具有口碑效應(yīng)的信息傳播動力學(xué)模型分析

中圖分類號：O175.1 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1671-5489（2025）04-1018-07

Analysis of Information Communication Dynamics Model with Word-of-Mouth Effect

ZHANG Mengyao， HOU Qiang （SchoolofMathematics，North University of China，Taiyuan O3oo51，China）

Abstract： We established a multi-stage dynamic model to reflect the characteristics of product word-ofmouth communication based on the laws of product word-of-mouth communication. Firstly，using qualitative analysis and stability theory，we analyzed the existence and stability of the model’s equilibrium points，and gave the conditions for the existence of backward bifurcation. Secondly，the Lyapunov function was used to demonstrate the global asymptotic stability of the model’s information-free equilibrium point and the positive equilibrium point when ?=0 . Finally，we found that the model underwent saddle-node bifurcation，Hopf bifurcation，B-T bifurcation，and degenerate Hopf bifurcation through numerical simulation. The results show that the coupling effect between product buyers and active disseminators of product word-of-mouth has a significant efect on the dynamic process of word-of-mouth communication.

Keywords：word-of-mouth communication；basic reproduction number；backward bifurcation；stability

產(chǎn)品口碑是消費(fèi)者通過口頭交流分享產(chǎn)品信息的一個重要渠道，具有強(qiáng)大的影響力和傳播力．以胖東來超市為例，它通過提供優(yōu)質(zhì)的服務(wù)和商品，贏得了消費(fèi)者的廣泛好評和自發(fā)推薦．這種口碑傳播不僅提升了品牌的信譽(yù)和影響力，還促進(jìn)了銷售的增長．因此，研究口碑傳播的機(jī)制和規(guī)律具有重要意義.

近年來，關(guān)于口碑傳播動力學(xué)模型的研究已取得了一系列成果[1-4]．Qiao等[5]針對可信度將口碑傳播者分為高可信度的人和不熟悉的人，建立動力學(xué)模型，探討了兩類傳播者對潛在消費(fèi)者的影響，數(shù)值模擬結(jié)果表明，當(dāng)口碑傳播者是可信度高的人時(shí)，更多人愿意做出購買決定；王宇莎等[6]考慮到意見領(lǐng)袖的重要性，將其轉(zhuǎn)變?yōu)閭鹘y(tǒng)的口碑制造者身份，建立動力學(xué)模型，結(jié)果表明，消費(fèi)者在做出購買決策時(shí)更易受意見領(lǐng)袖的影響；宋波等[7借鑒傳染病 SIR 模型，將消費(fèi)者分為某品牌的潛在消費(fèi)者、某品牌消費(fèi)者、某品牌厭惡者，建立動力學(xué)模型，研究了口碑對品牌傳播的影響，結(jié)果表明，負(fù)面口碑會對品牌傳播產(chǎn)生不良影響．上述研究表明，傳播者的可信度及意見領(lǐng)袖的作用對消費(fèi)者決策至關(guān)重要，負(fù)面口碑對品牌傳播具有顯著影響．但這些研究未關(guān)注以下兩點(diǎn)因素：一是態(tài)度不明確人群的存在性；二是產(chǎn)品購買者對口碑積極傳播者的影響．因此，本文基于已有的口碑傳播模型，通過引入態(tài)度不明確的這類人群，并考慮產(chǎn)品購買者對口碑積極傳播者的影響，建立 SEII_d 動力學(xué)模型，分析購買者與口碑積極傳播者的耦合作用對口碑傳播動態(tài)過程的影響.

模型的建立

本文將人群分為四類： S（t） 表示易受口碑信息影響的人； E（t） 表示知道產(chǎn)品信息，暫時(shí)無明確態(tài)度的人； I（t） 表示已經(jīng)接收產(chǎn)品信息并積極傳播產(chǎn)品信息的人； I_d（t） 表示積極傳播產(chǎn)品信息并有購買行動的人．其中已知產(chǎn)品信息，暫時(shí)無明確態(tài)度的人群更傾向于進(jìn)一步了解產(chǎn)品信息后自己改變態(tài)度再做出購買決策，這類人群受他人影響較小，因此假設(shè)暫時(shí)無明確態(tài)度的人群不受其他人的影響.易受口碑影響的人與積極傳播產(chǎn)品的人（或者已購買產(chǎn)品的人）接觸后變成已知產(chǎn)品信息暫時(shí)無明確態(tài)度的人．積極傳播產(chǎn)品信息的人與已購買產(chǎn)品信息的人接觸后，易做出購買決策．因此，可建立如下模型：

其中： A 表示易受口碑信息影響人群的補(bǔ)充率； β 表示易受口碑信息影響的人與已知產(chǎn)品信息并積極傳播產(chǎn)品信息的人之間的接觸傳播率； α 表示易受口碑信息影響的人與已知產(chǎn)品信息并有購買行動的人之間的接觸傳播率； ? 表示已知產(chǎn)品信息并積極傳播的人與已知產(chǎn)品信息并有購買行動的人之間的接觸傳播率； σ 表示暫時(shí)無明確態(tài)度的人進(jìn)一步了解產(chǎn)品信息后改變態(tài)度的比例； k 表示傳播產(chǎn)品信息的人做出購買決策的比例； c 表示已購買產(chǎn)品的人，因產(chǎn)品體驗(yàn)感一般不向他人傳播產(chǎn)品信息的比例；μ 表示口碑傳播效果的自然衰減率．所有參數(shù)均為非負(fù)常數(shù).

2 模型分析

通過數(shù)值計(jì)算可得模型（1）的可行域?yàn)?/p>

模型（1）的無信息平衡點(diǎn)為 ．基于下一代矩陣法[8]，定義模型基本再生數(shù)為

模型（1）的正平衡點(diǎn)為 P^*=（S^*，E^*，I^*，I_d^*） ，滿足：

其中

令 h（I_d^*）=M₀I_d^*3+M₁I_d^*2+M₂I_d^*+M₃ ，則

h^′（I_d^*）=3M₀I_d^*2+2M₁I_d^*+M₂.

當(dāng) M₂lt;0 ， Δ=M₁²-3M_oM₂gt;0 時(shí)，方程（3）有一個正根 I_d¹ ；當(dāng) M₂gt;0 ， M₁lt;0 ， Δ=M₁²-3MM₂gt;0 時(shí)，方程（3）有兩個正根 I_d² 和 I_d³ ·

因此，可得：

定理11）當(dāng) R₀gt;1 時(shí)，若 M₂lt;0 ， Δgt;0 或 M₂gt;0 ， Δgt;0 ， h（I_d²）（I_d³）gt;0 ，則模型（1）有唯一的正 平衡點(diǎn)；若 M₂gt;0 ， M₁lt;0 ， Δgt;0 ， h（I_d²）gt;0 ， h（I_d³）lt;0 ，則模型（1）有3個正平衡點(diǎn)；

2）當(dāng) R₀lt;1 時(shí)，若 M₂lt;0 ， h（I_d¹）lt;0 或 M₂gt;0 ， M₁lt;0 ， Δgt;0 ， h（I_d³）lt;0 ，則模型（1）有2個正平 衡點(diǎn).

定理2當(dāng) R₀lt;1 時(shí)，模型（1）的無信息平衡點(diǎn) P^?0 局部漸近穩(wěn)定.

證明：模型（1）在無信息平衡點(diǎn)處的Jacobi矩陣為

特征方程為

令

將特征方程（3）簡化為

（λ+μ）（λ³+b₁λ²+b₂λ+b₃）=0，

由Hurwitz判據(jù)可得 H₁=∣b₁∣=a₁+a₂+a₃gt;0 ，當(dāng) R₀lt;1 時(shí)，有

進(jìn)一步可得

用式（5）進(jìn)行放縮，可得

因?yàn)?/p>

所以當(dāng) R₀lt;1 時(shí)， b₃gt;0 ，從而

綜上，由Hurwitz判據(jù)可知，當(dāng) R₀lt;1 時(shí)，無信息平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定.

定理3當(dāng) M₂lt;0 ， h（I_d¹）lt;0 時(shí)，模型（1）在 R₀=1 時(shí)發(fā)生后向分支.

證明：選取 α 作為分支參數(shù)，設(shè) ，則模型（1）變?yōu)?/p>

模型（6）在無信息平衡點(diǎn)處的Jacobi矩陣為

當(dāng) R₀=1 時(shí)，特征方程為

λ（λ+μ）（λ²+b₁λ+b₂）=0，

其中 b₁=3μ+k+σ+c ， ，方程（7）有一個零特征值，其他特征值均為負(fù)．零特征值對應(yīng)的右特征向量為

零特征值對應(yīng)的左特征向量為

因此

當(dāng) R₀=1 時(shí)，有

M₂=（μ+σ）（μ+c）（（μ+k）（kα+β（μ+c））+kμ?）-Aσkα?.

若 M₂lt;0 ，則

?（μS⁰αα-kμ（μ+σ）（μ+c））gt;（μ+σ）（μ+c）（μ+k）（kα+β（μ+c）），

即

因此，當(dāng) M₂lt;0 時(shí)， agt;0 成立．根據(jù)文獻(xiàn)[9]可知，當(dāng) agt;0 ， bgt;0 時(shí)，模型（1）會發(fā)生后向分支，即當(dāng)M₂lt;0 ， h（I_d¹）lt;0 時(shí)，模型（1）會發(fā)生后向分支.

3 ?=0 時(shí)模型的穩(wěn)定性分析

當(dāng)口碑效應(yīng)對購買行為無影響，即 ?=0 時(shí)，模型（1）可由下列系統(tǒng)表示：

當(dāng) R₀lt;1 時(shí)，模型（8）有無信息平衡點(diǎn) （A，0，0，0）；當(dāng)R。gt;1時(shí)，由式（2）可得，模型（8）有唯一的正平衡點(diǎn) P₁^*=（S^*，E^*，I^*，I_d^*） ，其中

定理4當(dāng) R₀?1 且 ?=0 時(shí)，無信息平衡點(diǎn) P₁⁰ 是全局漸近穩(wěn)定的.

證明：構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

其中 計(jì)算 V（t） 沿模型（8）軌線的全導(dǎo)數(shù)

因此當(dāng) R₀?1 時(shí)， 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí) ，故 的最大不變集為單點(diǎn)集 {P₁⁰} ．于是當(dāng) R₀?1 時(shí)，無信息平衡點(diǎn) P₁⁰ 是全局漸近穩(wěn)定的.

定理5當(dāng) R₀gt;1 且 ?=0 時(shí)，正平衡點(diǎn) P₁^* 是全局漸近穩(wěn)定的.

證明：構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

計(jì)算 L（t） 沿模型（8）軌線的全導(dǎo)數(shù)

因此 當(dāng)且僅當(dāng) P₁^*=（S^*，E^*，I^*，I_d^*） 時(shí)， ，故 的最大不變集為單點(diǎn)集{P₁^*} ．于是當(dāng) R₀gt;1 時(shí)，正平衡點(diǎn) P₁^* 是全局漸近穩(wěn)定的.

4數(shù)值模擬

下面通過數(shù)值模擬討論模型（1）的動力學(xué)行為．以 α 為分支參數(shù)繪制模型（1）的Hopf分支圖，固定第一組參數(shù) A=12 ， β=3×10^-6 ， μ=2×10^-2 ， k=8×10^-4 ， c=2.4 ， ?=1.08×10^-2 ， σ=1 ，繪制 隨 R₀ 變化的曲線，結(jié)果如圖1所示．由圖1可見，當(dāng) 0.3170lt;1 時(shí)，模型（1）存在2個正平衡點(diǎn)；模型出現(xiàn)后向分支和1個Hopf分支點(diǎn)，在Hopf分支點(diǎn)附近形成一個不穩(wěn)定的極限環(huán).

固定第二組參數(shù) A=15 ， β=5.6×10^-6 ， μ=2×10^-2 ， k=3×10^-2 ， c=2.4 ， ?=6.4×10^-2 ， σ=1 ，繪制 I_d 隨 R₀ 變化的曲線，結(jié)果如圖2所示．由圖2可見：當(dāng) 0.9330lt;1 時(shí)，模型（1）存在2個正平衡點(diǎn)；模型出現(xiàn)后向分支和2個Hopf分支點(diǎn)，在這2個Hopf分支點(diǎn)之間至少存在一個極限環(huán).

當(dāng)?shù)谝唤M參數(shù)中 k=3×10^-3 時(shí)，分支圖如圖3所示．由圖3可見，模型（1）出現(xiàn)前向分支和2個Hopf 分支點(diǎn)，在第一個Hopf分支點(diǎn)附近形成極限環(huán)且在第二個Hopf分支點(diǎn)附近消失．當(dāng)?shù)谝唤M參數(shù)中 β=3×10^-5 時(shí)，分支圖如圖4所示．圖5為圖4的局部放大圖．由圖4可見：當(dāng) 1. 0220lt; 1.078時(shí)，模型（1）存在3個平衡點(diǎn)；模型先出現(xiàn)前向分支再出現(xiàn)后向分支和1個Hopf分支點(diǎn)，在這個Hopf分支點(diǎn)附近形成一個不穩(wěn)定的極限環(huán).

以 α，k 作為分支參數(shù)，固定參數(shù) A=12 ， β=3×10^-6 ， μ=2×10^-2 ， σ=1 ， c=2.4 ， ?=1. 08× 10^-2 ，繪制余維為2的分支圖，結(jié)果如圖6所示．由圖6可見，模型隨分支參數(shù)變化出現(xiàn)退化的 Hopf分支點(diǎn)GH點(diǎn)、B-T分支點(diǎn)和CP點(diǎn).

綜上所述，本文基于已有的口碑傳播模型，通過引入態(tài)度不明確人群，并考慮產(chǎn)品購買者對口碑積極傳播者的影響，建立了 SEII_d 動力學(xué)模型．首先，利用定性和穩(wěn)定性理論，分析了模型平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性，并給出了后向分支存在的條件；其次，利用Lyapunov 函數(shù)證明了 ?=0 時(shí)模型的無信息平衡點(diǎn)和正平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性；最后，通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)模型會出現(xiàn)鞍結(jié)點(diǎn)分支、Hopf分支、B-T分支和退化的Hopf分支點(diǎn).結(jié)果表明，這種傳播機(jī)制能顯著影響口碑的動態(tài)傳播規(guī)律.

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（責(zé)任編輯：李琦）