高校全概率公式與貝葉斯公式的教學(xué)探索

摘 要：近些年，經(jīng)濟(jì)發(fā)展頗為迅速，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)也已逐漸滲透到各個(gè)行業(yè)。在“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程中，全概率公式和貝葉斯公式占據(jù)著極其重要的位置，它們同樣是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。在傳統(tǒng)的教學(xué)中，一般只注重專(zhuān)業(yè)理論知識(shí)的傳授，而忽略了將理論知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，并在課堂上注重學(xué)生的教育問(wèn)題。全概率公式和貝葉斯公式被用作例子，詳盡地探討如何在課堂教學(xué)中將理論知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，使學(xué)生能夠感受到理論知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，從而提升學(xué)習(xí)的動(dòng)力。

關(guān)鍵詞：全概率公式；貝葉斯公式；理論知識(shí)；實(shí)際問(wèn)題；有機(jī)融合

1 概述

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”是大學(xué)教育中的一門(mén)核心必修課，它主要研究的是隨機(jī)現(xiàn)象和不確定事件，并解釋這些現(xiàn)象背后的規(guī)律性。它不僅在計(jì)算機(jī)、人工智能、機(jī)械控制、經(jīng)濟(jì)管理等專(zhuān)業(yè)學(xué)科領(lǐng)域發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，而且在實(shí)際生活中，如風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估、醫(yī)療診斷等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用［1］。盡管“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”在實(shí)際生活中的應(yīng)用范圍很廣，但是它作為一門(mén)基礎(chǔ)性的數(shù)學(xué)課程，對(duì)于多數(shù)大學(xué)生來(lái)說(shuō)在學(xué)習(xí)過(guò)程中還是具有一定難度的。因此，作為高校的教師，如果在教學(xué)的過(guò)程中一味地照本宣科，不注意課程的創(chuàng)新型和互動(dòng)性，很容易使課堂變得枯燥乏味，讓學(xué)生對(duì)這門(mén)課程失去興趣，從而導(dǎo)致教學(xué)效果大打折扣。但是，在以往的“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”的教學(xué)中，主要以傳授理論知識(shí)為主，缺乏將晦澀抽象的概念與實(shí)際生活和學(xué)生未來(lái)的職業(yè)發(fā)展相聯(lián)系。本文以全概率公式和貝葉斯公式為例，將理論知識(shí)與生活實(shí)踐相融合，通過(guò)采用現(xiàn)實(shí)生活中的事例，讓學(xué)生感受到學(xué)以致用的魅力，這樣不僅能幫助學(xué)生更好地掌握理論知識(shí)，還能逐漸培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

2 全概率公式教學(xué)

全概率公式是“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”教學(xué)中的一個(gè)重要公式，它對(duì)條件概率公式進(jìn)行了深入和拓展，形成了一個(gè)用于計(jì)算復(fù)雜事件發(fā)生概率的高效數(shù)學(xué)工具，并在現(xiàn)實(shí)生活與科學(xué)研究中都顯示出了其廣泛的應(yīng)用價(jià)值［2］。

2.1 相關(guān)概念

2.1.1 樣本空間的劃分（完備事件組）

定義1：設(shè)S是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，B1，B2，…，Bn為E的一組事件，且滿(mǎn)足兩個(gè)條件：（1）事件與事件之間兩兩互斥。（2）所有事件的總和為樣本空間S，則稱(chēng)B1，B2，…Bn為樣本空間S的一個(gè)劃分。

如果只看樣本空間劃分的定義，可能會(huì)有學(xué)生不理解其中的含義，這時(shí)我們可以在課堂上舉一個(gè)與學(xué)生生活息息相關(guān)的事例。比如，學(xué)生中午放學(xué)去學(xué)校食堂吃飯，共有三條路徑可選，由于每條路徑的遠(yuǎn)近和擁堵程度不同，可以把三條不同的路徑記為R1，R2，R3，這就是樣本空間的劃分。因?yàn)樗鼭M(mǎn)足了樣本空間劃分的兩個(gè)條件，其一，三條路徑兩兩不相交，即選擇一條路徑后就不會(huì)再走另外一條路徑；其二，三條路徑的總和是去食堂的所有路徑，因此這就是一個(gè)簡(jiǎn)單的樣本空間的劃分。

通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的事例掌握了樣本空間的劃分方法后，再結(jié)合我們之前學(xué)習(xí)的加法公式和乘法公式，加法公式幫助我們計(jì)算兩個(gè)事件并集的概率，而乘法公式則用于計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率，我們就擁有了推導(dǎo)全概率公式所需的工具。全概率公式是概率論中一個(gè)極為重要的公式，它允許我們通過(guò)將一個(gè)復(fù)雜事件分解成若干簡(jiǎn)單事件，并計(jì)算這些簡(jiǎn)單事件的概率，最終整合這些概率來(lái)得出復(fù)雜事件的總概率。這個(gè)過(guò)程不僅加深了我們對(duì)概率論的理解，而且提高了我們解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

2.1.2 全概率公式

設(shè)S是隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，A為E的事件，B1，B2，…，Bn是樣本空間S的一個(gè)劃分，且每個(gè)子事件的概率均大于零，則有：

P（A）=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）+…+

P（A|Bn）P（Bn）［3］

全概率公式的解釋說(shuō)明：全概率公式的核心作用在于解決那些直接求解起來(lái)較為困難的復(fù)雜事件的概率問(wèn)題。其核心思想是拆分，即將一個(gè)復(fù)雜的事件拆分為多個(gè)簡(jiǎn)單的、易于處理的子事件。拆分時(shí)需要注意，所拆分的子事件必須是兩兩互斥的，即任意兩個(gè)子事件不能同時(shí)發(fā)生。由于子事件的互斥性，我們可以利用概率的加法法則來(lái)計(jì)算，即把復(fù)雜事件的所有子事件的概率相加。這種方法的優(yōu)勢(shì)在于，可以通過(guò)簡(jiǎn)單的、易于處理的子事件來(lái)間接求解整個(gè)復(fù)雜事件的概率。

這種“化繁為簡(jiǎn)、分而治之”的方法，不僅是一種數(shù)學(xué)策略，更是一種解決問(wèn)題的智慧。這種思想告訴我們，在面對(duì)生活和工作中的挑戰(zhàn)時(shí)，不應(yīng)該被看似艱巨的困難嚇倒，而應(yīng)該保持沉著冷靜，直面問(wèn)題，深入思考可能的解決方案。當(dāng)我們?cè)谏钪杏龅诫y以克服的難題時(shí)，應(yīng)該學(xué)會(huì)將難題拆分為一個(gè)個(gè)較為簡(jiǎn)單的小問(wèn)題，通過(guò)逐個(gè)攻克這些小問(wèn)題，最終完美解決大的難題。

為了讓學(xué)生對(duì)公式有更加深入的了解，一方面，在例題講解的過(guò)程中可以采用啟發(fā)式教學(xué)的方法，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，主動(dòng)探索，鼓勵(lì)學(xué)生積極參加課堂討論，主動(dòng)尋求解決問(wèn)題的辦法；另一方面，課堂中設(shè)計(jì)的例題也要與我們的現(xiàn)實(shí)生活息息相關(guān)，這樣不僅能給學(xué)生提供一個(gè)實(shí)際應(yīng)用公式的場(chǎng)景，讓學(xué)生看到課堂中學(xué)習(xí)的理論知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界之間的直接聯(lián)系，還能提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高他們?cè)谡n堂中的參與度，從而讓學(xué)生能夠建立起對(duì)課堂知識(shí)更加直觀的理解。

全概率公式和貝葉斯公式被廣泛地應(yīng)用于我們的實(shí)際生活中，由于其在醫(yī)療診斷、風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估、過(guò)濾垃圾郵件、無(wú)人駕駛汽車(chē)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。下面就以醫(yī)療診斷為例來(lái)探索全概率公式在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用［4］。

2.2 全概率公式在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用

例1：設(shè)某人有三個(gè)不同的電子郵件賬戶(hù)，有70%的郵件進(jìn)入賬戶(hù)1，另有20%的郵件進(jìn)入賬戶(hù)2，其余10%的郵件進(jìn)入賬戶(hù)3。根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，這三個(gè)賬戶(hù)收到垃圾郵件的比例分別為1%、2%、5%，問(wèn)某天隨機(jī)收到的一封郵件為垃圾郵件的概率。

分析：此題求解的是收到垃圾郵件的概率，因此我們可以設(shè)事件A表示收到的郵件是垃圾郵件，根據(jù)題意可知，收到的郵件若為垃圾郵件，可分為三種情況，分別是此郵件來(lái)自賬戶(hù)1、賬戶(hù)2或賬戶(hù)3，因此我們可以分別設(shè)賬戶(hù)1、賬戶(hù)2、賬戶(hù)3為事件B、C、D。由題意可知，有70%的郵件進(jìn)入賬戶(hù)1，即P（B）=0.7，有20%的郵件進(jìn)入賬戶(hù)2，即P（C）=0.2，其余10%的郵件進(jìn)入賬戶(hù)3，即P（D）=0.1，這三個(gè)賬戶(hù)收到垃圾郵件的比例分別為1%、2%、5%，即P（A|B）=1%，P（A|C）=2%，P（A|D）=5%，由全概率公式可知：

P（A）=P（A|B）P（B）+P（A|C）P（C）+P（A|D）P（D）

=0.016

由此可知，隨機(jī)收到一封郵件，此郵件為垃圾郵件的概率為1.6%。全概率公式在垃圾郵件過(guò)濾中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在構(gòu)建一個(gè)基于概率的分類(lèi)模型，用于判斷一封郵件是否為垃圾郵件。全概率公式在垃圾郵件過(guò)濾中的具體應(yīng)用步驟有以下幾步：其一，選擇特征，在垃圾郵件過(guò)濾中，需要從郵件文本中提取出有助于分類(lèi)的特征，這些特征通常是郵件中的單詞或短語(yǔ)；其二，計(jì)算概率，使用全概率公式，我們可以計(jì)算在郵件屬于垃圾郵件（或非垃圾郵件）的條件下，觀察到各個(gè)特征的概率；其三，建立模型，基于上述條件概率，構(gòu)建一個(gè)概率模型，該模型能夠根據(jù)郵件中的特征出現(xiàn)情況，計(jì)算郵件是垃圾郵件的總概率；其四，郵件分類(lèi)決策，當(dāng)一封新郵件到來(lái)時(shí)，利用已構(gòu)建的概率模型，通過(guò)全概率公式計(jì)算該郵件是垃圾郵件的概率；其五，處理缺失數(shù)據(jù)，在實(shí)際應(yīng)用中，可能會(huì)遇到某些特征在訓(xùn)練數(shù)據(jù)中從未出現(xiàn)的情況，導(dǎo)致概率計(jì)算出現(xiàn)問(wèn)題。全概率公式結(jié)合平滑技術(shù)（如拉普拉斯平滑）可以解決這個(gè)問(wèn)題，確保即使在數(shù)據(jù)稀疏的情況下也能進(jìn)行有效的概率估計(jì)。

全概率公式在垃圾郵件過(guò)濾中的應(yīng)用，使得過(guò)濾器能夠基于郵件內(nèi)容的統(tǒng)計(jì)特性做出更加科學(xué)的分類(lèi)決策，有效減少誤判和漏判，提高過(guò)濾效率。

3 貝葉斯公式教學(xué)

全概率公式通過(guò)原因來(lái)預(yù)測(cè)結(jié)果，而貝葉斯公式則通過(guò)結(jié)果來(lái)推斷原因。如今，貝葉斯公式在醫(yī)學(xué)、金融、人工智能等多個(gè)領(lǐng)域已有廣泛的應(yīng)用。

3.1 貝葉斯公式

設(shè)S是隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，A為隨機(jī)試驗(yàn)E的事件，B1，B2，…，Bn是樣本空間S的一個(gè)劃分，且P（A）＞0，P（Bi）＞0則：

P（Bi|A）=P（Bi）P（A|Bi）∑nj=1P（Bj）P（A|Bj），i=1，2，…，n［5］

它表示：在觀察到事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致事件B發(fā)生的每個(gè)原因的概率。

該公式于1763年由貝葉斯給出。當(dāng)時(shí)，這一理論在很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)都沒(méi)有被認(rèn)可和重視，但隨著時(shí)間的流逝和不斷的演進(jìn)，貝葉斯公式及其衍生的理論體系已經(jīng)形成了一個(gè)以“貝葉斯”命名的統(tǒng)計(jì)學(xué)派，并且在自然科學(xué)的研究和國(guó)家經(jīng)濟(jì)的發(fā)展中發(fā)揮了廣泛的作用。這也啟示學(xué)生追求真理的過(guò)程是漫長(zhǎng)艱辛的，只有堅(jiān)持不懈，才能勇攀高峰、有所成就。

3.2 對(duì)全概率公式和貝葉斯公式的理解

全概率公式和貝葉斯公式是概率論中兩個(gè)基礎(chǔ)且強(qiáng)大的工具，它們?cè)诮y(tǒng)計(jì)推斷和決策制定中扮演著核心角色。全概率公式是一種計(jì)算一個(gè)事件發(fā)生概率的方法，該事件的概率可以通過(guò)分解為完備事件組來(lái)計(jì)算。這個(gè)公式允許我們通過(guò)考慮所有可能導(dǎo)致某個(gè)事件發(fā)生的可能情況，來(lái)計(jì)算該事件的總概率。而貝葉斯公式則提供了一種在已知結(jié)果的情況下，逆向推斷原因發(fā)生概率的方法。它允許我們更新對(duì)某個(gè)假設(shè)的信念，給定新的證據(jù)。全概率公式和貝葉斯公式是互補(bǔ)的。全概率公式用于從原因推導(dǎo)結(jié)果，而貝葉斯公式用于從結(jié)果推導(dǎo)原因。這兩個(gè)公式提供了處理不確定性和進(jìn)行概率推斷的有效方法。在現(xiàn)實(shí)世界的問(wèn)題中，這兩個(gè)公式幫助我們從數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)模式，做出預(yù)測(cè)，并在新信息出現(xiàn)時(shí)更新我們的推斷?？偟膩?lái)說(shuō)，全概率公式和貝葉斯公式是理解和應(yīng)用概率論的基石，它們?cè)跀?shù)據(jù)分析、人工智能、決策科學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用。通過(guò)這兩個(gè)公式，我們可以更好地理解和預(yù)測(cè)隨機(jī)現(xiàn)象，做出更加科學(xué)和合理的決策。

3.3 貝葉斯公式在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用

貝葉斯公式的應(yīng)用十分廣泛，涉及醫(yī)學(xué)、人工智能等領(lǐng)域，常用于研究可靠性問(wèn)題，如可靠性壽命檢驗(yàn)、可靠性維護(hù)、可靠性設(shè)計(jì)等。通過(guò)貝葉斯公式，我們可以更好地處理不確定性，進(jìn)行概率推斷，并在多個(gè)領(lǐng)域中實(shí)現(xiàn)更精準(zhǔn)的決策和預(yù)測(cè)。

例2：已知某品牌汽車(chē)的發(fā)動(dòng)機(jī)出現(xiàn)故障的主要原因有傳感器出現(xiàn)故障、混合氣燃燒不良、空氣濾芯燃燒不干凈，它們所構(gòu)成的占比分別為0.5、0.2、0.3，且它們發(fā)生故障的概率為0.6、0.1、0.3?，F(xiàn)已知機(jī)器發(fā)生了故障，應(yīng)該先從哪個(gè)原件開(kāi)始檢查？

分析：設(shè)事件D表示“發(fā)動(dòng)機(jī)出現(xiàn)故障”，事件A表示：機(jī)器出現(xiàn)故障的原因是“傳感器出現(xiàn)故障”，事件B表示：機(jī)器出現(xiàn)故障的原因是“混合氣燃燒不良”，事件C表示：機(jī)器出現(xiàn)故障的原因是“空氣濾芯燃燒不干凈”，則：P（A）=0.5，P（B）=0.2，P（C）=0.3，由題意可知，傳感器出現(xiàn)故障的概率為0.6，即P（D|A）=0.6，同理：P（D|B）=0.1，P（D|C）=0.3。所求為在發(fā)生故障的前提下，此故障是由A、B、C造成的占比。

由全概率公式有：

P（D）=P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）

=0.41

由貝葉斯公式有

P（A|D）=P（A）P（D|A）P（D）=0.30.41

同理可得：

P（B|D）=0.020.41；P（C|D）=0.090.41

故應(yīng)該從傳感器開(kāi)始檢查。

此事例說(shuō)明全概率公式和貝葉斯公式能夠應(yīng)用于解決日常生活中的可靠性驗(yàn)證問(wèn)題，兩個(gè)重要公式在實(shí)際的工作中發(fā)揮著重要的作用。通過(guò)這兩個(gè)公式，我們可以更準(zhǔn)確地評(píng)估產(chǎn)品或系統(tǒng)的可靠性，從而給工作提供更科學(xué)和精準(zhǔn)的決策。如在把控產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，運(yùn)用這兩個(gè)公式可以幫助我們快速找到產(chǎn)品的缺陷，從而優(yōu)化工作的流程，減少人力物力資源的浪費(fèi)。此外，如果能夠?qū)⑦@些檢測(cè)到的數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)上傳到廠家的數(shù)據(jù)庫(kù)，可以為廠家提供即時(shí)的數(shù)據(jù)反饋，幫助廠家及時(shí)優(yōu)化生產(chǎn)流程，調(diào)整生產(chǎn)方案，以便更靈活地適應(yīng)市場(chǎng)的變化。

雖然近幾年大數(shù)據(jù)的發(fā)展迅猛，但其發(fā)展的空間仍很大，如何讓大數(shù)據(jù)更好地惠及我們生活，仍是大家未來(lái)努力的方向。因此，激勵(lì)學(xué)生在校園生活中扎實(shí)學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)知識(shí)，積極創(chuàng)新，勇于探索，利用所學(xué)的理論知識(shí)開(kāi)拓未知新的領(lǐng)域，通過(guò)教育與實(shí)踐相結(jié)合的形式，讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何運(yùn)用大數(shù)據(jù)解決現(xiàn)實(shí)中的實(shí)際問(wèn)題，如何將理論知識(shí)轉(zhuǎn)換成實(shí)際應(yīng)用，以實(shí)現(xiàn)個(gè)人價(jià)值和社會(huì)價(jià)值。

結(jié)語(yǔ)

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”作為大學(xué)課程體系中的一門(mén)基礎(chǔ)性課程，需要學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)理論知識(shí)，同時(shí)這門(mén)課程又與我們的日常生活緊密相連，因此，教學(xué)過(guò)程中一方面要做到啟發(fā)式教學(xué)，讓學(xué)生深度融入課堂，增加對(duì)這門(mén)課程的興趣；另一方面應(yīng)加入一些與生活實(shí)際相關(guān)的例題，讓學(xué)生在課堂中感受到知識(shí)在實(shí)際生活的應(yīng)用，體驗(yàn)到學(xué)以致用的樂(lè)趣。

本文通過(guò)選取學(xué)生熟悉的生活實(shí)例作為背景，引入全概率公式和貝葉斯公式，旨在加深學(xué)生對(duì)這兩個(gè)關(guān)鍵公式的理解，并增加他們對(duì)于學(xué)習(xí)的熱情。在講授全概率公式時(shí)，通過(guò)過(guò)濾垃圾郵件的事例，學(xué)生感受到了理論知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用。而后在講解貝葉斯公式時(shí)，先介紹了貝葉斯公式的概念，再介紹了全概率公式和貝葉斯公式二者之間的內(nèi)在聯(lián)系，最終，通過(guò)分析可靠性檢驗(yàn)的實(shí)際案例，更加突顯了“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”與日常生活的密切聯(lián)系，并鼓勵(lì)學(xué)生要認(rèn)真學(xué)習(xí)，敢于創(chuàng)新和突破，將所學(xué)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活，以對(duì)社會(huì)產(chǎn)生積極作用。

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基金項(xiàng)目：安徽省教學(xué)研究項(xiàng)目，復(fù)變函數(shù)與積分變換課堂教學(xué)的有效性探究（2023jyxm0896）

作者簡(jiǎn)介：王慧（1993— ），女，漢族，河南商丘人，碩士研究生，助教，研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。

*通信作者：李凱旋（1993— ），男，漢族，河南商丘人，博士研究生，講師，研究方向：智能優(yōu)化、分布式優(yōu)化、多智能體系統(tǒng)。