài)時，右側(cè)傳感器和AMBs處轉(zhuǎn)子的振動比非臨界區(qū)的振動小，左側(cè)傳感器和AMBs處轉(zhuǎn)子的振動出現(xiàn)了明顯的振動峰值。

在1階彎曲臨界轉(zhuǎn)速 （10200r/min） 以上的超臨界內(nèi)，兩側(cè)AMBs及其外部節(jié)點 （1～5，32～36） 的振動幅值逐漸增大，而對應(yīng)傳感器節(jié)點的振動幅值受反饋控制幾乎不變化，說明控制器在 15000r/min 以上的超臨界轉(zhuǎn)速區(qū)可能會逐漸失穩(wěn)，驗證了控制器穩(wěn)定性分析中存在的2階及以上模態(tài)的不穩(wěn)定性。

4試驗結(jié)果及分析

AMBs-柔性轉(zhuǎn)子試驗系統(tǒng)由柔性轉(zhuǎn)子、AMBs、聯(lián)軸器、驅(qū)動電機、變頻器、電渦流傳感器、功率放大器、d-Space控制平臺和PC機等構(gòu)成，如圖12和13所示。圖13中 ω 為角速度， U_x 為位移傳感器的輸出電壓， U_c 為控制器的輸出電壓， i_c 為控制電流。

AMBs-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)控制回路的硬件基于d-Space平臺。d-Space運動控制平臺由處理板、模數(shù)轉(zhuǎn)換輸入板（A/D）數(shù)模轉(zhuǎn)換輸出板（D/A）和上位機4部分構(gòu)成，系統(tǒng)的采樣頻率為 20kHz ?？刂破魍ㄟ^simulink仿真模型搭建，d-Space軟件將控制程序編譯后寫入控制板硬件。d-Space控制板與功率放大器的D/A口和傳感器輸出電壓的A/D口構(gòu)成閉環(huán)的控制回路。

4.1轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模擬旋轉(zhuǎn)實驗

為了預(yù)估AMBs-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在實際旋轉(zhuǎn)運行條件下的振動，先用控制器對轉(zhuǎn)子進行靜態(tài)懸浮，然后在控制電流中加入模擬旋轉(zhuǎn)同頻不平衡力的正弦電流分量，得到模擬旋轉(zhuǎn)時A及B端傳感器處轉(zhuǎn)子在水平及垂直方向（AX及AY、BX及BY，下同）上的位移響應(yīng)如圖14所示。

結(jié)果表明，在 1200～3000r/min（20～50Hz） 的低速區(qū)，出現(xiàn)了明顯的剛體模態(tài)振動，振動位移超過 0.1mm ；但在剛體臨界轉(zhuǎn)速以上的 5000～ 12500r/min 轉(zhuǎn)速區(qū)，轉(zhuǎn)子的振動都能夠得到有效抑制，振動位移在 0.01mm 左右。在 10200r/min （ 170Hz 位置出現(xiàn)了1階臨界彎曲模態(tài)，但尖峰較小，約為 0.03mm 。所以，所設(shè)計的控制器對柔性模態(tài)的振動抑制效果明顯。

根據(jù)圖5所得到的轉(zhuǎn)子振型進行推算，在剛體臨界轉(zhuǎn)速區(qū)內(nèi)，左側(cè)AMBs處轉(zhuǎn)子的位移不大于0.125mm 、保護軸承處轉(zhuǎn)子的位移不大于 0.15mm 。在1階彎曲臨界區(qū)域內(nèi)，右側(cè)AMBs處轉(zhuǎn)子的位移不大于 0.06mm 、保護軸承處轉(zhuǎn)子的位移不大于0.12μm ?？紤]到保護軸承的間隙為 0.25mm ，AMBs的單邊間隙為 0.4mm ，模擬旋轉(zhuǎn)表明該控制器能夠保證足夠的安全位移裕度，避免轉(zhuǎn)子在旋轉(zhuǎn)試驗中出現(xiàn)的轉(zhuǎn)子與備用軸承碰撞的風險。

將圖14掃頻試驗得到的AMBs-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動位移與圖11仿真得到的轉(zhuǎn)子振動位移相比，發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)子振動幅值隨激勵頻率的變化有明顯不同，其主要原因是仿真中施加的不平衡量位于中間剛性圓盤上，而掃頻實驗的不平衡激勵在2個AMBs處。

仿真得到的AMBs-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛體平動、錐動和1階彎曲峰值頻率分別為30.43、50.72和171.01Hz 。掃頻試驗得到的3個振動峰值頻率分別為30.05、41.07和 170.05Hz 。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)剛體平動模態(tài)的頻率和1階彎曲模態(tài)的頻率的仿真與試驗結(jié)果比較一致。剛體錐動模態(tài)的頻率的仿真與試驗結(jié)果的差異較大，可能是由于剛體平動模態(tài)和錐動模態(tài)的頻率區(qū)間重合，相互耦合導(dǎo)致的。

4.2轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)試驗和不平衡響應(yīng)

在搭建的AMBs-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)試驗臺上進行了旋轉(zhuǎn)試驗。PID控制器的參數(shù)采用表3整定的參數(shù)。轉(zhuǎn)子先以約100 ）（r/min）/s 的慢加速運行到超臨界轉(zhuǎn)速 13500r/min（225Hz） 的額定轉(zhuǎn)速，在額定轉(zhuǎn)速穩(wěn)定后再以約150（ .r/min ）/s慢減速度運行到停車。

為研究AMBs-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)特性，對轉(zhuǎn)子施加不平衡量并測量了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在慢加速運行過程中的不平衡響應(yīng)。通過在圓盤面上不同位置添加 6g 的小質(zhì)量塊以施加不平衡量，考慮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在加工、運輸和裝配過程中產(chǎn)生的殘差不平衡量，實際的不平衡量為二者的向量和。

通過在剛性圓盤C的不同方向上添加不平衡質(zhì)量塊，進行旋轉(zhuǎn)不平衡試驗，得到了14組轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在升速和降速過程中的不平衡振動位移和電流響應(yīng)。14組不平衡的大小和圓周分布如圖15所示。為直觀地觀察14組不平衡量的影響，每組實驗在轉(zhuǎn)速為 5970～6030r/min（99.5～100.5Hz） 區(qū)的平均振動位移和控制電流分布分別如圖16和17所示。從圖中可以看出，不平衡響應(yīng)的分布具有明顯的偏置圓特征，說明該轉(zhuǎn)子具有可觀的殘差不平衡量。由實驗數(shù)據(jù)確定出轉(zhuǎn)子不平衡位移最小的為第5組，即不平衡量 540g?mm∠20^° 。

在第5組不平衡量 540g?mm∠20^° 及與第5組不平衡量位置相反的第3組不平衡量 1026g?mm∠180^°條件下A和B端傳感器處轉(zhuǎn)子在水平及垂直方向上的不平衡位移響應(yīng)試驗結(jié)果分別如圖18和19所示。

在不平衡量為 540g?mm∠20^° 的條件下，轉(zhuǎn)子原有的殘差不平衡量得到了補償，轉(zhuǎn)子的振動幅值較小，在剛體模態(tài)轉(zhuǎn)速區(qū)轉(zhuǎn)子的振動位移小于0.1mm ，其余轉(zhuǎn)速下振動位移小于 0.03mm ，并且B端傳感器處轉(zhuǎn)子在1階彎曲臨界轉(zhuǎn)速區(qū)的振動出現(xiàn)峰值，支承的穩(wěn)定性提高。

在不平衡量為 1026g?mm∠180^° 的條件下，轉(zhuǎn)子的振動幅值顯著變大，振動位移在很多轉(zhuǎn)速下都大于 0.05mm ，特別是B端傳感器處轉(zhuǎn)子在1階彎曲臨界轉(zhuǎn)速區(qū)的振動比非臨界轉(zhuǎn)速區(qū)的振動還小。這個現(xiàn)象與仿真計算得到的波形圖10和11是相似的，說明大不平衡量較大時，AMBs的支承力對轉(zhuǎn)子的振型產(chǎn)生了顯著影響，迫使振型節(jié)點位置接近B端傳感器位置。

4.3轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡響應(yīng)的頻譜特性

為了分析轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡響應(yīng)的頻譜特征，對試驗測量得到的轉(zhuǎn)子振動位移信號進行短時傅里葉變換。傅里葉變換的窗口長度為1024個采樣點，頻率上限 1kHz 。以A和B端傳感器處轉(zhuǎn)子垂直方向（AY及BY）上的振動為例，得到了如圖20和21所示的頻譜圖。

在A和B端傳感器處轉(zhuǎn)子垂直方向上的振動位移頻譜中都可以觀察到明顯的同頻分量 ω 、剛體模態(tài)分量B和比較顯著的二倍頻分量 2ω ，其中二倍頻分量通常是傳感器檢測面圓周的不均勻造成的[22]。

在同頻分量和剛體模態(tài)的重合頻率附近出現(xiàn)了明亮豎線條紋，說明在此轉(zhuǎn)速區(qū)，轉(zhuǎn)子運動的周期性弱化，處于近失穩(wěn)狀態(tài)。在1階彎曲臨界轉(zhuǎn)速附近出現(xiàn)了較短的明亮豎線條紋，說明AMBs控制器對彎曲模態(tài)的抑制更強。

試驗中，B端傳感器靠近電機驅(qū)動端，B端傳感器的振動頻譜圖中，在轉(zhuǎn)速的多倍頻處，如 3ω，4ω /5ω等的振動能量也比較明顯。主要原因是B端傳感器靠近電機的驅(qū)動端，受到更多的電磁場干擾和聯(lián)軸器的影響，產(chǎn)生了多頻諧波。

在傳感器處垂直方向轉(zhuǎn)子振動的頻譜圖中出現(xiàn)了3階彎曲模態(tài)D，而2階彎曲模態(tài)特征不明顯，這是由于傳感器安裝位置（圖5中的7及30節(jié)點）靠近2階彎曲模態(tài)振型的節(jié)點，降低了2階彎曲模態(tài)的可觀性。3階模態(tài)的節(jié)點位于AMBs和傳感器之間，以傳感器出轉(zhuǎn)子的位移為目標的控制器就不能有效抑制3階彎曲模態(tài)的振動，出現(xiàn)了明顯的3階彎曲模態(tài)的振動。

圖22是超臨界 13500r/min 恒定轉(zhuǎn)速下A和B端傳感器處的轉(zhuǎn)子在水平及垂直方向上的位移信號的時間歷程和頻譜圖。可以看出，A端傳感器處轉(zhuǎn)子的振動位移在 0.03mm 以內(nèi)，B端傳感器處轉(zhuǎn)子的振動位移在 0.015mm 以內(nèi)。一般情況下，轉(zhuǎn)子位移信號中同頻信號占主導(dǎo)部分，但也存在一些低頻和高頻諧波。從位移時間歷程圖上可以看出，同頻振動分量幾乎被噪聲所掩蓋，也就是同頻振動被抑制到了傳感器精度和電磁干擾所能夠允許的最低程度。在改善不平衡分布的情況下，AMBs-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在超臨界的 13500r/min 轉(zhuǎn)速下能夠保證控制系統(tǒng)的高控制性能。

5結(jié)論

為了使AMBs-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)能夠平穩(wěn)地通過1階彎曲臨界轉(zhuǎn)速區(qū)，本文建立了AMBs-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)模型，設(shè)計了由輸入2階濾波器和分散PID控制器串聯(lián)組成的控制器，并對控制器的性能進行了仿真分析，在搭建的AMBs-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)試驗臺上進行了模擬旋轉(zhuǎn)和實際旋轉(zhuǎn)試驗，測量了多組不平衡量條件下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡位移響應(yīng)及電流響應(yīng)，分析了轉(zhuǎn)子的不平衡分布對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動特性的影響，得到如下結(jié)論：

（1）本文設(shè)計的由輸入2階濾波器和分散PID控制器串聯(lián)組成的控制器，能夠使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)順利地通過1階彎曲臨界轉(zhuǎn)速區(qū)；

（2）所設(shè)計的由輸入2階濾波器和分散PID控制器串聯(lián)組成的控制器的結(jié)構(gòu)簡單，易于設(shè)計和整定參數(shù)，有效避免了控制器調(diào)試過程中造成的試驗臺失穩(wěn)碰撞的風險，該算法設(shè)計僅需要柔性轉(zhuǎn)軸和電磁軸承等部件的基本幾何尺寸，不需要對實際模型參數(shù)進行辨識和估計，控制器階數(shù)低，對噪聲擾動和模型誤差的敏感性較低，能夠在傳感器信噪比容許的范圍內(nèi)將振動位移限制在較小范圍內(nèi)；

（3）對主動AMBs-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動位移的頻譜分析表明，轉(zhuǎn)子的振動除了同頻振動以外，主要由多倍頻振動信號和剛體臨界頻率以下的低頻擾動為主。

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第一作者：湯加鈺（1999一），男，碩士研究生。 E-mail：3170105733@zju.edu.cn

通信作者：祝長生（1963一），男，博士，教授。 E-mail：zhu_zhang@zju.edu.cn