不等前角變螺旋圓弧立銑刀瞬時銑削力建模與系數(shù)標定方法

中圖分類號：TH161 DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2025.04.004

Instantaneous Milling Force Modeling and Coefficient Calibration Method of Variable Helical Circular-arc End Mills with Unequal Rake Angle

QI Shutao LI Jiaqi ZHENG Shucai XU Jinting SUN Yuwen* School of Mechanical Engineering，Dalian University of Technology，Dalian，Liaoning，

Abstract：Variable helical end mills with unequal rake angle maight effectively suppress milling chatters，which significantly improved the machined surface quality and simultaneously reduced the risk of tool breakages，however，due to the unequal geometric parameters of each cuttng edge，the existing models had dificulty to accurately predict the cuting forces，hence，a new instantaneous milling force modeling and coefficient calibration method were proposed. Firstly，the geometry and position relational expression of the cuting edges for variable helical circular-arc end mills were given， then considering the tool runout and variation of geometrical parameters of cutting edges，an instantaneous uncut chip thickness calculation and element cuting force prediction model was established; Subsequently，a nonlinear optimization method to simultaneously calibrate the cutting force coefficients and tool runout parameters was proposed，and an efcient algorithm for solving the model parameter initial values was also given based on linear least squares and oblique cutting theory. The experimental results show that the amplitude and waveform of predicted cutting forces are consistent with the measured ones with errors of less than 15% ，verifying the effectiveness of the proposed model.

Key words： unequal rake angle; variable helix end mill; flank milling； milling force;cutting force coefficient identification

0 引言

變螺旋銑刀因其優(yōu)異的抑振性能而在航空航天等領域結構件的加工中得到廣泛應用[1]。然而，因變螺旋銑刀各齒螺旋角不同，導致各刀刃強度也不相同，從而顯著增加了崩刃風險。對各刀齒采用不等前角設計可有效解決上述問題2，但與常規(guī)銑刀相比，不等前角變螺旋銑刀各刀齒的前角和螺旋角均不相同，理論上各齒切削力系數(shù)也存在較大差異，因此，為了實現(xiàn)對該類刀具切削力的準確預測，需針對上述問題開展相關的建模分析。

當前，對切削力的建模主要包括經驗模型[3]、有限元仿真模型[4]、基于切削機理的解析模型[5]、機械力學模型[6-7]等，其中機械力學模型由于可實現(xiàn)對瞬時切削力的準確預測而在銑削加工中廣泛應用。以機械力學模型為基礎，目前針對變螺旋銑刀切削力系數(shù)的標定主要有兩種處理方式。一是對于等法向前角的刀具，通常忽略螺旋角差異引起的影響，假定各齒切削力系數(shù)是一致的。如NIU等8假定各齒切削力系數(shù)相同，以此建模并通過非線性優(yōu)化實現(xiàn)切削力系數(shù)與跳動參數(shù)的并行標定，實驗結果也證實了其假設的可行性。目前該假設在等前角變螺旋銑刀的動力學建模中廣泛應用[9-10]。二是基于正交斜變換計算各個刀齒的切削力系數(shù)，該方法的關鍵在于獲取與工件-刀具相關的材料剪切屈服強度、剪切角、摩擦角等參數(shù)。如CHEN等[11]基于斜角切削理論，引入材料J-C本構來計算上述參數(shù)，該方法無需開展加工實驗，但需提前明確材料的本構參數(shù)，同時由于模型存在較多假設，辨識精度較難保證。施壯等[12]提出了一種基于線性回歸與正交斜變換相結合的切削力系數(shù)標定方法，通過線性回歸獲得常規(guī)銑刀的平均切削力系數(shù)，并將其作為輸入反求上述參數(shù)，然后進一步地將各齒的幾何參數(shù)代入計算切削力系數(shù)。該方法可以實現(xiàn)對變螺旋銑刀各個刀齒切削力系數(shù)的辨識，但需要采用與變螺旋銑刀材質一致的常規(guī)銑刀開展銑削加工實驗，且無法實現(xiàn)對刀具跳動參數(shù)的標定。

對于不等前角變螺旋圓弧立銑刀，因其各齒螺旋角和前角均不相同，采用各齒切削力系數(shù)一致的假設極有可能帶來大的預測誤差，同時其側銑加工過程中圓弧刃與側刃均參與切削，而由于結構差異，其圓弧刃與側刃切削力系數(shù)不相同[13]，此外，刀具制造誤差或裝夾偏差帶來的刀具跳動也不可忽略[14]，因此，在此情況下，現(xiàn)有的切削力建模與系數(shù)標定方法已不能實現(xiàn)其瞬時切削力的準確預測?；诖耍疚奶岢隽瞬坏惹敖亲兟菪龍A弧立銑刀瞬時切削力的準確建模及切削力系數(shù)標定方法。

1不等前角變螺旋立銑刀瞬時切削力模型

1.1 變螺旋圓弧立銑刀幾何描述

變螺旋圓弧立銑刀的典型結構如圖1所示，其同一切削刃上的螺旋角保持一致，但各切削刃采用的螺旋角不同。與常規(guī)平底立銑刀相比，主要表現(xiàn)出兩大差異。

一是其切削刃由兩部分組成，分別位于圓弧面和圓柱面上，并在圓弧部分的頂點處相交，如圖1b所示。其中，圓弧部分的切削刃可視作由等直徑平頭銑刀的螺旋切削刃投影到圓弧部分的圓弧面上得到。一般情況下圓弧部分為等導程刃形曲線，圓柱部分為等螺旋角刃形曲線[15-16]，因此其第 j 個刀齒軸向高度 z 處的螺旋滯后角滿足

θ_j（z）=ztanβ_j/R

式中： β_j 為第 j 個刀齒的螺旋角； R 為刀具半徑。

定義刀具圓弧半徑為 r ，則軸向高度 z 處切削刃的有效切削半徑 R_z 和軸向浸入角 κ_z 可表示為

式中： R_r 為底部半徑，滿足 R_r=R-r 。

二是其各齒齒間角不同，且沿刀具軸向發(fā)生變化。如圖1c所示，將切削刃沿軸向離散為一系列切削微元，定義 （j，l） 表示第 j 個齒的第 l 個微元切削刃， z_l 為微元切削刃的軸向高度， ?_j，l 為第ξ_l 個微元切削刃處第 j 個刀齒與 j-1 個刀齒間的齒間角，則任意微元切削刃的齒間角及對應的單齒進給量分別表示為

z_l=lΔz

式中： N_Ωt 為刀具齒數(shù)； ?_j，0 為第 j 個刀齒刀具自由端的齒間角； Δz 為相鄰兩個軸向層微元間的距離，滿足 Δz= 為總的離散微元數(shù)， 為軸向切深； f 為進給速度； 為主軸轉速。

如圖2所示，定義刀具坐標系為 oxyz ，以 y 軸正方向為基準，沿刀具旋轉方向計算微元切削刃的徑向位置角，則任意 為正整數(shù)）時刻微元切削刃 （j，l） 的位置角 φ_j，l（t_i） 可以表示為

其中， Ψ_j，0 為第 j 個齒的自由端與第1個齒自由端之間的滯后角，滿足

1.2 考慮跳動的瞬時未變形切屑厚度模型

在多齒銑削加工過程中，由于刀具本身的制造誤差或者刀具裝夾產生的位置偏差，刀具實際旋轉中心會偏離其幾何中心，導致微元切削刃的實際旋轉半徑發(fā)生改變，進而引起瞬時未變形切屑厚度的變化。

刀具跳動主要包括軸向傾斜和徑向跳動兩部分，采用刀具傾斜角度 τ 、刀具傾斜定位角 ψ ，偏移距離 ρ 和偏移定位角 λ 來進行表征。WAN等[14]通過對比三種不同類型的刀具跳動模型發(fā)現(xiàn)，徑向跳動模型相對簡單且具有良好的預測精度。由于本文主要針對常規(guī)刀具懸深銑削加工過程，刀具軸向偏擺相對較小，因此僅考慮徑向跳動的情形。如圖3所示，徑向跳動主要由 ρ 和 λ 兩個參數(shù)進行表征，其中 ρ 為偏置軸 O_TO_T^′ 與機床主軸中心軸 O_MO_M^′ 之間的距離，入為偏置軸 O_TO_T^′ 與刀齒1之間的夾角，則各個微元切削刃的實際有效切削半徑 R_j，ι 可以表示為

R_j，l=

式中： R_l 為沿軸向第 l 個微元切削刃處的理論有效切削半徑，可代人式（2）計算獲得。

如圖3b所示，受刀具跳動的影響，當前微元切削刃并不總是切削與其相鄰的前一個刀齒對應微元切削刃留下的表面，從而導致其瞬時未變形切屑厚度也發(fā)生變化。對于該情形，假定微元切削刃 （j，l） 的多重再生因子為 m（m=1，2，…， （204N_t^? ，即第 j 個刀齒軸向高度 z_l 處的微元切削刃在 t_i 時刻將切削 m 個刀齒之前對應微元切削刃留下的表面（如對于圖中刀齒1，當 m 為2時，其切削的區(qū)域為刀齒3（綠色軌跡）與刀齒1（右側紅色軌跡）所夾的區(qū)域），則實際的靜態(tài)瞬時未變形切屑厚度 h_j，l（t_i，m） 可以表示為[17]

h_j，l（t_i，m）=（R_j，l-R_jm，l+

f_j，l（m）sinφ_j，l（t_i））sinκ_l

其中， κ_l 為沿軸向第 ξ_l 個微元切削刃的軸向浸入角，可代人式（3）進行計算；多重再生因子 Ψ_m 以及對應的實際靜態(tài)瞬時未變形切屑厚度 h_j，l（t_i，m） 可以根據(jù)下式計算7」：

h_j，l（t_i，m）=max（min（（R_j，l-R_jm，l+

f_j，l（m）sinφ_j，l（t_i））sinκ_l），0）

1.3 瞬時切削力計算模型

對于不等前角變螺旋圓弧立銑刀，由于其各刀齒前角及螺旋角不同，理論上各刀齒對應的切削力系數(shù)也不相同，因此需在切削力模型中分別引人相應參數(shù)。然而，參數(shù)增多也將導致模型過于復雜，增加參數(shù)標定的難度。為此，本文作出如下假設： ① 由于各個刀齒通常采用相同的刃口鈍化方式，因此假定各刀齒犁耕力系數(shù)是一致的； ② 由于主要針對側銑加工過程，因此圓弧刃部分沿軸向高度各處的剪切力系數(shù)也假定是一致的。由此，在前述瞬時未變形切屑厚度建模的基礎上，基于線性機械切削力模型，刀具切向、徑向和軸向微元切削力可以表示為

式中： 分別為第 j 個刀齒圓弧刃部分的切向、徑向和軸向剪切力系數(shù);Ktc，L.j、Krc，L，j、Kac，L，j分別為第 j 個刀齒側刃部分的切向、徑向和軸向剪切力系數(shù)； K_te?K_re?K_ae 分別為刀具的切向、徑向和軸向犁耕力系數(shù)； db 為微元切削刃的寬度， dS_j，l 為第j 個刀齒上第 ξ_l 個微元切削刃的長度； g（φ_j，l（t_i）） 為單位階躍函數(shù)，用于判斷當前時刻微元切削刃是否處于切削狀態(tài)； φ_{st，j，l}?φ_{ex，j，l} 分別為切入角和切出角，可根據(jù)文獻[8]分別計算。

如圖2所示，通過坐標系轉換，可以得到在刀具坐標系 oxyz 下的切削力分量：

其中， T_j，l（t_i） 為坐標轉換矩陣，表示為

進一步地，將當前時刻銑刀所有參與切削的微元切削刃受到的切削力疊加，即可得到該時刻的瞬時整體切削力，如下式所示：

2 銑削力系數(shù)與跳動參數(shù)的并行標定

根據(jù)前一節(jié)分析，所建切削力模型中存在刀具跳動、各齒圓弧刃和側刃剪切力系數(shù)以及犁耕力系數(shù)等多個參數(shù)，因此，本文采用非線性優(yōu)化方法對切削力系數(shù)與跳動參數(shù)進行并行標定。

2.1基于線性最小二乘法與正交斜變換的切削力系數(shù)初值估算

對于非線性優(yōu)化問題，參數(shù)初值和搜索區(qū)間的設定會直接影響優(yōu)化的效率和精度。

根據(jù)線性機械力學模型[6-7]，當同一時刻僅有一個刀齒切削且不考慮刀具跳動時，切削力與切削力系數(shù)成線性關系。在此情況下，基于線性最小二乘法可實現(xiàn)對切削力系數(shù)的快速求解[14]。對于本文所建切削力模型，由于同時考慮了刀具跳動以及各刀齒切削力系數(shù)的差異，理論上線性最小二乘法已不適用于其切削力系數(shù)的標定，然而由于切削力系數(shù)的初值主要是用于確定非線性優(yōu)化的初始搜索區(qū)間，同時線性最小二乘法求解效率高且具有一定的計算精度，因此本文采用線性最小二乘法對模型參數(shù)的初值進行快速估算。具體地，假定各個刀齒剪切力系數(shù)相同并忽略刀具跳動的影響，然后截取穩(wěn)定切削狀態(tài)下一個切削周期的實測切削力數(shù)據(jù)作為輸入，通過線性最小二乘法分別估算圓弧刃和側刃的切削力系數(shù)。

在此基礎上，針對不同刀齒刃口參數(shù)的差異，進一步根據(jù)斜角切削理論估算不同刀齒間剪切力系數(shù)的比值，以此來保證優(yōu)化結果中各參數(shù)間的關聯(lián)關系。對于斜角切削，其切向、徑向和軸向剪切力系數(shù)可以表示為如下形式[18]：

式中： τ_s 為材料剪切強度； η 為刃傾角（對于立銑刀即為螺旋角）； γ_n 為刀具法向前角； β_a 為摩擦角，其值可以依據(jù)tan β_a≈K_rc/K_tc 進行估算，公式右側的參數(shù)來自于線性最小二乘法獲得的參數(shù)值； φ_n 為法向剪切角，其值滿足φ_n=0.25π-0.5（β_a-γ_n） 。

根據(jù)式（19），以刀齒1為基準，則刀齒 j 與其剪切力系數(shù)的比值可以表示為

綜合上述分析，所建切削力模型的系數(shù)辨識問題可轉化為犁耕力系數(shù) K_Δte?K_Δre?K_ae ，刀齒1圓弧刃部分的剪切力系數(shù) ，側刃部分剪切力系數(shù) ，以及其余各刀齒剪切力系數(shù)與刀齒1剪切力系數(shù)的比值 等參數(shù)的標定問題。

2.2基于非線性優(yōu)化的切削力系數(shù)與跳動參數(shù)并行標定方法

由前文切削力模型可知，若跳動參數(shù)和切削力系數(shù)為已知量，則任意時刻 iΔt 的切削力可通過式 （13）～ 式（18）計算，其中 Δt 為切削力采樣周期。由理論切削力與其實測值的等量關系，可得到如下方程組：

其中，等式左側為理論計算的切削力，右側為穩(wěn)態(tài)切削下測量的切削力。假設一個采樣周期采集到的切削力數(shù)據(jù)個數(shù)為 n_sam ，則滿足式（21）的非線性方程組可轉化為如下式所示的極值選優(yōu)問題：

本文采用遺傳算法求解問題 P 。需要指出的是，盡管通過線性最小二乘法和正交斜變換估算了各個未知參數(shù)的初值，但在進行遺傳算法求解時，為保證優(yōu)化結果的可靠性，仍需要在估算的初值基礎上設定各個參數(shù)的上下區(qū)間。如對于參數(shù)K_Δte ，其估算初值為 A ，則其參數(shù)的上下區(qū)間可以表示為 [uA，vA] 。為了減小搜索范圍，提高計算效率， u 和 v 可分別在區(qū)間 01 內依據(jù)線性最小二乘法擬合的切削力與實測切削力的對比結果中進行選擇。在此基礎上，可進一步根據(jù)優(yōu)化結果進行修正，以保證參數(shù)的辨識精度。

3 實驗驗證

如圖4所示，為了驗證所提模型的有效性，采用五軸加工中心開展銑削加工實驗，同時采用Kistler9257B測力儀采集切削力數(shù)據(jù)，設定采樣頻率為 10kHz 。實驗工件為 100mm×50mm× 80mm 的 1Cr15Ni4Mo3N 不銹鋼塊，通過螺栓連接固定在測力儀上。刀具采用直徑 20mm 、圓弧半徑 3mm 的四齒不等齒距不等螺旋涂層硬質合金立銑刀，其各齒刀刃幾何參數(shù)如表1所示。根據(jù)合作航空制造企業(yè)提供的工藝數(shù)據(jù)，設計銑削實驗參數(shù)如表2所示，其中第1組實驗用于切削力系數(shù)的標定，第 2～6 組用于進一步驗證所提模型和標定結果，所有實驗均采用逆銑并采用乳化液進行冷卻潤滑。

基于本文所提優(yōu)化方法擬合的切削力結果如圖5所示?？梢园l(fā)現(xiàn)仿真曲線與實測曲線具有良好的一致性，盡管由于模型簡化或實驗誤差帶來一定的差異，但切削力峰值誤差均在 5% 以內。擬合的切削力系數(shù)以及刀具跳動參數(shù)如表3和表4所示?？梢园l(fā)現(xiàn)盡管在實驗軸向切深內刀齒2與刀齒4對應的每齒進給量小于刀齒1和刀齒3的每齒進給量，但由于采用負前角設計，因此具有更大的剪切力系數(shù)，導致其切削力峰值明顯大于刀齒1和刀齒3的切削力峰值。上述結果表明：對于不等前角變螺旋銑刀，刀齒幾何參數(shù)差異帶來的影響不可忽略，已不能采用各齒切削力系數(shù)相同的假設開展相關的建模分析。

為了進一步驗證模型的有效性，基于標定的系數(shù)分別對另外5組參數(shù)的切削力進行預測，其中考慮到軸向切削力對側銑加工影響較小，主要對 x 向和 y 向的切削力進行對比，結果見圖6。

可以發(fā)現(xiàn)預測切削力波形與實測結果具有良好的一致性，切削力峰值誤差均在 15% 以內，驗證了所提模型及系數(shù)標定方法的可靠性。

4結論

1）本文針對不等前角變螺旋圓弧立銑刀側銑加工過程，綜合考慮不同刀齒以及各刀齒圓弧刃與側刃之間刃形參數(shù)的差異，同時慮及刀具跳動等因素，實現(xiàn)了對刀具瞬態(tài)切削力的準確建模。

2）針對非線性優(yōu)化過程難收斂，優(yōu)化結果不合理的問題，提出了基于線性最小二乘法與正交斜變換相結合的模型參數(shù)初值高效求解算法，有效保證了切削力系數(shù)的辨識精度。

3）不同切削參數(shù)下的切削力預測與實測結果表明，預測切削力波形與實驗結果具有良好的一致性，切削力峰值誤差均在 15% 以內，驗證了所提模型及系數(shù)標定方法的有效性。

參考文獻：

[1]SUN Yuwen，ZHENG Meng，JIANG Shanglei，et al.A State-of-the-art Review on Chatter Stability in Machining Thin-walled Parts[J]. Machines，2023， 11（359） ：1-44.

[2] 許晉，劉敏，方曙璋.等實際前角不等螺旋角立銑 刀：CN201110400397.X[P].2012-04-04. XU Jin，LIU Min，F(xiàn)ANG Shuzhang. Unequal Helix Angle End Mill with Equal Working Rake Angle：CN201110400397.X[P]. 2012-04-04.

[3] 賈振元，王福吉，董海.機械制造技術基礎[M].2 版.北京：科學出版社，2019. JIA Zhenyuan，WANG Fuji，DONG Hai. Fundamental ofMechanical Manufacture[M].2nd ed.Beijing：Science Press，2019.

[4]田汝坤.銑削鈦合金薄壁件刀具結構設計研究[J]. 濟南：山東大學，2012. TIAN Rukun. Tool Structures Design for Milling Titanium Thin-walled Parts[D].Jinan：Shandong University，2012.

[5]周林.曲面微細銑削讓刀誤差預測、補償與精度評 價[D].武漢：華中科技大學，2017. ZHOU Lin. Prediction，Compensation and Evaluation of Machined Error in Micro Milling of Freeform Surface[D]. Wuhan：Huazhong University of Science and Technology，2017.

[6] ALTINTAS Y. Manufacturing Automation：Metal Cutting Mechanics，Machine Tool Vibrations，and CNC Design[M]. New York：Cambridge University Press，2012.

[7]YAN Shuyang，SUN Yuwen. Enhancing Tool Dynamics and Stability in Internal Turning with an Adjustable Clamping Device under Variable Cutting Conditions[J].Mechanical Systems and Signal Processing，2024，208：111007.

[8]NIU Jinbo，DING Ye，ZHU Limin，et al. Mechanics and Multi-regenerative Stability of Variable Pitch and Variable Helix Milling Tools Considering Runout[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture，2017，123：129-145.

[9］楊銘宇.變螺旋立銑刀的幾何特性與銑削穩(wěn)定性研 究[D].沈陽：東北大學，2021. YANG Mingyu. Research on Geometric Characteristics and Milling Stability of Variable Helical End Millng Cutter[D]. Shenyang：Northeastern University，2021.

[10]JIANG Shanglei， ZHAN Danian，LIU Yang，et al. Modeling of Variable-pitch/helix Milling System Considering Axially Varying Dynamics with Cutter Runout Offset and Tilt Effects[J]. Mechanical Systems and Signal Processing，2022，168： 108674.

[11］CHEN Ding，ZHANG Xiaojian，XIE Yakun，et al.A Unified Analytical Cuting Force Model for Variable Helix End Mills[J]. International Journal of Advanced Manufacturing Technology， 2017， 92：3167-3185.

[12]施壯，李長河，劉德偉，等.不等螺旋角立銑刀瞬時 銑削力模型與驗證[J].機械工程學報，2024，60 （15）：393-406. SHI Zhuang，LI Changhe，LIU Dewei，et al. Instantaneous Milling Force Model and Verification of Unequal Helix Angle End Mill[J]. Journal of Mechanical Engineering，2024，60（15）：393-406.

[13]WANG Liping，SI Hao，GUAN Liwen， et al. Comparison of Different Polynomial Functions for Predicting Cutting Coefficients in the Milling Process[J]. International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2018，94：2961-2972.

[14］WAN Min， ZHANG Weihong，DANG Jianwei，et al. New Procedures for Calibration of InstantaneOus Cutting Force Coefficients and Cutter Runout Parameters in Peripheral Miling[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture，2009， 49：1144-1151.

[15]劉戰(zhàn)強，王啟東，湯愛民，等.圓弧銑刀瞬態(tài)切削力 建模與數(shù)值仿真[J].應用基礎與工程科學學報， 2012，20（6）：1022-1031. LIU Zhanqiang，WANG Qidong，TANG Aimin， et al.Modeling and Numerical Simulation of Instantaneous Cuting Forces for Corner Radius End Mills[J]. Journal of Basic Science and Engineering，2012，20（6）：1022-1031.

[16]周續(xù)，環(huán)形薄壁零件銑削過程動態(tài)響應預測與控制研究[D].西安：西北工業(yè)大學，2016.ZHOU Xu.Research on Dynamic Response Predic- tion and Control in the Milling Process of Ring shaped Thin-walled Parts[D].Xi'an：Northwestern Polytechnical University，2016.

[17] LI Shiknng，ZHAN Danian，SUN Shuoxue， et al，Dynamics Modeling and Simultaneous Identifica- tion of Force Coefficients for Variable Pitch Bull- nose Cutter Milling Considering Process Damping and Cutter Runout[J]. International Journal of Ad- vanced Manufacturing Technology， 2024， 130：2877-2898.

[18] 王海艷，周秩同，武曄，等，基于斜角切削理論的鈦 合金螺旋銑孔切削力建模[J]中國機械工程，2023，34（2）?142-147.WANG Haiyan，ZHOU Zhitong， WU Ye， et al..696.Modeling of Cutting Force in Helical Milling of Ti- tanium Allays Based on Oblique Cutting Theory[J]. China Mechanical Engineering，2023，34 2）：142-147.

（編輯 王艷麗）

作者簡介：齊書韜，男，1996年生，博士研究生，研究方向為難加工材料航空構件高質高效加工技術。E-mail：qstl012@163.com.孫玉文\"（通信作者），男，1971年生，教授，博士研究生導師。研究方向為數(shù)字化制造與數(shù)控加工技術。E-mail：yusun@dlut. edu.cn，

本文引用格式：

齊書韜，李佳奇，鄭書材，等.不等前角變螺旋圓弧立銑刀瞬時銑削力建模與系數(shù)標定方法[J]，中國機械工程，2025，36（4），681-687.

QI Shutao， LI Jinqi，ZHENG Shueni， et al. Instantaneous Mill- ing Force Modeling and Coefficient Calibration Method of Varis- ble Helical Circular-are End Mills with Unequal Rake Angle[J]. China Mechanical Engincering， 2025，36（4）：681-687，