橋梁時變可靠性的概率密度演化分析方法

關(guān)鍵詞：概率密度演化理論；時變可靠性；在役橋梁；Dirac序列解 中圖分類號：O211.9；O213.2；U441.2文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.202306037

Probability density evolution analysismethod for bridge time-dependentreliability

ZHOU Heng1，F(xiàn)AN Xueping1，2，LIU Yuefei1，22 （1.SchoolofCivilEngineeringandMchanics，LanzhouUniversityLanzhou730oo，China;2.KeyLaboratoryofechanicson DisasterandEnvironmentinWesternChina，heMinistryofEducation，Lanzhou University，Lanzhou73Ooo，China）

Abstract：Existingbridgesundergotime-varyingloadefectsandresistancedegradationduringservice.Thecomplexloadsanddi versefailuremodesmaketheexistingbridgesfacegreaterrisks inservice.Therefore，itisurgenttomaketime-dependentreliability assessmentfortheservicebridges.Theclassicaltime-varyingreliabilityanalysismethodismorecomplexanddificultasthenumberofrandomvariablesincreases.Inthispaper，probablitydensityevolution theoryis introducedtosolvetheaboveproblem， which is more advantageous forsolvingthereliabilityofcomplexstructures withmultiplerandomvariables.Thedynamicreliability oftheexistingbridgeinserviceabilityimitstateandultimatelimitstateisanalyzedbyconsideringthebridgeresistancedegadation andloadeffectincrease，aswellasthetimevaryingfactorssuchasshrinkageandcrepefectofconcretebridges.Theaccuracy andcomputationaleficiencyforthismethodarecomparedwiththeMonteCarlomethod，andtheeffectivenessoftheproposed method is verified.

Keywords：probabilitydensityevolutionmethod;time-dependentreliability;bridges inservice;Diracsequencesolution

服役橋梁動態(tài)可靠性已成為橋梁工程領(lǐng)域和結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測領(lǐng)域亟需解決的關(guān)鍵問題和研究熱點(diǎn)之一，可以為橋梁維修決策以及預(yù)防性維修決策提供理論基礎(chǔ)。在隨機(jī)變量概率分布已知的情況下，結(jié)構(gòu)的動態(tài)可靠性可以通過直接概率積分或者數(shù)值模擬方法求得，目前傳統(tǒng)的可靠性計算方法包括：泊松過程方法[1]、一階可靠性方法（FORM）[2]、二階可靠性方法（SORM）[3以及重要性抽樣蒙特卡羅方法（ISMCM）[4等。泊松過程方法較為簡單，但只適用于特殊情況。對于時變系統(tǒng)而言，F(xiàn)ORM、SORM和ISMCM計算復(fù)雜，因為它們都是基于最容易失效點(diǎn)展開分析，而最不利的點(diǎn)通常隨時間而變化。經(jīng)典意義上的結(jié)構(gòu)時變可靠性主要研究成果包括跨越過程理論和擴(kuò)散過程理論。其中，基于跨越過程理論的方法最早來自RICE對電子系統(tǒng)可靠性的研究[5]。在此基礎(chǔ)上引人Poisson假定，可以獲得指數(shù)形式的結(jié)構(gòu)可靠度解答[6]，但是Poisson假定忽略了隨機(jī)過程不同時點(diǎn)的相關(guān)性，按此假定分析結(jié)果往往具有較大誤差。20世紀(jì)70年代初，VAN-MARCKE引入兩態(tài)Markov過程假定，建立了結(jié)構(gòu)動力可靠性的基本分析公式[7-8]，這一方法在工程中得到了較為廣泛的應(yīng)用。采用跨越過程理論分析結(jié)構(gòu)動力可靠度，需要計算期望穿越率，這一計算原則上需要結(jié)構(gòu)響應(yīng)位移與速度的聯(lián)合概率密度函數(shù)，而獲取一般非線性系統(tǒng)的響應(yīng)及其導(dǎo)數(shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)通常具有極大的難度。因此，必須引人Gaussian聯(lián)合分布假定[9-10]。事實(shí)上，動力可靠度問題本質(zhì)上是無窮個時點(diǎn)失效事件的串聯(lián)問題，僅僅采用兩個時點(diǎn)的二維聯(lián)合分布信息，在本質(zhì)上不可能獲得精確的結(jié)果。

值得注意的是，LI等[11-3]基于物理隨機(jī)系統(tǒng)的基本思想，較為系統(tǒng)地發(fā)展了隨機(jī)系統(tǒng)分析的概率密度演化理論（probabilitydensity evolution method，PDEM），通過概率守恒原理的隨機(jī)事件描述，建立了隨機(jī)系統(tǒng)的廣義概率密度演化方程，發(fā)展了基于概率密度演化理論的結(jié)構(gòu)整體可靠度分析方法，并在大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)體系可靠度分析中得到應(yīng)用。PDEM最初用于動力系統(tǒng)的概率分析，但在推導(dǎo)廣義概率密度演化方程的過程中，發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程不是必要的，因此，PDEM同樣可以推廣應(yīng)用到結(jié)構(gòu)的動態(tài)可靠度分析中。在此基礎(chǔ)上，應(yīng)用概率密度演化理論進(jìn)行結(jié)構(gòu)全壽命周期的可靠性分析也有了一些新進(jìn)展，如：概率測度變換方法[14-15]、直接概率積分法[16]等。

現(xiàn)有鋼筋混凝土橋梁時變可靠性的研究中，通常將截面的抗彎承載力視為廣義抗力[1]，荷載通常被簡化為平穩(wěn)的隨機(jī)過程[18]。為了進(jìn)行實(shí)際復(fù)雜結(jié)構(gòu)的可靠性分析，考慮收縮蠕變的不確定影響，TONELLI等[19基于預(yù)應(yīng)力混凝土橋的健康監(jiān)測數(shù)據(jù)，使用馬爾科夫鏈蒙特卡羅（MCMC）方法進(jìn)行貝葉斯推斷，盡管利用重要性抽樣（IS）一定程度上可以提高可靠性評估的計算效率，但其使用還是受到計算成本等的限制[20]

本文基于概率密度演化理論，綜合考慮了服役橋梁時變可靠性分析中涉及的隨機(jī)變量和隨機(jī)過程。在分析橋梁的正常使用極限狀態(tài)和承載力極限狀態(tài)時，分別將撓度和截面彎矩視為所關(guān)心的物理量，這些物理量的概率密度函數(shù)（PDF）在隨機(jī)動力系統(tǒng)（橋梁結(jié)構(gòu)）中隨著時間的推移而演化。通過求解概率密度演化方程，可以獲得結(jié)構(gòu)時變功能函數(shù)的概率解答，也就是概率密度演化過程。然后只需對各時刻相應(yīng)的PDF進(jìn)行一維積分，便可得到最終的時變可靠度。

1概率密度演化理論

經(jīng)典結(jié)構(gòu)可靠性分析本質(zhì)是基于結(jié)構(gòu)破壞的現(xiàn)象學(xué)分析。而概率密度演化理論是基于物理研究隨機(jī)系統(tǒng)的基本思想，從隨機(jī)性在物理系統(tǒng)中的傳播角度來考察和理解結(jié)構(gòu)可靠度分析原理。根據(jù)這一思想，結(jié)構(gòu)受力物理過程、結(jié)構(gòu)損傷-破壞-失效的物理過程與結(jié)構(gòu)響應(yīng)的概率密度分布的演化過程息息相關(guān)，據(jù)此，進(jìn)一步引入結(jié)構(gòu)失效的物理準(zhǔn)則，就可直觀地給出結(jié)構(gòu)在時域上的可靠度。

1. 1 概率守恒原理

在確定性的物理力學(xué)系統(tǒng)中，質(zhì)量守恒、動量守恒與能量守恒具有基礎(chǔ)性的原理地位。在隨機(jī)系統(tǒng)中，也存在類似的基本原理，即概率守恒原理。這一原理指出，對于保守的隨機(jī)系統(tǒng)，在系統(tǒng)狀態(tài)的演化過程中概率守恒[20-21]。所謂保守的隨機(jī)系統(tǒng)是指在該系統(tǒng)的狀態(tài)演化過程中，既沒有隨機(jī)因素消失，也沒有新的隨機(jī)因素產(chǎn)生。概率守恒原理可以闡釋為：隨機(jī)源決定的概率測度，在數(shù)學(xué)和物理變換中守恒，即物理規(guī)律并不因系統(tǒng)含有隨機(jī)性而改變。為了進(jìn)一步說明這一原理，可以從兩種不同角度對其進(jìn)行描述：隨機(jī)事件的角度和狀態(tài)空間的角度[22]。

1.1.1概率守恒原理的隨機(jī)事件描述

對于動態(tài)系統(tǒng)，系統(tǒng)狀態(tài)在任意時段發(fā)生演化，而演化的過程服從具體的物理規(guī)律，那就是同一隨機(jī)事件的概率測度不發(fā)生變化。若區(qū)域范圍內(nèi)所有隨機(jī)事件的概率測度都不發(fā)生變化，則系統(tǒng)的概率守恒。用隨機(jī)事件方式表述概率守恒原理為：

式中 表示對事件的導(dǎo)數(shù)； 表示給定隨機(jī)事件（或隨機(jī)事件集合）在 t 時刻的狀態(tài)域； ?_Y（y，t） 表示系統(tǒng)狀態(tài)變量 Y 隨時間的概率密度函數(shù)， y 表示積分變量。

1.1.2概率守恒原理的狀態(tài)空間描述

在一確定狀態(tài)空間中，隨著系統(tǒng)狀態(tài)變化，與系統(tǒng)相對應(yīng)的概率也將發(fā)生流動。然而，在任意時間段 對于給定區(qū)域 ，區(qū)域內(nèi)的概率增量將等于通過區(qū)域邊界 ?Ω 流入的概率和流出的概率的代數(shù)和，即

利用這一表述，結(jié)合不同類型的物理方程，可以導(dǎo)出經(jīng)典的概率密度演化方程，如Liouville、Fokker-Planck-Kolmogorov（FPK）方程和DostupovPugachev （DP）方程[21]。因此可以說，概率守恒原理的狀態(tài)空間描述建立了經(jīng)典概率密度演化方程的統(tǒng)一邏輯基礎(chǔ)。

1.2廣義概率密度演化方程

利用概率守恒原理的隨機(jī)事件描述，可以導(dǎo)出廣義概率密度演化方程（generalizedprobabilitydensity evolution equation，GPDEE）[23]：

式中， ?_ZΘ 表示聯(lián)合密度函數(shù)； 為狀態(tài)向量第 i 個分量 Z_i 在單位時間內(nèi)的變化率； θ 為影響系統(tǒng)狀態(tài)的基本參數(shù)； n 為系統(tǒng)狀態(tài)向量 Z 的維數(shù)； t 為時間變量。當(dāng)僅考察一個具體的物理量時，多維偏微分方程退化為一維的偏微分方程。通常在實(shí)際問題中，只需求解 i=1 時的一般概率密度演化方程，即

式中， 為系統(tǒng)狀態(tài)變量 z 在單位時間內(nèi)的變化率，上式揭示了隨機(jī)性在物理系統(tǒng)中的傳播規(guī)律[23]。事實(shí)上，對于隨機(jī)性影響不可忽略的物理系統(tǒng)，所關(guān)心的是本源隨機(jī)性 Θ （文中指的是影響系統(tǒng)狀態(tài)的基本參數(shù) θ 所具有的隨機(jī)性，是如何經(jīng)過物理系統(tǒng)的作用轉(zhuǎn)化（傳播）為系統(tǒng)響應(yīng)的隨機(jī)性。概率密度演化理論中自標(biāo)物理量 z 與本源隨機(jī)性 Θ 的聯(lián)合概率分布 ?_zΘ 關(guān)于時間 t 的變化率與關(guān)于系統(tǒng)狀態(tài)變量 z 的變化率在每一時刻均成比例，比例系數(shù)是，它為系統(tǒng)狀態(tài)在t時刻的綜合變化率。這就十分清楚地說明：系統(tǒng)物理狀態(tài)的變化促成了概率密度的演化。

1.3概率密度演化方程的數(shù)值求解

若隨機(jī)參數(shù)與初始條件無關(guān)，則由概率密度函數(shù)定義的本質(zhì)，可以給定一維形式的概率密度演化方程初始條件：

式中， z₀ 為 z（t） 在 t₀ 點(diǎn)的確定性初始值； δ（?） 為Diracdelta函數(shù)； ?_Θ（θ） 為 Θ 的概率密度函數(shù)。采用微分方程求解理論的特征線法[24]可得解析解。但通常實(shí)際工程更為關(guān)心的是系統(tǒng)狀態(tài)變量 z 的概率分布密度隨著時間推演而發(fā)展變化的過程，即概率密度演化過程，而不僅僅是廣義概率密度演化方程的解。所以只需要關(guān)注 z（t） 的概率密度函數(shù)：

求解這一過程往往很難得到解析解，故采用數(shù)值方法。

1.3.1 Dirac序列解法[20.25]

Dirac函數(shù)作為一個廣義函數(shù)簇，也被稱為分布函數(shù)，可以看作是滿足一定條件的函數(shù)序列，即無窮個 δ 函數(shù)按照一定順序排列。

將一個隨機(jī)動力系統(tǒng)及其初始條件記為： G（Z，Θ，t），Z（t₀）=z₀ ，其中 為系統(tǒng)的 n 維狀態(tài)向量， Θ^（s） 代表隨機(jī)源的 σ_s 維向量。對于系統(tǒng)的概率密度演化方程，若存在唯一解答，則其解答為 Π_Θ 的函數(shù)，記為： Z=G（Z₀，θ，t） ，由全概率公式， Z 的概率密度函數(shù)表示為：

式中， z_i 為第 i 個狀態(tài)變量； G_i 為第 i 個狀態(tài)功能函數(shù)。

被積函數(shù)為多維Dirac函數(shù)，即一系列一維 δ 函數(shù)序列相乘，進(jìn)行積分計算時可以將 δ 函數(shù)進(jìn)行平滑處理以達(dá)到數(shù)值近似。通常存在多種一維 δ 函數(shù)序列，如：

（1）均勻分布形式：

（2）正態(tài)分布形式：

（3）諧波函數(shù)形式：

式中， H（θ） 和 λ 分別表示均勻分布的隨機(jī)變量和基本參數(shù)。

理論上以上三種形式都可以近似替代式（7）中的 δ[z-G（θ，t） 1，但近似效果有所不同：式（8）中函數(shù)序列在其定義域中是不連續(xù)的，因此會使數(shù)值結(jié)果不連續(xù)；式（10）中函數(shù)序列在任何階次都是平滑的，但可能導(dǎo)致結(jié)果產(chǎn)生高頻振蕩。由于所求結(jié)果為概率密度函數(shù)，所以要求近似結(jié)果保證非負(fù)性，并滿足概率的一致性條件，故采用式（9）進(jìn)行平滑：

進(jìn)一步地，式（7）中 ?_Z（z，t） 的分量可寫為：

式中， 為選取的代表點(diǎn)，其中 N_sel 為有效選點(diǎn)個數(shù)； ?_q 為代表點(diǎn)

的分配概率（稱賦得概率）； σ 為光滑參數(shù)，目前由計算經(jīng)驗確定，可采取CHEN等[25]的建議取值：

式中， A∈[0，1] 為平滑系數(shù)； N 為概率空間剖分后積分點(diǎn)的數(shù)目； std [表示 N 個代表點(diǎn)物理量的標(biāo)準(zhǔn)差；iqr[]表示 N 個代表點(diǎn)物理量的四分位數(shù)間距（即 25%～75% ）。

1.3.2數(shù)值方法求解步驟

步驟1選點(diǎn)：根據(jù)隨機(jī)源的個數(shù)確定概率空間的維數(shù)，確定所選取代表點(diǎn)的總數(shù) N 。

步驟2概率空間剖分和賦得概率計算：對基本隨機(jī)參數(shù)的值域空間進(jìn)行剖分，根據(jù)各變量的邊緣分布計算各剖分單元的賦得概率 ?_q

式中， 表示參數(shù)的值域空間。

對每一剖分單元，有 則概率密度演化方程變?yōu)橐幌盗蟹匠探M：

式中， 表示狀態(tài)變量 Z_q 的變化率； n 表示選點(diǎn)數(shù)。

初始條件：

步驟3點(diǎn)集重整化：將初步得到的點(diǎn)集按照最優(yōu)化的準(zhǔn)則生成重整化的代表點(diǎn)集，并根據(jù)上一步的操作進(jìn)行概率空間剖分和賦得概率計算。

步驟4Dirac序列近似求解：根據(jù) θ_q ，得到系統(tǒng)物理響應(yīng)表達(dá) G（θ_q，t） ，然后根據(jù)式（12）得出?_ZΘ（z_i，θ，t） □

步驟5對 ?_ZΘ（z_i，θ，t） 關(guān)于 θ 進(jìn)行數(shù)值積分，給出系統(tǒng)響應(yīng)的概率密度解答，即

2 概率空間剖分和賦得概率計算

在概率空間中，積分點(diǎn)表示可能的隨機(jī)事件，積分點(diǎn)分配的權(quán)重表示相應(yīng)隨機(jī)事件的概率度量。因此，積分點(diǎn)和權(quán)重也分別稱為代表點(diǎn)集和賦得概率[26]。

2.1 概率空間的Voronoi集合剖分

記 s 維隨機(jī)向量 Θ^（s） 的值域空間為 ，將 剖分為若干個互不相容的子域的集合。采用 Vo^- ronoi集合剖分，其具有幾何意義清晰、計算方便的

優(yōu)點(diǎn)，因而得到了廣泛應(yīng)用。以 θ_q 為核心的Voronoi子域 {V_q}_q=1ⁿ 的定義為：

對任意 q=1，2，…，n ，有：

式中， θ=（θ₁，θ₂，…，θ_s）∈Ω_θ 表示分布空間 中的點(diǎn) ? 表示Euclid距離。二維平面上，Voronoi集合是由某點(diǎn)與周圍各點(diǎn)中垂線圍合而成的最小區(qū)域。

圖1和圖2分別給出了二維和三維均勻分布概率空間的代表點(diǎn)和Voronoi單元。任意點(diǎn)集的Voronoi集合具有如下性質(zhì)：

（1）所有Voronoi子集構(gòu)成分布空間 的一個完整剖分；

（2）所有Voronoi子集所包含的區(qū)域都是凸的；

（3）對于給定點(diǎn)集與分布空間，Voronoi集合部分是唯一的。

由于所選取的點(diǎn)集在概率空間內(nèi)要代表實(shí)際變量的概率分布，即代表點(diǎn)集的優(yōu)劣直接影響系統(tǒng)概率密度的計算精度。為使得所選點(diǎn)集的各邊緣經(jīng)驗分布盡量接近真實(shí)邊緣概率分布，其效果上是按所選點(diǎn)集進(jìn)行概率空間剖分后，各單元的賦得概率彼此接近、盡量均勻。介于此，形成分兩步的選點(diǎn)法：① 選取初始點(diǎn)集； ② 點(diǎn)集重整化。

初始點(diǎn)集的選取首先是要在幾何空間0，1中選取均勻點(diǎn)集，實(shí)現(xiàn)這一步驟可采用數(shù)論法[2]球切點(diǎn)法[28]和Sobol序列選點(diǎn)法[29]。本研究選取數(shù)論選點(diǎn)法，按照華-王方法[30]產(chǎn)生離散代表點(diǎn)。

數(shù)論方法（number-theoreticmethods，NTM）的產(chǎn)生是基于多元數(shù)值積分的需要，KOROBOV[31]給出高維矩形上生成均勻布點(diǎn)的方法，此法與蒙特卡羅方法有許多共同點(diǎn)，故也稱偽蒙特卡羅方法。據(jù)數(shù)論研究：引人整數(shù)向量 （nQ₁Q₂…Q_n） ，可生成[0，1]空間中的均布點(diǎn)集 P_NTM 如下：

式中， int（?） 表示取不大于括號中數(shù)值的整數(shù)。按照上述取點(diǎn)方法，可使均布點(diǎn)集有較小偏差，整數(shù)向量 的取值隨維度變化而不同，具體取值參考文獻(xiàn)[30]。

2.3賦得概率計算和點(diǎn)集重整化

記隨機(jī)向量 ?Θ 的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 ρ_Θ（θ）= 為樣本空間中的點(diǎn)。對于給定點(diǎn)集 M_n={θ_q}_q=1ⁿ ，與Voronoi剖分子集相對應(yīng)的賦得概率為：

式（19）表明，賦得概率實(shí)際上是隨機(jī)事件在概率空間發(fā)生的概率，顯然，這一概率由 Π_Θ 的聯(lián)合概率分布和 V_q 的形狀共同決定。其中 V_q 為給定點(diǎn)集中第 q 個代表點(diǎn)Voronoi元胞的體積，對于二維隨機(jī)變量， V_q 即為Voronoi元胞的面積。對于求解問題的維度 s?4 的情況，加之Voronoi區(qū)域不規(guī)則，通常難以得到式（19）的解析積分，則需借助蒙特卡羅思想，在Voronoi區(qū)域外接超球體，并在此區(qū)域中撒入均布點(diǎn)，通過落人區(qū)域的測試點(diǎn)數(shù)與撒入的總點(diǎn)數(shù)之比近似求得 V_q ，具體步驟可參考文獻(xiàn)[32]。

得到初始點(diǎn)集和相對應(yīng)的 ?_q 后，還需要進(jìn)一步對點(diǎn)集重整化。由于采用的數(shù)論方法需要定義一個均勻性量度，CHEN等[33]定義了一種廣義F偏差（GF偏差）的概念，并根據(jù)最小化GF偏差的準(zhǔn)則達(dá)到提高計算精度的目的。GF偏差定義為：

式中， F_i（θ） 為第 i 個隨機(jī)變量的邊緣累計分布函數(shù)；

F_n，i（θ） 為考慮賦得概率的經(jīng)驗累計分布函數(shù)，即：以積分點(diǎn)坐標(biāo) （θ_q，1，θ_q，2，…，θ_q，n） ， q=1，2，…，N 為設(shè)計變量，GF偏差最小化為目標(biāo)，采用優(yōu)化算法對生成的點(diǎn)集進(jìn)行GF偏差最小化重整，將優(yōu)化后的積分點(diǎn)坐標(biāo)作為新的積分點(diǎn)。具體重整過程分以下兩步：

步驟1調(diào)整初始點(diǎn)集位置，以減少各剖分單元賦得概率間的差異。設(shè)初始點(diǎn)集 P_n0=（θ_q，j） ，則可取第一步重整后的點(diǎn)集為：

式中， ，F(xiàn)_j（?） 為第 j 個隨機(jī)向量的邊緣概率分布； ?I（?） 為示性函數(shù)。記由此得到的點(diǎn)集為 P_n1 。

步驟2對于點(diǎn)集 P_n1 ，按照Voronoi劃分方式，依據(jù)式（14）計算各剖分單元的賦得概率 ρ_q（q= 1，2，…，n） ，再依據(jù)下式進(jìn)一步調(diào)整 P_n1 中各點(diǎn)坐標(biāo)，以進(jìn)一步得到GF偏差最小化的點(diǎn)集，即?。?/p>

經(jīng)過上述重整后的點(diǎn)集 P_n2 即為目標(biāo)點(diǎn)集。然后對 P_n2 再按Voronoi方式進(jìn)行概率空間剖分，并重新計算賦得概率，即可獲得式（19）中的 ?_q 。

3基于概率密度演化理論的時變可靠性分析

在1.3.2節(jié)中給出了數(shù)值方法求解PDEM的具體步驟，基于此，可以進(jìn)一步給出PDEM求解系統(tǒng)動態(tài)可靠性的流程圖，如圖3所示。

3.1 時變功能函數(shù)

對于由多個構(gòu)件組成的結(jié)構(gòu)體系，在進(jìn)行可靠性分析時，可建立一個全局功能函數(shù)，即將組成系統(tǒng)各個構(gòu)件的功能函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個能夠代表整體功能要求的功能函數(shù)：

式中， m 表示功能函數(shù)的維數(shù)； ext{?} 為極值函數(shù)，根據(jù)經(jīng)典體系可靠度理論，其形式取決于研究系統(tǒng)的性質(zhì)：對于串聯(lián)系統(tǒng)， ext {為極小值函數(shù) min{?} ；對于并聯(lián)系統(tǒng)，則為極大值函數(shù)max {?} ；對于混合系統(tǒng)，則可由極大值和極小值函數(shù)共同構(gòu)成。

對于單個構(gòu)件的功能函數(shù)則可以表示為：

式中， R₀ 代表廣義抗力的初始值； S 代表廣義荷載效應(yīng)； g（t） 為抗力退化函數(shù)。由于實(shí)際橋梁受劣化環(huán)境因素等影響，需要考慮承載力的退化，退化的時變抗力可以表示成構(gòu)件的初始抗力和抗力退化函數(shù)的乘積，即 R₀g（t） 。對于鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，用服役年限 T 的分段函數(shù)來描述[34]，本研究考慮的抗力退化函數(shù)表示為：

3.2基本隨機(jī)變量的等概率變換

基于PDEM得出結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的概率密度函數(shù)（PDF），在考慮隨機(jī)變量均為高斯分布（或混合高斯模型）時有較好的近似結(jié)果，一方面也是因為數(shù)值方法解廣義概率密度演化方程時采用了正態(tài)概率密度函數(shù)形式的 δ 序列逼近。

由于實(shí)際結(jié)構(gòu)的隨機(jī)源通常為不同的分布類型（如：對數(shù)正態(tài)分布、Gamma分布、Gumbel分布等），在引人抗力退化模型后，用現(xiàn)有的可靠度理論難以得到包含各分布類型隨機(jī)變量功能函數(shù)的顯式表達(dá)；此外，作者在基于計算分析的經(jīng)驗來看，若隨機(jī)源均服從正態(tài)分布，則使用上述方法得出的PDF更準(zhǔn)確，其原因是采用的Dirac序列為正態(tài)分布形式的序列。為解決這類問題，引入等概率變換的方法，利用累計分布函數(shù)值相等的影射，可將非正態(tài)隨機(jī)變量正態(tài)化。值得注意的是，此方法假定結(jié)構(gòu)基本隨機(jī)變量和隨機(jī)過程中的各個分量相互獨(dú)立；若考慮各變量相關(guān)性，還需使用Rosenblatt變換[35]，此處不做過多介紹。

結(jié)構(gòu)的基本隨機(jī)變量為 其中各分量相互獨(dú)立， Θ_i 的累計分布函數(shù)為F_Θi（Θ_i） 。對每個變量作如下變換將 Θ 映射成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量 Y

式中， 表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

其向前映射與向后映射分別為：

這里的等概率正態(tài)變換式（27）為全空間的獨(dú)立同分布映射。經(jīng)過變換后，對于任何隨機(jī)變量，均可統(tǒng)一在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間內(nèi)討論分析。進(jìn)而得到以變量Y 表達(dá)的功能函數(shù)為：

3.3 算例分析

選取某一跨徑為 20m 的鋼筋混凝土簡支T梁橋，其設(shè)計參數(shù)滿足設(shè)計規(guī)范要求，橋梁橫斷面布置和主梁截面分別如圖4及圖5所示。

進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠度分析時，以結(jié)構(gòu)是否達(dá)到極限狀態(tài)為依據(jù)，極限狀態(tài)一般可以分為承載能力極限狀態(tài)和正常使用極限狀態(tài)兩類，兩種極限狀態(tài)在結(jié)構(gòu)分析中都應(yīng)充分考慮。

3.3.1正常使用極限狀態(tài)的可靠性分析

將撓度視為所關(guān)心的物理量，當(dāng)系統(tǒng)撓度超越撓度限值時認(rèn)為結(jié)構(gòu)失效。記橋梁自重為時不變荷載，汽車荷載效應(yīng)和收縮、徐變效應(yīng)作為時變結(jié)構(gòu)參數(shù)。因此，所考慮基本隨機(jī)變量的個數(shù)為4；其中車載效應(yīng)、收縮、徐變效應(yīng)引起橋梁的最大撓度分別記為 w₁，w₂，w₃ ，自重引起的橋梁靜撓度記為 假定各基本變量間相互獨(dú)立，初始時刻各變量的狀態(tài)信息如表1所示。

值得注意的是，在此考慮正常使用極限狀態(tài)的可靠性分析時，未引入抗力退化模型，換言之，將結(jié)構(gòu)抗力（撓度限值）視為不隨時間退化的定值。

考慮時間尺度為50年，并將其劃分為50個時段： t₀=0 th， 。結(jié)合表1中隨機(jī)變量初始信息，時變參數(shù)表示如下：

在此基礎(chǔ)上，可得任意時段 τ 的全局功能函數(shù)：

式中， 為簡支梁橋的撓度限值，本算例橋梁計算跨徑為 20m ，故 的值為 40mm 。將 Z（τ） 代入式（4）的概率密度演化方程中，然后按照1.3.2節(jié)中所述的數(shù)值求解步驟，得到系統(tǒng)功能函數(shù)的概率密度解答。

采用數(shù)論方法時，根據(jù)隨機(jī)變量個數(shù)，共選取了1019個代表點(diǎn)，由式（18）在4維空間中生成均勻點(diǎn)集，然后劃分Voronoi區(qū)域并計算各個點(diǎn)的賦得概率；得到初始點(diǎn)集后，再分兩步對點(diǎn)集重整化，即得最優(yōu)化點(diǎn)集 P_n2=（θ_q，j^′′），q=1，2，…，1019 ; j= 1，2，3，4以及各剖分單元的賦得概率 ρ_q 。進(jìn)一步地采用下式即可得到 Z（τ） 的概率密度函數(shù)：

基于上述Dirac序列方法得到各個時段的概率密度曲線：

（1）初始時刻功能函數(shù)的概率密度曲線與 10⁷ 次蒙特卡羅（MCS）模擬結(jié)果得到的概率密度直方圖的對比結(jié)果如圖6所示。

從圖6中可以看出兩種方法得出功能函數(shù)的PDF吻合良好，初步驗證了所提算法的適用性。

（2）以10a為時間間隔，由PDEM得出 t₀，t₁₀，t₂₀ t₃₀，t₄₀，t₅₀ 時段功能函數(shù)的概率密度曲線如圖7所示。

可以看出，隨著時間的推移，主要受不斷增長的荷載效應(yīng)的影響，結(jié)構(gòu)的概率密度曲線逐漸向左移動，即功能函數(shù)的均值減小，橋梁愈趨于不安全。

（3）將所有時段的概率密度曲線在時間尺度上表示，即可連接成一個連續(xù)的曲面，該曲面顯示了功能函數(shù)作為隨機(jī)過程的概率密度演化，如圖8所示。

最后，對所求的概率密度解答進(jìn)行一維的數(shù)值積分，得到結(jié)構(gòu)的失效概率為：

各個時段的失效概率（積分結(jié)果）如圖9所示。為驗算其準(zhǔn)確性，與蒙特卡羅法計算結(jié)果進(jìn)行對比（見圖9）。

從圖9可以看出，基于PDEM的橋梁結(jié)構(gòu)可靠性分析結(jié)果能與MCS結(jié)果吻合良好。隨著時間的推移，橋梁結(jié)構(gòu)的失效概率不斷增大，符合實(shí)際情況。為進(jìn)一步考察各算法的精度，以與MCS結(jié)果相差的百分比作為誤差，即相對誤差定義為：

（3）將所有時段的概率密度曲線在時間尺度上表示，即可連接成一個連續(xù)的曲面，該曲面顯示了功能函數(shù)作為隨機(jī)過程的概率密度演化過程，如圖12所示。

各時段的失效概率及蒙特卡羅模擬計算結(jié)果對比如圖13所示，進(jìn)而各時段上述兩種計算結(jié)果的相對誤差如圖14所示。

可見，基于PDEM的可靠性分析結(jié)果具有良好的精度，在所考察的時段內(nèi)，其誤差在 6% 以內(nèi)。同時，相比于MCS大樣本計算耗時的特點(diǎn)，此法只需在概率空間內(nèi)選取較少的代表點(diǎn)，有計算效率高的優(yōu)點(diǎn)。

4結(jié)論

針對既有橋梁時變可靠度研究，引人了概率密度演化理論，并用算例驗證了其適用性，對于橋梁的時變效應(yīng)，除了抗力退化和交通荷載增加之外，也考慮了混凝土橋梁的收縮、徐變效應(yīng)。得到主要結(jié)論如下：

（1）通過與MCS結(jié)果對比可知，所提方法的精度、效率較優(yōu)。

（2）適用性廣泛，特別是對于更為復(fù)雜的實(shí)際荷載狀況，因為PDEM所需的分析次數(shù)與隨機(jī)變量的個數(shù)無關(guān)。

（3）當(dāng)前該理論在求解結(jié)構(gòu)動態(tài)可靠性問題時存在的局限主要體現(xiàn)在Dirac序列解法中光滑參數(shù) σ 的選取，具有較強(qiáng)的經(jīng)驗性。在沒有得到精準(zhǔn) σ 值的情況下，需要對結(jié)果進(jìn)行修正才能得到較為準(zhǔn)確的結(jié)果。

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第一作者：周衡（1998一），男，碩士研究生。 E-mail：zhouh2l@lzu.edu.cn

通信作者：樊學(xué)平（1983一），男，博士，副教授。 E-mail：fanxp@lzu.edu.cn